连续小波变换原理
小波变换基本原理.doc
第五章小波变换基本原理问题①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度②小波发展史1910 Harr 小波80 年代初兴起Meyer—小波解析形式小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度构造？和小波函数—滤波器组实现90 年代初 Daubechies 正交小波变换90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换③小波变换与短时傅里叶变换比较a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件）④小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造MRA 的滤波器实现⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的5.1连续小波变换一． CWT 与时频分析1t b1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dtaa2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别STFT小波变换基函数(t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b )a a时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频轴基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定征时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0附近b, 率 a适用情况渐变信号突变信号2 轴spectrogram scalogram结果复数实数3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7）二． WT 几个注意的问题1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原2.母小波(t ) 必须满足容许性条件2( w)C dww①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性②利用 C可推出反变换表达式S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b)dadbC a 2 a3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似）4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化）2 m , b n 2 m 1 ( t b)m(2m t n)a a,b (t )m,n (t ) 2 2a adm,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性S(t ) C W T(a, b)S(t b0 ) C WT(a,b b0 )6.用小波重构信号S(t)? ?d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn中心问题：如何构建对偶框架?m, n如何构建正交小波？5.2 分段逼近学习目的—理解 MRA一．分段逼近的引入很显然采样率越高，T s越小，PAM逼近误差越小，采样率无误信号近似ADC 差T s 1t f s1.采样率增大的尺度体现11, 0 t 1(t)0,其它1 t 用平移的(t ) 版本对S(t)作近似逼近函数(t n) 2 ( 2t n)S(t) C0,n (t n) S(t) 2 C1, n (2t n)1 尺度 an n 2m一般式： S(t) 2 2 C m,n (2m t n) 尺度 a 2 mnm ,a 0, 逼近收敛于S( )m 0, a , 逼近0(t)2.两尺度函数间关系 1 张成 V0空间(t)(2t)(2t 1)1 ①张成空间满足 V0 V11 (2t)空间②两尺度空间差异在哪？张成 V13.表征细节的小波变换的引入121 (2t 1)(t )(2t)(t ) (t)2 (t ) 表细节发现(t) (t )(2t 1)2S( t)2 C1, n (2t n)nn 2m,2m 12C1, 2 m (2t 2m) C1, 2 m 1 (2t 2m 1)m m2 C1,2m(t m) (t m) (t m) (t m)2C1, 2m 12 m mmC1,2 nC1, 2 n 1(tC1,2 nC1, 2n 1(t n) n2n)2m nV1 V0 W0 4.推广m=-1 V 1尺度m=0V0m=1V0m=2V1 W0V1W1V2V1V1W0VV1V W 1W1WVmWm W 2 W 1 W0 2W1WV m Wm 3Wm 2 W m 1, mm , 逼近精度V lim V m W 2 W 1 W0 W1mm , 逼近精度V 0m2 2 (2m t n) 包含信息量决定形成最简单的 MRA二．分段逼近与小波变换（哈尔小波）1.信号的尺度逼近与小波表示m尺度逼近 2 2C m,n ( 2m t n)S(t )nm小波表示 S(t )d m,n 2 2 (2m t n)Harr 小波mn2.Harr 小波特性①同一尺度平移正交性：(t n) * (t n )dt( n n )同尺度 m 也满足m,n(t )m,n * (t) dt(n n )作变量替换即可证明②尺度，平移均正交(m m )m,n (t ), m , n (t )2 2(2m t n) * ( 2m t n ) dtm, m n ,nm信号在正交基函数上投 影即为小波系数2 2 (2m t n) 形成正交基mS(t) * (2 m t n)dtd m ,n 2 2分段逼近的推广 —MRA 一．多分辨率分析含义①由内空间 0 V m 1V mVm 1组成②若 V 0 空间尺度函数 (t) 平移正交： (t ) * (t n) ( n)则(t )为 V 0 空间尺度函数 ,任一函数 S(t)可用 (t) 表示S(t )C n (t n)nC n S(t) * (t n)dt③ S(t) V m 当且仅当 S( 2t) V m 1成立④ V m 交集为 0V mm⑤平方可积空间即为 V m 并集逼近lim V mL 2 (R)m问题： Harr 小波构成最简单 MRA如何构造选其它具体的 MRA 体系二．正交小波函数的系统构造1.两尺度方程引入①低通滤波器与尺度关系Harr 小波满足(t)(2t )(2t 1) 2 1 (2t ) 1(2t 1)22 h 01 1满足 ( t) 2 h 0 (n) (t n) 卷积关系2 22 n②频域反映令 h 0 (n)H 0 (w)(t)(w)( t2 ( 2w))2h 0 H 0 ( w) (w)2 (2w) 2H 0 (w) ( w)即 (2w) H 0 (w) ( w)③含义a. H 0 (0) 1, h 0 (n)为 LPFb ．根据 MRA ， ( w) H 0w w H 0 ( w( ) ( ) 2 k ) (0)22k 1c. (0) 12.QMF 的引入① (t) 的尺度正交关系的频域反映(t) * (tn)(n)(t n)e j n w (w)频域也正交1 ( w) * (w) e jnw dw(n)2n两边对 n 求和1 ( w) * (w) e inw dw 12n利用泊松求和公式f ( n)e jnwF (w 2n )nn（令 f (n) 1,则 F ( w)2 (w) ） 有ejnw2( w 2n )nn1 e jnw( w2n )2nn(w) * ( w)n( w 2n ) dw 12( w 2n ) dw 1(w)n即：(w 2n 21(w21)2k )nk② QMF 正交镜像滤波器组的导出利用两尺度关系(wk ) H 0 (w2k )1k22对 k 分奇偶讨论ww2ww2nH 0 ( 2 2n ) ( 2 2n )nH 0 ( 2 (2n1) ) ( 2(2n 1) )12222H 0 ( w)(w2n )H 0 (w)(w(2n 1) )12n22n2( w) 2(w2H 0H 0 )122H 0 ( w) 2H 0 (w2H 0 (w) H 0 * ( w) H 0 ( w )H 0 * (w 2) 1)③含义a.H 0 (0) 1 H 0 ( ) 1, H 0 (w ) 为H 0 (w)镜像b.功率互补条件 —半带条件P( w) H 0 (w) H 0 * ( w)1H 0 (w2)H 0 (w) 223.正交小波滤波器满足的条件①频域关系根据( x), ( x k) 0 可推出H 0 (w)H 1 * (w) H 0 (w) H 1 * ( w) 0上式的解为 H 1 (w)e jw H 0 * (w)②时域关系令 h 1 ( n)H 1 ( w) h 0 ( n) H 0 (w) 根据 H (w)h( n)e jnwnh 0 ( n) H 0 * ( w)( 1)n h 0 ( n) H 0 * ( w) ( 1) n 1 h 0 (1 n) e jw H 0 * (w ) h 1 (n) ( 1) n h 0 (1 n)e jw H 0 * ( w)③易证 H 1 (w)也为 QMF④小波滤波器同样满足两尺度关系(t)2h 1 ( k) (2t k)k( w) H 1 ( w) ( w) H 1 ( w ) H 0 ( w)2 2 2 k 2 2k 4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示H 0 (w) H 1 ( w) H 0 ( w) H 0 ( w ) H 0 (w) H 1 * (W) H 1 ( w) H 1 ( w ) 5. m,n (t) 与 m ,n (t ) 的 MRA 解释m,n(t )W m正交补L2Wm,n(t )V mm 1S(t )d m,nm,n(t )mnd m, n S(t ) m,n * (t)dt1 0 0 1WmWm 1例：求 Harr 小波的频域尺度函数和小波函数1 1 h 11 1 h 0222 2wj w 2wjw解： ( w)H 0 ( e Cos(22 k )2 k 1)ek 1k 1Sin( w2)w 2h 1 (n)e jnw1 (1 e jw )jww ) H 1 (w)j e 2 Sin(n22ww w 4) 2(S i n(w) H 1 ( 2 ) ( 2 )(w) w4其频域幅值图如 Fig5–13 所示可发现其缺陷在于波纹太大 （原因 —时域紧支撑）例：理想 LPF 也构成正交小波1w H 0 ( w)2 0其它Sin2 (1 n)解： h 0 (n) IFT H 0 ( w)(1 n)Sinc( )函数 Sinc 小波三．有关小波函数的一些概念1.小波消失矩 （vanishing moment ）满足m 1 (k )t k (t) dt0, k 0,1, N 1 则称 (t )具有 N 阶 消 失 矩①母小波 (t ) 平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则(w) 频域衰减越快(t ) 越平滑②消失矩越大，小波振荡程度越高2.小波正则度（ regularity ） ①定义：小波 (t) 的连续可导次数②正则度为 n 的小波(t) 具有（ n+1）阶消失矩（必要条件）四．问题讨论1.根据 MRA 理论①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由h0 ( n) 决定②不关心其解析表达式2.MRA 理论离散小波的数值实现滤波器组5.4 小波变换与数字滤波器组一．时间离散小波变换的实现途径1.不能直接对定义式离散化实现mdm,n S(t), m, n (t) S(t ),2 2 (2m t n)令l kT (T采样周期)当 m 较小时，2m t n 不为整数2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现（ Mallat 算法）（根据尺度函数和小波函数）3.第二代小波变换： Swelden算法二． Mallat 算法1.两个近似假设① S(t)由某一尺度空间函数近似② C m,n由采样数据直接近似mC m,n 2 2S(t) * ( 2m t n)dt(t)( w)(t n) e (2m t n) e 由预测和更新滤波器进行交替提升实现n 1S(t ) C m0n m0n (t ) d k ,n kn (t) n k m0 njnw(w)jnw2m(2 m w) 2mm m2 2 ( 2m t n)2 2 e jn 2 m w (2 m w)1 mnC m,n2 2S( w) * (2 m w)e j 2m w dw2当分辨率 m 足够高时* (2 m w) 0mC m,n221S( w)e j 2 m nw dw2mm2 2 S(2 m n) 22S(t ) t 2m n故可直接用样本数据取代2.Mallat 算法①分解算法a.推导m*m 1S(t ) * ( 2m 1 tCm 1,nS(t )1 , n(t )dt 2 2 n) dt 2m 1S(t )* ( 2mt2n)dt2m 1两 尺 度 关 系 2 2S(t ) 2 h 0 (i ) * ( 2m t (2n i)) dtimh 0 (i )S(t )2 2 * ( 2m t (2ni ))dti2 h 0 (i)S(t),m, 2n i(t)2 h 0 (i )C m, 2 n iiii 2n i2 h 0 (i 2n)C m ,ii同理 d m 1, n 2h 1 (i 2n)C m, iib.滤波器组实现（滑动内积 +下采样）Cm,nH 0 * (w) 2Cm 1,nh 0 ( n)H 1 * (w) 2dm 1,nh 1 ( n)②重构算法a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）C m,n2h0 (n 2i )C m 1,i h1 (n 2i )d m 1,ii ib.滤波器组实现（上采样 +滤波）dm 1, n2H 1 (w)S(i) Cm 1, n2H 0 (w)5.5小波变换的应用一．小波地位小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT二．信号检测方面应用发动机声音中的撞击声检测傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性Gabor 变换：仍需长窗去包含振荡波形小波变换：小波基可任意窄三．降噪应用1.适用场合经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合高斯类噪声和脉冲噪声宽带噪声小波去噪2.滤波效果①经典滤波：丢失波形尖锐处信息②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关）3.滤波手段①传统方法： Prony 参数建模法②小波降噪a. 信号系数阈值比较反变换输出小波变换分解重构b.可证明其统计最优性c.阈值比较（阈值 T 可基于信号标准差得出）硬阈值：比较 d m,n软阈值：考虑 d m,n符号，及其其它系数相关性4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小NI 信号处理工具箱。
如何使用小波变换进行空间频率分析
如何使用小波变换进行空间频率分析引言空间频率分析是图像处理和计算机视觉领域中的重要内容之一。
它可以帮助我们理解图像中的细节和结构，并提供有关图像内容的重要信息。
而小波变换作为一种常用的空间频率分析工具，具有一定的优势和应用价值。
本文将介绍小波变换的基本原理、算法实现以及在空间频率分析中的应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于时间和频率的分析方法，它将信号分解为不同频率的成分，并提供了时域和频域上的信息。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部化性质，能够更精确地描述信号的瞬时特征。
小波变换的基本原理是将信号与一组小波基函数进行卷积运算，得到小波系数。
小波基函数是一组具有局部化特性的函数，可以在时域和频域上进行调整。
通过不同尺度和位置的小波基函数，可以对信号进行多尺度分析，从而获取信号在不同频率上的信息。
二、小波变换的算法实现小波变换的算法实现主要有连续小波变换和离散小波变换两种。
连续小波变换是对连续信号进行变换，而离散小波变换则是对离散信号进行变换。
在实际应用中，离散小波变换更为常用，因为大部分信号都是以离散形式存在的。
离散小波变换的算法实现主要包括两个步骤：分解和重构。
在分解过程中，信号被分解为不同频率的小波系数，而在重构过程中，通过逆变换将小波系数恢复为原始信号。
常用的离散小波变换算法有快速小波变换（FWT）和小波包变换（WPT）等。
三、小波变换在空间频率分析中的应用小波变换在空间频率分析中有广泛的应用。
其中，小波分析可以用于图像压缩、图像增强、图像去噪等方面。
在图像压缩方面，小波变换可以将图像分解为不同频率的小波系数，并根据系数的重要性进行压缩。
通过保留重要的小波系数，可以实现对图像的有效压缩，减小存储空间和传输带宽的需求。
在图像增强方面，小波变换可以提取图像中的细节和结构信息。
通过对不同频率的小波系数进行增强处理，可以使图像更加清晰、锐利，并突出图像中的细节。
在图像去噪方面，小波变换可以通过对小波系数的阈值处理来实现。
使用Python进行连续小波变换的实现方法
使用Python进行连续小波变换的实现方法1.引言连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种在时间-频率分析中常用的工具，可以将信号在时间和频率两个维度上进行分析。
在本文中，我们将介绍如何使用Python实现连续小波变换，并探讨其在信号处理中的应用。
2.理论背景连续小波变换是通过在不同尺度和位置上应用小波函数来分析信号。
小波函数是一种具有有限能量且归一化的函数。
连续小波变换的数学表达式如下：C(a,b) = ∫[x(t)ψ*[(t-b)/a]]dt其中，C(a,b)表示在尺度参数a和位置参数b下的小波系数，x(t)表示输入信号，ψ(t)表示小波函数，*表示复共轭。
3.使用PyWavelets库进行连续小波变换在Python中，PyWavelets是一个常用的小波分析库，可用于进行连续小波变换。
我们需要安装PyWavelets库：pip install PyWavelets接下来，我们使用以下代码实现连续小波变换：import pywtimport numpy as npdef cwt(signal, wavelet):scales = np.arange(1, len(signal) + 1)coefficients, _ = pywt.cwt(signal, scales, wavelet)return coefficients# 示例用法signal = np.random.randn(1000) # 生成随机信号wavelet = 'morl' # 选择小波函数coefficients = cwt(signal, wavelet)在上述代码中，cwt函数用于计算连续小波变换的系数。
我们首先定义了尺度参数scales（从1到信号长度），然后调用pywt.cwt函数进行连续小波变换，并指定所使用的小波函数为wavelet。
我们返回连续小波变换的系数。
小波变换的原理
小波变换的原理小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。
它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
小波变换的原理传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。
小波变换的应用小波是多分辨率理论的分析基础。
而多分辨率理论与多种分辨率下的信号表示和分析有关，其优势很明显--某种分辨率下无法发现的特性在另一个分辨率下将很容易被发现。
从多分辨率的角度来审视小波变换，虽然解释小波变换的方式有很多，但这种方式能简化数学和物理的解释过程。
对于小波的应用很多，我学习的的方向主要是图像处理，所以这里用图像的应用来举例。
对于图像，要知道量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像越是清晰，图像的分辨率就高。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
小波滤波
1， N1(t)= 0,
0 t<1
others
=N m(t) *N1(t) 故 N m+1(t)
一、连续小波滤波
3.Mexico草帽小波 Mexico草帽小波是Gauss函数 et 2 /2 的二次导数， 它由下式给出
(t )
2 3
(1 t ) e
1/4 2
t 2 /2
（7）小波去噪程序
%应用db5作为小波函数进行3层分解 %利用无偏似然估计阈值 %对100.dat from MIT-BIH-DB的单导联数据进行去噪处理 clear;clc load('D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat'); E=M(:,2); E=E'; n=size(E); s=E(1:2000); %小波分解 [C L]=wavedec(E,3,'db5'); % 从c中提取尺度3下的近似小波系数 cA3=appcoef(C,L,'db5',3); %从信号c中提取尺度1,2,3下的细节小波系数 cD1=detcoef(C,L,1); cD2=detcoef(C,L,2); cD3=detcoef(C,L,3);
其中的系数是为了满足 (t )的归一化要求
一、连续小波滤波
4.Morlet小波 morlet小波是经常用到的一种复值小波，其定义 如下
(t )
-1/4
(e
j 0t
e
2 0 /2
) e
t 2 /2
一、连续小波滤波
根据内积的定义
1 * x(t),g(t) x ( )g ( )d 2 式②做给出的小波变换便可被写成
eeg信号连续小波变换
eeg信号连续小波变换1.引言1.1 概述近年来，脑电图（Electroencephalogram, EEG）信号处理成为了神经科学和临床医学领域中一个非常重要的研究方向。
EEG信号是通过电极贴附在头皮表面采集到的一种测量脑电活动的方法。
随着技术的不断进步和对大脑运行机制的深入了解，人们对EEG信号的研究也越来越深入。
在过去的几十年里，许多传统的信号处理方法被应用于EEG信号的分析和处理，如傅里叶变换、时频分析等。
然而，这些传统方法在处理EEG 信号中存在一些局限性。
EEG信号具有多尺度和非平稳的特点，而传统的方法往往无法很好地捕捉到这些特点，导致分析结果的准确性和可靠性有限。
为了克服这些问题，连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）作为一种新的信号分析方法被引入到EEG信号处理中。
连续小波变换能够对信号进行多尺度分析，并在时频域上提供更详细的信息。
它通过将信号与一组不同尺度和位置的小波函数进行内积运算，得到不同尺度下的时频图谱。
这种方法在EEG信号的分析和处理中具有很大的潜力。
本文将首先介绍EEG信号的基本概念和特点，包括其生成机制、主要频率带以及常见的形态特征。
然后，我们将详细解释连续小波变换的原理和方法，并探讨其在EEG信号处理中的应用。
最后，我们将总结连续小波变换在EEG信号处理中的优势和局限性，并展望未来的发展方向和挑战。
通过本文的研究，我们希望能够进一步推动连续小波变换在EEG信号处理中的应用，并为相关领域的研究人员提供一些参考和借鉴。
同时，我们也希望引起更多关于EEG信号处理方法的探讨，以提升对大脑活动的认识和理解。
1.2 文章结构文章结构部分(content of section 1.2):文章结构是指文章从头到尾的组织结构和安排。
一个良好的文章结构能够使读者更好地理解文章的内容和主题，并能够清晰地传达作者的意图。
本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
小波变换及分析原理知识
- 252 -小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数(,)()x b a b x a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。
其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。
对信号()f x 的连续小波变换则定义为,(,)()(),()f a b Rx b W a b f x dx f x x a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭其逆变换（回复信号或重构信号）为*1()(,)fR R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞---∞=-⎰其逆变换（恢复信号或重构信号）为(2,2)()(2,2)()j j j j fk j k f t C Wk x ψ+∞+∞=-∞=-∞=∑∑其中，C 是一个与信号无关的常数。
显然小波函数具有多样性。
在MA TLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。
实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。
- 253 -1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分辨率为2N-的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。
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连续小波变换原理
连续小波变换是一种数学工具，用于处理连续信号。
它可以将一个信号分解成不同频率的小波成分，并对这些成分进行分析。
连续
小波变换的原理是将信号与一系列小波函数进行内积运算，得到一系列小波系数。
这些小波系数表示了信号在不同频率上的能量分布情况。
通过对这些小波系数进行分析，可以得到信号的详细信息，例如信号的频率分布、振幅变化等等。
连续小波变换在信号处理、图像处理等领域中得到了广泛的应用。
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