第二章 连续小波变换
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第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件
定理及傅里叶变换的性
质）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明（ Weyl ）：假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性，只证明该
t
定理对 u 0时成立。
连续小波变换
0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2
2 2 R
证明： （课后练习） 提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选 择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗 函数已经是最好的结果了． 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上． 低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率 范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频 率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自 动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出 的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中，时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
证明： （课后练习） 提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选 择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗 函数已经是最好的结果了． 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上． 低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率 范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频 率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自 动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出 的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中，时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
第3.2连续小波变换的性质2014修正2
* * 1 * 1 * ^ ^ , (t b) , a ^ a ^ a (t b) * a a a a a
a2
2 *^
4 ^
a 1
*
^
2 ^ ^
a 1/ 2
( )2 d 0 a ,
2 1 2
a ,
ˆ ( ) ，根据 设母小波为 (t ) ，其傅里叶变换为 上公式计算出母小波 (t ) 对应的波形参量 , t, 0 , 分别为 t0 ，经过伸缩平移后的 小波基函数 a, (t ) 对应的波形参量分别为 t0 , t , 0 , ，则存在以下的结论： （1）能量守恒 ：
x 2 2
2 a2
WT a , 的完全准确恢复需要 a 平面 那么， 上无数个类似于的点的共同贡献才能完成，即 把这种贡献的累积就归结为平面上的二维积分：
x 1 1
WTx a1 ,1 da2
0
WTx a2 , 2 K a1 ,1 , a2 , 2 a WTx a, K a1 , 1 , a,
§2.3 连续小波变换的性质
1.小波基的自适应时频窗及其度量 小波基的时窗、频窗的波形参量如下： （1）时窗中心：实质上信号在时域的一阶 矩，即
t0
t a , t dt
2
a , t
2
t
[
1 * ^ 2
1
2
t
2.连续小波变换的性质 假设信号矢量 x(t ) 和 y(t ) 为能量有限信号， 即 x(t ), y(t ) L (R) ，其连续小波变换（CWT）分别 k2 为任意常 表示为 WTx a, 和 WTy a, ，令 k1 ， 数。 （1）线性叠加性 若 z t k1x(t ) k2 y(t ) ，则 z t 的连续小波变换 为 WTz a, k1WTx a, k2WTy a, 。 （2）时不变性 令原信号 x(t ) 的延时信号表示为 z t x t t 则其连续小波变换为 WTz a, WTx a, t0
2.6连续小波变换应用演示
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(4)探地信号的连续小波变换
小波变换在不同的(a，b)之间的相关 性增加了分析和解释小波变换结果的 困难，因此，小波变换的冗余度应尽 可能减小，它是小波分析中的主要问 题之一。在MATLAB中，可以用cwt 函数实现对信号的连续小波变换。
2. 例子
例3.5.1 已知一信号f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋ 5cos(72pt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小 波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、…、 3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图1.11所示。
1 c
W f (ca, cb)
c0
(4)自相似性：对续小波变换之间是自相似的。
(5)冗余性：连续小波变换把一维信号变换 到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表
述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公
式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接 反映，它主要表现在以下两个面： ①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是 唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构 不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变 换是一一对应的。 ②小波变换的核函数即小波函数ya，b(t)存在许 多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交 小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。
第2讲 连续小波变换
现在用连续小波变换来处理同样的信号。 % 连续小波变换 figure % 用 db3 小波作母小波函数（如下图形） ，尺度 a 分别为 1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3. coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); figure % 连续小波变换的三维图形 coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); 下方左图是右图的俯视图。
Ylabel('幅值'); Xlabel('时间'); title('原始信号'); y=fft(f,1024); % DFT 有 1024 个采样点 p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度'); ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值 subplot(322);plot(ff,p(1:512)); Ylabel('功率谱密度'); Xlabel('频率'); title('信号功率谱图');
* *
是 的 Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。
2.1.5 定理 乘积 2t 2 是一个不依赖于 a 和 b 的常数。 证明：事实上， a , b 与 有相同的 L2 范数：
连续小波变换
1.时频局部化。即 ， ˆ 均有限。
2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d
2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着： ˆ（ 0 ）＝ 0 即： (t)dt 0
小波变换重构定理的一个推广：
令 1, 2是两个基小波， ˆ 1() ˆ 2 () d c1 2 1
则：
－ －
1 2 [ f , b,a b,a , g
da db c1, 2 1 f , g 2 a da db 2 a
__________ ______ 2 2 对所有的 f , gL 成立，并且对于 f L 和 f的连续点 x R ，有
1 da f (x) [ W ( f )( b , a ) ( x ) db b,a 2 c a － －
小波重构定理的证明：
da 左端＝ f , g , 2db b , a b , a a － －
,
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1 . 小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a 有关。
2. 时频窗口形状与参数 a的关系。 当 a下降时：中心频率上升 ， 当 a上升时：中心频率下降 ，
频域窗口变宽，时域窗 口变窄。
频域窗口变窄，时域窗 口变宽。
a
*
a1 a 2
1
1 2 1 2
* , 时域半径为
i t
2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d
2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着： ˆ（ 0 ）＝ 0 即： (t)dt 0
小波变换重构定理的一个推广：
令 1, 2是两个基小波， ˆ 1() ˆ 2 () d c1 2 1
则：
－ －
1 2 [ f , b,a b,a , g
da db c1, 2 1 f , g 2 a da db 2 a
__________ ______ 2 2 对所有的 f , gL 成立，并且对于 f L 和 f的连续点 x R ，有
1 da f (x) [ W ( f )( b , a ) ( x ) db b,a 2 c a － －
小波重构定理的证明：
da 左端＝ f , g , 2db b , a b , a a － －
,
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1 . 小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a 有关。
2. 时频窗口形状与参数 a的关系。 当 a下降时：中心频率上升 ， 当 a上升时：中心频率下降 ，
频域窗口变宽，时域窗 口变窄。
频域窗口变窄，时域窗 口变宽。
a
*
a1 a 2
1
1 2 1 2
* , 时域半径为
i t
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优点：
将小波母函数 (t ) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
1 t a , (t ) ( ), a, R; a 0 a a
(t ) 经伸 小波函数基，它们是由同一母函数 缩和平移后得到的一组函数序列。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。 小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。 小波的可容许条件：
| ( ) | C | | R
2
^
小波特点：
（一）“小”。即在时域都具有紧
支集或近似紧支集。 （二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。 信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
1 1,0 t 2 1 (t ) 1, t 1 2 0, 其他
2.Daubechies（dbN）小波
令P( y ) C kN 1 k y k，其中，C kN 1 k 为二项式的系数，
k 0 N 1
则有： | m0 ( ) | (cos
2.连续小波变换的性质
（1）线性
（2）时移共变性
（3）时标定理。
性质
（4）微分运算
（5）能量守恒
（6）冗余度
2.2 几种常用的小波
小波分类的标准 （1） (t )、 ( )、 (t )、 ( ) 的支撑长度， 即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0。 包络下的单频率复正弦函数
t2 2
(t ) Ce
cos(5 x) C是重构时的归一化常数 。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和 信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b， 在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。 （4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。
定量分析-时域
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中心为t0，则相应可求出连续小波 1 t (t ) ( ) 的窗口中心为at0+τ，窗 a a 口宽度为a·△t。 即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
a ,
定量分析-频域
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
1 WT f (a, ) f (t ), a , (t ) a
1 2
R
t f (t ) ( )dt a
t a , (t ) | a | ( ), b R, a R {0} 其中： a
从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 WT f (a, ) 为小波变换 一样，也是一种变换， 系数。 也可见其与傅立叶变换的区别。
2 2
2 2 1 2 N 1 jk 式中，m0 ( ) hk e 2 k 0
) P(sin
N
2
)
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t ) (1 t )e
2
t2 2
( ) 2 e
2
2
2
4.Morlet小波
几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。 （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 jt 与短时傅立叶变换中的基 g, (t ) g(t )e 不同。
逆变换
若小波满足容许条件，则连续小波变换存 在着逆变换。 | ( ) |2 d 容许条件： C | |
R
1 da f (t ) WT f (a, ) a , (t )d 逆变换公式： 2 0 C a 1 da 1 t WT f (a, ) ( )d 2 0 C a a a
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积 保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是 相互制约的，不可能同时得到提高。 Q （4）品质因素 不随尺度变化而变化。
0
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义 将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
2.4 尺度和频率之间的关系
Fc Fa a
a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心 频率； Fa为伪频率。
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2.5 应用实例
a , ( ) a 2 e j (a )
1
其频域窗口中心为： a , 1 窗口宽度为：
1 0 a
a 1 1 1 1 [ 0 , 0 ] 信号在频域窗内： a 2a a 2a
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩，如果我们称△t·△ ω为窗口函数的窗口 1 t a , a , a t 面积，则： a 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。
(t )和 (t ) 的消失矩阵数。这对于压缩 （3） 非常有用。 （4）正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。 具有对称性的小波不易产生相位畸变；具 有好的正则性的小波，易于获得光滑的重 构曲线和图像，从而减小误差。
常用的小波
1.Haar小波。
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。 (t ) （2）在实际应用中，对基本小波的要求往 ( ) 往不局限于满足容许条件，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 | WT f (a, ) | 出较好的局域性能。为了在频域上有较好 的局域性，要求 (t ) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0， p 且n值越高越好。 t (t )dt 0, p 1 ~ n, 且n值越大越好。 即：
将小波母函数 (t ) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
1 t a , (t ) ( ), a, R; a 0 a a
(t ) 经伸 小波函数基，它们是由同一母函数 缩和平移后得到的一组函数序列。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。 小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。 小波的可容许条件：
| ( ) | C | | R
2
^
小波特点：
（一）“小”。即在时域都具有紧
支集或近似紧支集。 （二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。 信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
1 1,0 t 2 1 (t ) 1, t 1 2 0, 其他
2.Daubechies（dbN）小波
令P( y ) C kN 1 k y k，其中，C kN 1 k 为二项式的系数，
k 0 N 1
则有： | m0 ( ) | (cos
2.连续小波变换的性质
（1）线性
（2）时移共变性
（3）时标定理。
性质
（4）微分运算
（5）能量守恒
（6）冗余度
2.2 几种常用的小波
小波分类的标准 （1） (t )、 ( )、 (t )、 ( ) 的支撑长度， 即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0。 包络下的单频率复正弦函数
t2 2
(t ) Ce
cos(5 x) C是重构时的归一化常数 。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和 信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b， 在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。 （4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。
定量分析-时域
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中心为t0，则相应可求出连续小波 1 t (t ) ( ) 的窗口中心为at0+τ，窗 a a 口宽度为a·△t。 即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
a ,
定量分析-频域
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
1 WT f (a, ) f (t ), a , (t ) a
1 2
R
t f (t ) ( )dt a
t a , (t ) | a | ( ), b R, a R {0} 其中： a
从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 WT f (a, ) 为小波变换 一样，也是一种变换， 系数。 也可见其与傅立叶变换的区别。
2 2
2 2 1 2 N 1 jk 式中，m0 ( ) hk e 2 k 0
) P(sin
N
2
)
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t ) (1 t )e
2
t2 2
( ) 2 e
2
2
2
4.Morlet小波
几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。 （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 jt 与短时傅立叶变换中的基 g, (t ) g(t )e 不同。
逆变换
若小波满足容许条件，则连续小波变换存 在着逆变换。 | ( ) |2 d 容许条件： C | |
R
1 da f (t ) WT f (a, ) a , (t )d 逆变换公式： 2 0 C a 1 da 1 t WT f (a, ) ( )d 2 0 C a a a
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积 保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是 相互制约的，不可能同时得到提高。 Q （4）品质因素 不随尺度变化而变化。
0
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义 将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
2.4 尺度和频率之间的关系
Fc Fa a
a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心 频率； Fa为伪频率。
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2.5 应用实例
a , ( ) a 2 e j (a )
1
其频域窗口中心为： a , 1 窗口宽度为：
1 0 a
a 1 1 1 1 [ 0 , 0 ] 信号在频域窗内： a 2a a 2a
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩，如果我们称△t·△ ω为窗口函数的窗口 1 t a , a , a t 面积，则： a 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。
(t )和 (t ) 的消失矩阵数。这对于压缩 （3） 非常有用。 （4）正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。 具有对称性的小波不易产生相位畸变；具 有好的正则性的小波，易于获得光滑的重 构曲线和图像，从而减小误差。
常用的小波
1.Haar小波。
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。 (t ) （2）在实际应用中，对基本小波的要求往 ( ) 往不局限于满足容许条件，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 | WT f (a, ) | 出较好的局域性能。为了在频域上有较好 的局域性，要求 (t ) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0， p 且n值越高越好。 t (t )dt 0, p 1 ~ n, 且n值越大越好。 即：