从量子力学到经典力学的近似与对应原理
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
经典极限条件
经典极限条件经典极限（或称对应极限）是物理理论在其某个参数取特定值时能够用经典理论近似，或者说“还原”为经典理论的能力。
物理学家通常会考察那些预测非经典行为的物理理论的经典极限。
量子理论尼尔斯·玻尔曾将一个启发式的原理，对应原理，引入量子理论，即从实际效果而言，当普朗克常数对于系统的作用趋近于零时，需要引入量子系统的经典极限这样的连续性表述。
通常量子情形向经典情形的过度是由“准经典方法”（如WKB近似）实现的。
更为严格来说，经典极限涉及到的数学操作是群收缩。
通过这一操作可以将相关行为不受普朗克常数影响的系统进行近似，使得变换参数ħ/S可取为零。
量子力学中的对易算符在群收缩中也可以还原为经典力学中的泊松括号。
在量子力学中，由于不确定性原理，电子的动能永远非零，这一结果在经典力学中并不存在。
例如，考察一个相对于电子而言体量非常的物体，如棒球，尽管依据不确定性原理，其确实具有一个非零动量，但由于动能的不确定度相对而言非常之小，以至于在人眼观察时，其可以视为静止，也可以遵循经典力学定律。
通常，如果将量子力学原理用于分析宏观系统时，其分析结果与利用经典力学得到的结果相同。
但对于量子混沌系统而言，经典极限可能就并不那么清晰了。
量子力学与经典力学的数学表述并不相同：量子力学使用希尔伯特空间表征系统的状态，经典力学则对应地采用相空间进行表征。
但存在可以使两种理论在共同的数学框架下表述的方法。
量子力学的相空间表述体现了量子力学与经典统计力学之间逻辑与性质上的联系。
对应地，伯纳德·库普曼与约翰·冯·诺伊曼曾在1932年提出一种经典力学的表述方式。
他们将量子力学中常用的希尔伯特的算符利用于经典力学。
保罗·狄拉克在其1933年发表的一篇重要论文中提出经典力学是量子力学的涌现：非极限情况的宏观行为，即S»ħ时，会导致路径间产生破坏性干涉从而消去他引入的路径积分的影响，产生极限行为，S经典，因而经典行为路径将成为主路径。
量子力学和经典力学的区别与联系(完整版)
量子力学和经典力学的区别与联系量子力学和经典力学在的区别与联系摘要量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。
它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。
经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。
本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。
经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。
当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。
量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。
经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。
但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。
关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系三、目录摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1)关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1)正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3)一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3)经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3)量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3)二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4)微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述........................... ...... ... ... (4)量子力学中微观粒子的波粒二象性...... ...... ... ...... ... ......... ...... (5)三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比... ... .................. ...... ... (5)参考文献.................................................................. ............ ... ...... (6)量子力学和经典力学在的区别与联系一、量子力学及经典力学基本内容及理论经典力学基本内容及理论经典力学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系，其基础是牛顿力学（宏观物体运动规律）,麦克斯韦电磁学（场的运动规律）以及热力学与统计物理学（物质的热运动规律）。
从经典力学到量子力学的思想体系探讨
从经典力学到量子力学的思想体系探讨一、量子力学的产生与发展19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。
德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。
德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。
这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。
当时只有少数科学家认真研究这个问题。
著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。
1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。
1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。
玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。
这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。
这在物理学史上是空前的。
由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。
量子力学的几率解释等都做出了贡献。
1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即康普顿效应。
按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。
而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。
量子力学思考题和讨论题
（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体 系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个 经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子 力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观 理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决 定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用 的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什 么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义 的，也是没有必要的。
类似地，它的动量的平均值也可表示为
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因 为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中 用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后 再转换到坐标表象中去。
利用有
作代换，并对积分得（推广到三维）
可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相 当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相 应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。 用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量 子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相 互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学 量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间
定态的线性叠加 态中平均值与无关，所以叠加态是定态。
量子力学-简介
0
/ kT
即：
（ e 0 / kT 1)
n 0
e
n 0 / kT
1 1 x 1 x 1 e 0 / kT n 0
n
计算分子： n 0 e n 0 / kT ，令y 0 / kT
n 0 n 0 / kT ny n e ne 0 0 n 0 n 0
说明： Planck 成功的关键在于提出了能量子 0 h 的假设，辐 射能量是不连续改变的，从而导致了 E 不同于经典的能量均分 定理的连续分布。这里第一次出现了经典物理中没有的常数 h ， 这些都跳出了经典物理的框架， 成为量子物理的开端。 Planck 导 出公式后，曾努力把它纳入经典物理范畴，但未成功。
代入(7) 式得 Planck 公式
8h 3 1 d d 3 h / kT c e 1
(8)
(9)
这个公式与实验符合的很好。
实验结果：频率 d 间的辐射能量密度 d 只与频率
及黑体的绝对温度 T 有关,而与腔的形状及组成物质无关。
3. 讨论：
a. 当辐射频率高时，即当
基础知识
量子的世界、量子力学的诞生、 波函数和薛定谔方程
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
漫画：滑雪图
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
隧穿效应
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
一、普适性的完结
在牛顿物理学中没有任何普适常数。这就是它 主张普适性的原因，就是它为什么能不管对象的尺 度如何而以同一方式被应用的原因：原子、行星和 恒星的运动都服从一个定律。 然而、普适常数的发现标志着一个根本的变化。 把光速用作比较的标准，物理学建立起了低速和接 近光速的高速之间的区别。 普适常数不但通过引入物理尺度（据此，各种 行为都成为性质上有区别的）破坏了宇宙的均匀性， 而且引出了一种客观性的新概念。任何观察者都不 能以高于真空中光速的速度来发射信号。
周世勋量子力学教案
周世勋量子力学教案一、引言1. 课程目标：使学生掌握量子力学的基本概念、原理和方法，了解量子力学在物理学、化学、材料科学等领域的应用。
2. 教材：《量子力学》（周世勋著），重点章节：第一章量子力学的基本概念3. 教学方法：讲授、讨论、练习相结合，注重培养学生解决问题的能力。
二、量子力学的基本概念1. 量子与量子化：引入量子概念，解释量子化的意义，举例说明量子化的现象。
2. 波粒二象性：介绍光的波粒二象性，讲解电子的波粒二象性，探讨波粒二象性的实验证据。
3. 叠加态与叠加原理：讲解量子态的叠加，解释叠加原理，举例说明叠加原理的应用。
4. 测量与不确定性原理：介绍测量原理，讲解不确定性原理，探讨不确定性原理在实际应用中的意义。
三、一维势阱与量子束缚态1. 一维势阱的基本概念：介绍一维势阱的定义，讲解势阱的图像及其物理意义。
2. 量子束缚态的求解：讲解薛定谔方程的解法，探讨束缚态的能量和波函数。
3. 束缚态的性质：分析束缚态的稳定性，讲解束缚态的能级间距。
4. 束缚态的跃迁：介绍束缚态跃迁的概念，讲解跃迁概率与矩阵元素的关系。
四、势垒穿透与量子隧道效应1. 势垒穿透的基本概念：引入势垒穿透的概念，解释势垒穿透的物理意义。
2. 量子隧道效应：讲解量子隧道效应的实验现象，探讨量子隧道效应的微观机制。
3. 隧道电流与势垒高度的关系：分析隧道电流与势垒高度的关系，讲解势垒高度对隧道电流的影响。
4. 隧道效应的应用：介绍隧道效应在实际应用中的例子，如隧道二极管、隧道晶体管等。
五、哈密顿算符与量子态的演化1. 哈密顿算符的引入：讲解哈密顿算符的概念，解释哈密顿算符在量子力学中的作用。
2. 量子态的演化：介绍量子态演化的概念，讲解量子态演化的规律。
3. 演化算符与时间演化：讲解演化算符的定义，解释演化算符与时间演化的关系。
4. 量子态的叠加与干涉：分析量子态叠加与干涉的物理意义，讲解叠加与干涉在实验中的应用。
六、量子纠缠与非局域性1. 量子纠缠的概念：介绍量子纠缠的定义，解释纠缠态的意义。
量子物理和经典物理的关系
量子物理与其它物理理论的关系四旅五营马虎虎3010320020与经典物理的界限1923年，尼尔斯·玻尔提出了对应原理，认为量子数（尤其是粒子数）高到一定的极限后的量子系统，可以很精确地被经典理论描述。
这个原理的背景是，事实上，许多宏观系统，可以非常精确地被经典理论（如经典力学和电磁学）来描写。
因此一般认为在非常“大”的系统中，量子力学的特性，会逐渐退化到经典物理的特性，两者并不相抵触。
因此，对应原理是建立一个有效的量子力学模型的重要辅助工具。
量子力学的数学基础是非常广泛的，它仅要求状态空间是希尔伯特空间，其可观察量是线性的算符。
但是，它并没有规定在实际情况下，哪一种希尔伯特空间、哪些算符应该被选择。
因此，在实际情况下，必须选择相应的希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统。
而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。
这个原理要求量子力学所做出的预言，在越来越大的系统中，逐渐近似经典理论的预言。
这个大系统的极限，被称为“经典极限”或者“对应极限”。
因此可以使用启发法的手段，来建立一个量子力学的模型，而这个模型的极限，就是相应的经典物理学的模型。
与相对论的结合量子力学发展初期动力学理论与相对论并不相容。
比如说，在使用量子谐振子模型的时候，特别使用了一个非相对论的谐振子。
但这并不是因为早期的物理学家们忽视了相对论。
实际上薛定谔得到的第一个波动方程正是相对论协变形式的克莱因-戈尔登方程。
但由于解释不了当时的实验光谱结果，薛定谔被迫放弃协变形式的波动方程。
究其原因在于初期人们拘泥于相对论量子力学的协变形式，而未能理解相对论以洛仑兹群表示的形式与量子力学结合。
随后发展的量子场论方法才将这个问题解决。
早期的将量子力学与狭义相对论联系到一起的试图，包括使用相应的克莱因-戈尔登方程，或者狄拉克方程，来取代薛定谔方程。
这些方程虽然在描写许多现象时已经很成功，但它们还有缺陷，尤其是它们无法描写相对论状态下，粒子的产生和消灭。
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从量子力学到经典力学的近似与对应原理
量子力学和经典力学是物理学中两个重要的理论体系，它们分别适用于微观和宏观世界的描述。
然而，这两个理论之间存在着一种近似与对应原理，即在某些条件下，量子力学可以近似为经典力学，而经典力学也可以通过适当的处理方法得到与量子力学相对应的结果。
量子力学是描述微观世界的理论，它通过波函数来描述粒子的运动状态。
在量子力学中，粒子的位置和动量并不具有确定的值，而是以概率的形式存在。
这种概率性描述与经典力学的确定性描述有着本质的不同。
然而，在某些情况下，当粒子的动能远大于其势能时，量子力学可以近似为经典力学。
这是因为在这种情况下，粒子的波长相对于其运动的尺度非常短，可以忽略波动性的影响，从而得到与经典力学相一致的结果。
另一方面，经典力学可以通过适当的处理方法得到与量子力学相对应的结果。
例如，可以通过引入波动方程来描述经典粒子的运动，从而得到与量子力学中的波函数相对应的波动函数。
这种处理方法被称为量子化方法，它将经典力学与量子力学建立了一种对应关系。
通过这种方法，可以将经典力学中的物理量与量子力学中的算符进行对应，从而得到相应的量子力学表达式。
近似与对应原理的存在使得我们可以在不同的尺度下使用不同的理论描述物理现象。
在微观尺度下，量子力学是不可或缺的，它可以描述微观粒子的行为，如原子、分子和基本粒子等。
而在宏观尺度下，经典力学更加方便和有效，它可以描述宏观物体的运动，如行星运动、机械振动等。
这种近似与对应原理使得物理学家可以根据具体情况选择合适的理论进行研究和分析。
除了近似与对应原理，量子力学和经典力学之间还存在一些其他的联系和相似之处。
例如，量子力学中的不确定性原理与经典力学中的测不准关系有着相似的含义。
它们都表明了在测量过程中存在着一定的不确定性，并且测量一个物理量的精
度越高，对另一个物理量的测量精度就越低。
这种相似性使得我们可以通过对经典力学的研究和理解来更好地理解量子力学中的不确定性原理。
总之，量子力学和经典力学之间存在着一种近似与对应原理。
在某些条件下，量子力学可以近似为经典力学，而经典力学也可以通过适当的处理方法得到与量子力学相对应的结果。
这种近似与对应原理使得我们可以在不同的尺度下使用不同的理论描述物理现象，从而更好地理解和研究自然界的规律。