03数轴与相反数(提高)知识讲解

数轴与相反数（提高）
【学习目标】
1．熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
4.掌握多重符号的化简；
5.通过例子，体会数形结合的思想.
【要点梳理】
要点一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有 km、m、dm、cm 等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为 0.
要点三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3 的相反数，因此，－（－3）＝3.
【典型例题】
类型一、数轴的概念
1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边 30 米处，书店位于学校东边 100 米处，小明从学校沿这条大街向东走了 40 米，接着又向西走了 100 米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．
【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.
【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把 20 米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示．
【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.
举一反三：
【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为，古城站表示的数为；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为．
【答案】3，-5，8
类型二、相反数的概念
2．（2016•哈尔滨模拟）在数轴上到表示3 的点距离为5 个单位长度的正数是（）A．﹣2 B．8 C．﹣2 或8 D．5
【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解.
【答案】B
【解析】解：因为在数轴上到表示 3 的点距离为 5 个单位长度的点有两个:A 和B，如下图所示：
而点 A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为 8，
又因为 8 为正数，
故正确答案选:B.
【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析求解比较好．
举一反三：
【变式 1】
(1) 如果a＝－13，那么－a＝；(2) 如果－a＝－5.4，那么a ＝；
(3) 如果－x ＝－6，那么 x ＝ ；(4) －x ＝9，那么 x ＝ .
【答案】（1）13；（2） 5.4；（3）6；（4）-9
【变式 2】－4 的倒数的相反数是（
） A ．－4
B ．4
C ．－ 1
D ． 1 4 4 【答案】D
【变式 3】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100 的相反数；(3) -5 1是 的相反数；
5 (4)
的相反数是-1.1；(5)8.2 和 互为相反数；（6）a 和 互为相反数.
（7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 1 【答案】(－2.5)；100； 5 5 ；1.1；-8.2；-a ；负数；0 3．已知 m , n 互为相反数，则2m + 2n + 2 -
m + n = ． 3
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知 m + n = 0，代入上式可得： 0 + 2 - 0 = 2.
【总结升华】若 m , n 互为相反数，则 m + n = 0或 m = -n .
举一反三： 【变式】已知2m -1与7 - 1 m 2
互为相反数，求 m 的值. 1
【答案】因为互为相反数的两个数的和为 0，所以(2m -1) + (7 - m = -4.
类型三、多重符号的化简
m) = 0，解得： 2
4．化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．
【解析】
解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；
（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．
【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
举一反三：
【变式】当+6 前面有 2011 个正号时，化简结果为：
；当+6 前面有 2011 个负号时，化简结果为： ；当+6 前面有 2012 个负号时，化简结果
为：.
【答案】6；-6；6
类型四：利用数轴比较大小
5．若p，q 两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．
①p q；②－p 0；③－p －q；④－p q；
【答案】>; <;<;>
【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p, -q 均表示在数轴上，如下图：
然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于 0 的正数，而原点左边的点表示小于 0 的负数，可得上述答案.
【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数.
举一反三：
【变式】（2015•东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）
A.点B 与点D
B. 点A 与点C
C. 点A 与点D
D. 点B 与点C
【答案】C.
类型五、数形结合的应用
6．点 A 在数轴上，若将 A 向左移动 4 个单位长度，再向右移动 2 个单位长度，此时 A 点所表示的数是原来 A 点所表示的数的相反数，原来 A 点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来．
【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右加．
【答案与解析】
解：如图所示，B 点表示 A 点移动后的位置．则 AB＝2．因为 A、B 表示一对相反数．所以原点O 是AB 的中点，AO＝OB，所以 A 点表示 1．
【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.。