泛函分析和偏微分方程的广义求解
偏微分方程与泛函分析知识点
偏微分方程与泛函分析知识点偏微分方程与泛函分析是数学中的两个重要分支，它们在应用科学、工程学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍偏微分方程与泛函分析的相关知识点。
一、偏微分方程的定义和分类偏微分方程是描述函数未知的各阶导数与自变量之间关系的方程。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数是多个变量的函数，因此需要使用偏导数来描述其性质。
偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型、双曲型和抛物型。
1. 椭圆型偏微分方程：椭圆型方程的典型例子是拉普拉斯方程，它在物理学中描述了稳定状态下的热传导和电势分布。
椭圆型方程的解具有良好的性质，包括连续性和可微性。
2. 双曲型偏微分方程：双曲型方程的典型例子是波动方程和传播方程。
双曲型方程描述了波的传播和振动现象，其解通常具有波动性和突变性。
3. 抛物型偏微分方程：抛物型方程的典型例子是热传导方程和扩散方程。
抛物型方程描述了随时间演化的过程，其解在空间和时间上具有平滑性。
二、泛函分析的基本概念和理论泛函分析是函数空间上的分析学，它研究了函数的极限、连续性、收敛性等性质。
泛函是将函数映射到实数或复数的映射，通常考虑无穷维空间中的泛函。
1. 函数空间：函数空间是指一组具有特定性质的函数集合。
常见的函数空间包括连续函数空间、可导函数空间和Lp空间等。
函数空间中的函数可以用序列或者级数进行逐点或均匀收敛。
2. 勒贝格空间和希尔伯特空间：勒贝格空间和希尔伯特空间是泛函分析中的重要概念。
勒贝格空间是指具有有界变差和有界测度性质的函数空间，而希尔伯特空间是指内积空间和完备度量空间的结合。
3. 线性算子和泛函：线性算子是将一个函数空间映射到另一个函数空间的映射。
泛函是将一个函数映射到实数或复数的线性算子。
线性算子和泛函在泛函分析中有着重要的应用和性质。
三、偏微分方程与泛函分析的关系偏微分方程的解通常可以通过泛函分析的方法进行研究和求解。
泛函分析提供了偏微分方程解的存在性、唯一性和稳定性等方面的理论基础。
泛函分析在偏微分方程中的作用是什么
泛函分析在偏微分方程中的作用是什么在数学的广袤领域中，偏微分方程和泛函分析都是极为重要的分支。
泛函分析这一工具，对于解决偏微分方程的相关问题发挥着不可或缺的作用。
那么，泛函分析在偏微分方程中的作用究竟是什么呢？要理解这一点，我们首先得明白什么是偏微分方程。
简单来说，偏微分方程就是包含未知函数的偏导数的方程。
它在物理学、工程学、生物学等众多领域都有广泛的应用。
比如，描述热传导的热方程、描述波动现象的波动方程，以及描述流体流动的纳维斯托克斯方程等，都是常见的偏微分方程。
而泛函分析呢，则是研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限等概念的数学分支。
它为处理偏微分方程提供了强大的理论基础和有效的工具。
泛函分析为偏微分方程提供了一种系统的分析方法。
通过将偏微分方程转化为对应的泛函形式，我们可以利用泛函分析中的定理和方法来研究方程的解的存在性、唯一性和稳定性等重要性质。
就拿存在性来说吧。
在研究偏微分方程时，我们首先关心的问题之一就是方程是否有解。
泛函分析中的不动点定理，如巴拿赫不动点定理，为我们提供了一种有力的工具来证明偏微分方程解的存在性。
例如，对于某些类型的非线性偏微分方程，我们可以通过构造适当的映射，并证明该映射满足不动点定理的条件，从而得出方程存在解的结论。
唯一性也是偏微分方程解的一个关键性质。
泛函分析中的一些定理，如逆算子定理，能够帮助我们确定在何种条件下偏微分方程的解是唯一的。
这对于我们准确理解和描述物理现象至关重要。
如果一个偏微分方程的解不唯一，那么我们就无法确定哪个解才是真正反映实际情况的。
稳定性同样重要。
它关乎到当方程中的参数或者初始条件发生微小变化时，解的变化情况。
在泛函分析中，通过研究算子的范数和连续性等性质，我们可以对偏微分方程解的稳定性进行深入分析。
这对于实际应用中的数值计算和误差估计具有重要意义。
泛函分析中的空间理论在偏微分方程中也发挥着关键作用。
比如索伯列夫空间，它为偏微分方程解的正则性研究提供了合适的框架。
数学中的偏微分方程和泛函分析
数学中的偏微分方程和泛函分析偏微分方程是数学领域中一类非常重要的方程，广泛应用于自然科学、工程、经济等各个领域。
与常微分方程不同，偏微分方程是一种关于多个自变量的微分方程，其一般形式为：$$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partialx_j},\cdots)=0$$其中 $u$ 是未知函数，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是自变量，$i,j=1,2,\cdots,n$，$F$ 是已知函数。
偏微分方程的求解过程也是寻找未知函数 $u$ 的过程，但与常微分方程不同，偏微分方程的求解需要更加复杂的数学方法和分析工具。
泛函分析是现代数学中的一门分支学科，它是解决偏微分方程问题的一种有力工具和理论基础。
泛函分析基于现代数学的抽象理论和方法，主要研究无限维的函数空间、算子空间和拓扑空间等数学对象，并针对这些数学对象开展研究。
泛函分析与偏微分方程之间的关系非常紧密，泛函分析的许多结果和方法已经成功应用于偏微分方程的求解中。
例如，通过泛函分析方法可以研究偏微分方程的解的存在性、唯一性、稳定性等性质，进而解决实际问题。
举个例子，考虑下面的抛物型偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\nabla^2 u+f(x,t)$$其中$u=u(x,t)$ 是未知函数，$x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n$，$t>0$，$k>0$，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子，$f(x,t)$ 是已知函数。
为了求解此方程，我们首先需要确定解的存在性。
通过泛函分析方法，我们可以证明存在一个 Banach 空间 $X$，使得方程的解对于任意正数 $t$ 在 $X$ 中唯一存在，且解的范数满足一定的估计。
微分方程与泛函分析
微分方程与泛函分析引言微分方程和泛函分析是数学中两个重要的分支领域。
微分方程是研究自然科学和工程等领域中各种现象和规律的数学工具，而泛函分析则是研究函数空间及其上的相关性质和操作的数学分析方法。
本文将介绍微分方程和泛函分析的基本概念和方法，并讨论它们之间的关系和应用。
微分方程微分方程描述了物理学和工程学中很多现象和规律，它是建立在微分学和积分学基础上的数学模型。
微分方程通常包含一个未知函数和其导数之间的关系，可以是常微分方程或偏微分方程。
常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程则涉及多个自变量。
微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中未知函数和其导数之间的关系是线性的，而非线性微分方程中则不是线性的。
线性微分方程有比较精确的解法，而非线性微分方程的解法则较为困难，通常需要采用数值计算的方法。
微分方程的解可以分为显式解和隐式解。
显式解是直接用表达式给出的，而隐式解则是通过方程给出的约束条件间接确定的。
微分方程的解通常有多个自由常数，这些常数的取值可以根据问题的具体要求来确定。
微分方程在物理学、工程学、生物学等多个学科领域中都有广泛的应用。
在物理学中，微分方程可以描述天体运动、电磁场传播等现象；在工程学中，微分方程可以描述信号传输、电路运行等问题；在生物学中，微分方程可以描述生物体的生长、反应动力学等过程。
泛函分析泛函分析是在无穷维向量空间上进行研究的数学分析方法。
它以函数空间为研究对象，研究函数空间上的性质和操作。
泛函是定义在函数空间上的实值函数，它可以将一个函数映射为一个实数。
泛函分析中常用的概念包括范数、内积和完备性。
范数是衡量向量大小的函数，内积是衡量向量之间夹角的函数，而完备性则是指向量空间中的柯西列收敛于空间中的向量。
泛函分析还研究了特殊的函数空间，如赋范空间、希尔伯特空间和巴拿赫空间等。
泛函分析是数学中的重要工具，在函数逼近、变分法、最优控制等问题中有广泛应用。
泛函分析提供了刻画函数空间结构的数学工具，使得可以对函数进行更精确的描述和操作。
偏微分方程数值求解的一种新方法
偏微分方程数值求解的一种新方法偏微分方程是数学中一个非常重要的领域，涉及到物理、经济、工程等多个方面。
求解偏微分方程是许多研究对象的核心任务。
目前，常见的求解方法包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等，这些方法在实践中得到了广泛应用，但同时也存在着一系列的问题和限制。
然而，最近研究人员提出了一种新的偏微分方程数值求解方法——广义谱方法。
这种方法的特点是可以高精度地求解偏微分方程，而且可以处理非线性问题。
下面将对广义谱方法进行详细介绍。
一、广义谱方法的基本原理广义谱方法是一种高精度的数值方法，主要用于求解偏微分方程。
其基本思想是将问题转化为代数方程组，通过求解方程组得到偏微分方程的解。
下面简要介绍一下广义谱方法的求解步骤。
1.离散化为了将偏微分方程转化为代数方程组，需要进行离散化处理。
常见的离散化方法包括谱方法、有限差分方法、有限元方法等。
广义谱方法采用的是谱方法。
谱方法的基本思想是将函数表示为一组基函数的线性组合，然后将偏微分方程中所有的导数用其基函数的线性组合来逼近。
通过合适的基函数选择和系数求解，可以得到偏微分方程的代数方程组。
2.求解系数矩阵得到离散化的代数方程组后，需要求解其系数矩阵并构造解向量。
广义谱方法中的系数矩阵是一个稠密矩阵，通常使用高斯消元等经典数值算法来求解。
3.求解解向量得到系数矩阵后，便可以求解出解向量。
广义谱方法中的解向量与谱方法中的系数向量一一对应，可以通过线性代数方法求解出来。
二、广义谱方法的特点广义谱方法作为一种新的偏微分方程数值求解方法，具有以下特点：1.高精度性广义谱方法使用谱方法进行离散化，可以高度精确地重建函数。
相比传统的有限差分、有限元等方法，广义谱方法的精度更高。
2.对非线性问题具有鲁棒性广义谱方法可以处理一些传统数值方法难以处理的非线性问题。
在某些非线性情况下，传统的数值方法很可能会产生不稳定的结果，而广义谱方法能够在保证高精度的同时，稳定地求解非线性问题。
数学中的偏微分方程与泛函分析应用研究
数学中的偏微分方程与泛函分析应用研究在数学领域中，偏微分方程是一类包含多个独立变量的方程，涉及到未知函数的偏导数。
它们在物理、工程、经济学等众多学科中都有广泛的应用。
而泛函分析是研究无限维向量空间上的函数和其它相关概念的数学分支，也与偏微分方程有着紧密的联系。
本文将介绍偏微分方程与泛函分析的基本概念和应用领域。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程包含多个独立变量，如时间和空间变量。
常见的偏微分方程类型有：椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程。
椭圆型方程的例子包括拉普拉斯方程、泊松方程；抛物型方程的例子有热传导方程、扩散方程；双曲型方程则包括波动方程、输运方程等。
解偏微分方程的方法包括分离变量法、特征线法、变换法等。
其中分离变量法是最常用的一种方法，它将多变量方程拆分成多个单变量方程，通过求解这些单变量方程得到整个方程的解。
二、泛函分析的基本概念泛函分析是与无限维向量空间和函数相关的分析领域，其基本概念包括：线性空间、内积、范数、完备性等。
泛函分析中的重要定理有：开映像原理、闭图像原理、泛函极值原理等。
在泛函分析中，有一类重要的算子称为“算子半群”，它是描述动力系统、物理系统以及偏微分方程演化的理想工具。
算子半群可以用于描述一类动力学演化方程，如抽象泛函微分方程等。
三、偏微分方程与泛函分析的应用偏微分方程与泛函分析在众多学科中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：偏微分方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，拉普拉斯方程和波动方程可以用于描述电磁场和声波传播等物理现象。
2. 工程学：在工程学中，偏微分方程可以用于解决流体力学、结构力学、热传导等问题。
例如，热传导方程可以用于计算不同材料的温度分布和热传导特性。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中也有重要应用。
例如，黑-斯科尔模型可以用于研究金融市场中的期权定价。
4. 生物学：生物学中的很多现象也可以通过偏微分方程来描述。
例如，扩散方程可以用于模拟生物体内的分子传输过程。
高级数学中的偏微分方程与泛函分析
偏微分方程与泛函分析在交叉学科研究中的应用 实例
流体力学：偏微分方程与泛函分析 用于描述流体运动的规律和性质， 如 N a v i e r- St o k e s 方 程 。
物理学：偏微分方程与泛函分析用 于描述物理现象的数学模型，如量 子力学和相对论。
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经济学：偏微分方程与泛函分析用 于描述经济系统的动态变化和优化 问题，如最优控制和博弈论。
偏微分方程与泛函分析
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汇报人：
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 偏 微 分 方 程 概 述
03 泛 函 分 析 概 述 05 偏 微 分 方 程 与 泛 函
分析的发展趋势
04 偏 微 分 方 程 与 泛 函 分析的联系
06 偏 微 分 方 程 与 泛 函 分析的实例分析
工程学：偏微分方程与泛函分析用 于解决各种工程问题，如结构分析 和信号处理。
THANKS
汇报人：
偏微分方程是 描述物理现象 的重要工具， 而泛函分析为 其提供了数学
基础。
偏微分方程的 解可以通过泛 函分析中的变 分法来求解， 这是两者之间 的主要联系。
泛函分析中的 函数空间、算 子等概念在偏 微分方程中有 着广泛的应用。
偏微分方程的 解的存在性、 唯一性和稳定 性等问题可以 通过泛函分析 的方法进行证
生物数学：将偏微分方 程和泛函分析应用于生 物学中，如种群动力学、 流行病学和生态学等。
Part Six
偏微分方程与泛函 分析的实例分析
偏微分方程在物理问题中的应用实例
波动方程：描述波动现象，如声波、光波和水波 热传导方程：描述热量传递过程，如物体加热和冷却 弹性力学方程：描述弹性物体的变形和应力分布 相对论力学方程：描述高速运动物体的相对论效应
泛函分析作业
泛函分析在地球物理勘探中的应用地球探测科学与技术学院相丽娜2015652005泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多•沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
一、泛函分析基本原理泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函，算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。
其中线性泛函分析是发展较成熟的部分，主要包括抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。
1.1 抽象空间理论抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。
度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质，即称为一个距离。
定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间，泛函中的收敛性与范数有关。
进而，若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的，此即完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共轭空间，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
内积空间是定义了内积运算的线性空间。
完备的赋范内积空间，称为希尔伯特（Hilbert）空间，Hilbert空间具有良好的性质。
1.2 线性算子理论最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。
如果像空间是拓扑线性空间所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。
几个重要的线性算子：距离空间上的连续映射(算子)，巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子。
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泛函分析和偏微分方程的广义求解1历史和背景1.1泛函分析简介1.1.1什么是泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
1.1.2赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。
这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。
1. 希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。
对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。
对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。
希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。
该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
2. 巴拿赫空间一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。
对于每个实数p，如果p ≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
（参看Lp空间）在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
1.1.3主要结果和定理泛函分析的主要定理包括：1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。
2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
4. 开映射定理和闭图像定理。
1.1.4产生的历史、特点和内容十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。
泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。
因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。
这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。
这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。
现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。
古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。
他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。
近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。
它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
1.2偏微分方程简介1.2.1偏微分方程的起源如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
法国数学家傅立叶在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
1.2.2偏微分方程的内容弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。
演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。
当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。
用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。
偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。
上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。
因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。
拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。
原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。
天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。
在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。
就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。
边界条件也叫做边值问题。
当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。
在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。
偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。
方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。