带根号的函数最值问题
对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。
中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。
名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。
单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
约束条件分类
线性规划一、约束条件中带根号设变量x，y满足约束条件{y≤23x−3y≤0x+3y−23≥0，则目标函数u=x2+y2的最大值M与最小值N的比MN=（）A、433B、1633C、43D、163分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最值即可．解：注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，作出可行域．易知当为（3.5，2）点时，u取得目标函数的最大值，代入目标函数中，可得z max=3.52+32=16．当原点到直线x+ 3y-2 3=0距离时，u取得目标函数的最小值，代入目标函数中，可得z min= (|23|1+3)2=3．则目标函数u=x2+y2的最大值M与最小值N的比MN = 163故选：D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．二、 约束条件为二次的1．不等式组{(x −y +3)(x +y )≥00≤x ≤4表示的平面区域是（ ）A 、矩形B 、三角形C 、直角梯形D 、等腰梯形分析：根据题意，（x-y+3）（x+y ）≥0⇔ {x −y +3≥0x +y ≥0或{x −y +3≤0x +y ≤0，做出其表示的平面区域，可得答案．解答：解：根据题意，（x-y+3）（x+y ）≥0⇔ {x −y +3≥0x +y ≥0或{x −y +3≤0x +y ≤0，如图阴影部分表示平面区域， 结合直线斜率易判断为等腰梯形． 故选D点评：本题考查不等式组表示的平面区域问题，属基本题型的考查．2．不等式组 {(x −y +5)(x +y )≥00≤x ≤3表示的平面区域的面积是（ ）A 、12B 、24C 、36D 、48考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：画出不等式组表示的平面区域，判断出平面区域的形状，利用梯形的面积公式求出平面区域的面积．解答：解：作出{(x −y +5)(x +y )≥00≤x ≤3表示的平面区域， 如图阴影部分所示由图知，可行域是梯形，其面积为(8+3)+52×3=24故选B ．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域、考查梯形的面积公式．属基础题．三、 约束条件含参数若不等式组 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4x +my +n ≥0所表示的平面区域是面积为54的直角三角形，则n 的值是（ ）A 、 −32B 、 32 C 、 −43 D 、 34考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：我们先画出满足条件 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4表示的平面区域，再根据x+my+n ≥0表示的平面区域表示为直线x+my+n =0右侧的阴影部分，结合已知中不等式组{y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4x +my +n ≥0所表示的平面区域是面积为54的直角三角形，我们易得到满足条件的直线，进而根据直线的方程求出n 的值． 解答：解：满足条件 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4的平面区域如下图所示：由于据x+my+n ≥0表示的平面区域表示为直线x+my+n =0右侧的阴影部分面积，故分析可得直线x+my+n =0过（2，1）点且与直线直线x +2y =4垂直 解得n =- 32 故选A点评：本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，根据已知条件分析满足的直线方程是解答本题的关键．四、 约束条件含绝对值1.（2008•湖北）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组 {|x|≤|y|x|＜1的点（x ，y ）的集合用阴影表示为下列图中的（ ）A 、B 、C 、D 、考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：把绝对值不等式组转化为二元一次不等式组，再由线性规划方法画出即可． 解答：解：|x|＜1⇔-1＜x ＜1，|x|≤|y|⇔x 2≤y 2⇔x 2-y 2≤0⇔（x+y ）（x-y ）≤0⇔{x +y ≥0x −y ≤0或 {x +y ≤0x −y ≥0则可画出选项C 所表示的图形． 故选C ．点评：本题考查线性规划的方法及化归思想．2．（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组 {y ≥x −1y ≤−3|x |+1所表示的平面区域面积为（ ）考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：先依据不等式组 {y ≥x −1y ≤−3|x |+1，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．解答：解：原不等式组{y ≥x −1y ≤−3|x |+1可化为：{y ≥x −1x ≥0y ≤−3x +1或 {y ≥x −1x ＜0y ≤3x +1画出它们表示的可行域，如图所示． 原不等式组表示的平面区域是一个三角形， 其面积S △ABC = 12×（2×1+2×2）=3， 故选D ．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．3．在坐标平面上，不等式组{y ≥2|x |−1y ≤x +1所表示的平面区域的面积为（ ）A 、 2 2B 、 83C 、2 23D 、2 考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，再求出可行域的面积． 解答：解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分， 由题意M （2，3），N （−23，13），P （0，-1），Q （0，1） 不等式组 {y ≥2|x |−1y ≤x +1所表示的平面区域的面积为：12×2×2+12×2×23故选B ．点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．4．满足|x-1|+|y-1|≤1的图形面积为（ ）A 、1 B 、 2 C 、2 D 、4 考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：先把满足|x-1|+|y-1|≤1的平面区域在坐标系内画出，转化为求阴影部分的面积，即求正方形的面积问题即可．解答：解：因为|x-1|+|y-1|≤1⇔{x +y ≤3 x ≥1，y ≥1x −y ≤1 x ≥1，y ＜1x +y ≥1 x ＜1，y ＜1x −y ≥−1 x ＜1，y ≥1其对应的平面区域如图所示的正方形ABCD ， 又因为|AB|= 2，所以S ABCD = 2× 2=2． 故满足|x-1|+|y-1|≤1的图形面积为2． 故选 C ．点评：本题考查线性规划知识的应用．在做线性规划方面的题时，一定要找准平面区域，好多问题都是借助于平面区域求解的．五、 约束条件为三角不等式已知θ满足{sinθ+2cosθ≤2sinθ−3cosθ≤1，则函数f （θ）=2sinθ+3cosθ的最大值为（ ）A 、175B 、 185C 、195D 、 13考点：简单线性规划．分析：先设x=sinθ，y=cosθ，将题目转化成约束条件为{x 2+y 2=1x +2y ≤2x −3y ≤1，目标函数为z=2x+3y 的最大值问题，再根据约束条件画出可行域，设z=2x+3y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+3y 过可行域内的点A 时，从而得到z=2x+3y 的最大值即可．解答：解：设x=sinθ，y=cosθ则约束条件为 {x 2+y 2=1x +2y ≤2x −3y ≤1，目标函数为f （θ）=2x+3y先根据约束条件画出可行域，设z=2x+3y ，将z 的值转化为直线z=2x+3y 在y 轴上的截距， 当直线z=2x+3y 经过点A （ 45， 35）时，z 最大， 最大值为： 175． 故选A ．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．六、 约束条件为直线解答：解：如图，面积 S=∫1221x=lnx|122=ln2-ln12=2ln2．故选D ．七、 约束条件为圆的设O 为坐标原点，点A （1，1），若点B (x ，y )满足{x 2+y 2−2x −2y +1≥01≤x ≤21≤y ≤2，则 OA →•OB →取得最小值时，点B 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 考点：简单线性规划．分析：先根据点B （x ，y ）满足 {x 2+y 2−2x −2y +1≥01≤x ≤21≤y ≤2的平面区域，再把所求问题转化为求x+y 的最小值，借助于线性规划知识即可求得结论． 解答：解：x 2+y 2-2x -2y +1≥0即（x -1）2+（y -1）2≥1，表示以（1，1）为圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域．当目标函数 z=OA →•OB →=x+y 的图象同时经过目标区域上的点（1，2）、（2，1）时，目标函数 z=OA →•OB →=x+y 取最小值3． 故点B 有两个． 故选B ．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用，是对基础知识的综合考查，属于基础题．不等式组 {x 2+y 2−2x −2y +1≥00≤x ≤21≤y ≤2表示的平面区域的面积等于（ ）解答：解：设M （1，1）是圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，则不等式组 {x 2+y 2−2x −2y +1≥00≤x ≤21≤y ≤2x −y ≤0表示的平面区域 如图所示，是梯形DMAC 中位于圆外的部分．梯形的面积为 12(DM +AC )•CD = 12×(1+2)×1=1，梯形内扇形的中心角为π- π4= 3π4故梯形内扇形的面积等于 12×3π4×12=3π8故不等式组表示的平面区域的面积等于 1- 3π8， 故选 C ．。
函数专题之值域与最值问题
函数专题之值域与最值问题一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
初高中衔接教材2二次函数求最值问题二次函数求最值问题
二次函数求最值问题(2)命题人：孙文淼命题人学校：常州市第二中学审核人：季明银审核人学校：常州市第二中学【题型】选择题【试题】1.函数y=-x2+1的最值是（）【选项】A.最小值1B.最大值1C.最小值0D.最大值0【答案】B【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向下，对称轴x=1，所以在x=1时，最大值1【题型】选择题【试题】2.函数y=(x-2)2+1的最值是（）【选项】A.最小值1B.最大值1C.最小值5D.最大值5【答案】A【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向上，对称轴x=2，所以在x=2时，最小值1【题型】选择题【试题】3.函数y=-(x-3)2+2的最值是（）【选项】A.y min=1B.y max=1C.y min=2D.y max=2【答案】D【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向下，对称轴x=3，所以在x=3时，最大值2【题型】选择题【试题】4.函数y=x2-4x+4的最值是（）【选项】A.y min=0B.y max=0C.y min=4D.y max=4【答案】A【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向上，对称轴x=2，所以在x=2时，最小值0【题型】选择题【试题】5.函数y=x2+2x的最值是（）【选项】A.y min=-1B.y max=-1C.y min=0D.y max=0【答案】A【分值】3【难度】2【答案说明】在对称轴x=-1时，y min=-1【题型】选择题【试题】6.函数y=-x2+2x的最值是（）【选项】A.y min=1B.y max=1C.y min=0D.y max=0 【答案】B【分值】3【难度】2【答案说明】在对称轴x=1时，y max=1【题型】选择题【试题】7.函数y=x2-4x+5的最值是（）【选项】A.y min=5B.y max=5C.y min=1D.y max=1【答案】C【分值】3【难度】2【答案说明】配方.当x=2时，y min=1【题型】选择题【试题】8.函数y=2x2-4x+5的最值是（）【选项】A.y min=-3B.y max=-3C.y min=3D.y max=3【答案】C【分值】3【难度】2【答案说明】配方.当x=1时，y min=3【题型】选择题【试题】9.函数y=-3x2-6x+7的最值是（）【选项】A.y max=-4B.y min=-4C.y max=10D.y min=10【答案】C【分值】3【难度】2【答案说明】配方.当x=-1时，y max=10【题型】选择题【试题】10.函数y=(1-x)(x+2)的最值是（）【选项】A.max 9=4y B.min 9=4y C.y max =-4 D.y min =-4【答案】A【分值】3 【难度】2【答案说明】展开后配方.当12x =-时，max 94y =【题型】选择题【试题】11.函数y=(x-3)(2x+5)的最值是（ ） 【选项】 A.y max =-15B.y min =-15C.min 1218y =-D.max 1218y =-【答案】C 【分值】3 【难度】2【答案说明】展开后配方.当14x =时，min 1218y =-【题型】选择题【试题】12.函数y=x 2+x+1y 在-1≤x ≤1上的最小值是（ ） 【选项】A.1B.43C.21-D.41-【答案】B 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当12x =-时，min 34y =.【题型】选择题【试题】13.函数y=x 2+x+1在-1≤x ≤1上最大值是（ ） 【选项】A.3B.43C.21-D.1【答案】A 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=1时，y 最大值3.【题型】选择题【试题】14.函数y=-x2+4x-2在区间1≤x≤4 上的最大值是（）【选项】A.-7B.-4C.-2D.2【答案】D【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=2时，y max=2【题型】选择题【试题】15.当-3≤x≤-1时，则函数y=x2-2x-3的最大值和最小值是（）. 【选项】A.12 ,-4B.12 ,0C.0,-4D.12, -3【答案】B【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=-1时，y min=0；当x=-3时，y max=12【题型】选择题【试题】16.当1≤x≤2时，则函数y=-x2-x+1的最大值和最小值（）. 【选项】A.54 ,-1 B.-1 ,-5 C.54,-5 D.-1, 54【答案】B【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=2时，y min=-5；当x=1时，y max=-1.【题型】选择题【试题】17.当x≥0时，则函数y=-x(2-x)的取值范围是（）. 【选项】A.y＞1B.y≥1C.y≥-1D.y＞-1【答案】C【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=1时，y min=-1，取值范围是y≥-1【题型】选择题【试题】18.当x＜0时，则函数y=-x(2-x)的取值范围是（）. 【选项】A.y＞0B.y≥0C.y＞-1D.y≥-1【答案】A 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.通过图象可得取值范围是y ＞0【题型】选择题【试题】19.当2≤x ≤4时，则函数y=3x(2-x)+1的取值范围是（ ）. 【选项】A.-23≤y ≤1B.1＜y ＜4C.-23≤y ≤4D.y ＜4 【答案】A 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=4时，y min =-23；当x=2时，y max =1【题型】选择题 【试题】20.函数5482+-=x x y 的最值为（ ） 【选项】A.最大值为8，最小值为0B.不存在最小值，最大值为8C.最小值为0, 不存在最大值D.不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分值】3 【难度】4【答案说明】找出分母的最值.令2()45f x x x =-+，当2x =时，min ()1f x =，则max 8y =，无最小值。
根号取值范围
根号取值范围在数学中，根号是一个非常重要的概念，它被广泛应用于傅里叶分析，积分学，几何学，矩阵，代数，概率统计甚至物理学中。
根号有着广泛的取值范围，其取值范围由它的定义决定，下面着重介绍一下它的取值范围。
首先，根号是一个正数的平方根。
根据此定义，根号的取值范围实际上就是所有正数的集合，也就是说任何正实数都可以作为根号的取值。
如果取值超出此范围，那么根号就不能正确被定义。
其次，根号的取值还可以由它的特性决定，这就涉及到根号的取值的实质了。
例如，当m和n是正整数时，根号问题可以归结为关于根号的概率问题。
在这种情况下，根号的取值范围可以定义为[0,∞)，它是一个闭区间，其中不包括0，也就是说根号的取值范围不能小于0。
此外，在概率论中，根号的取值范围还可以由其定义的函数确定，例如，如果f(x)=x2，那么根号的取值范围就是[-∞,∞)，此时，根号的取值范围可以是任意实数，包括负数。
在概率论中，根号的取值范围还可以由它定义的函数来确定，例如，如果f(x)=x3，那么根号的取值范围就是[0,∞)，此时，根号的取值范围不能是负数。
最后，在复数范围内，根号的取值范围还可以由它的计算公式进行定义。
例如，在复数范围内，根号的取值范围可以由它的定义的函数：z = x+iy来确定，此时，根号的取值范围就可以定义为[-∞,∞)，不包括-∞，也就是说根号的取值可以是任意实数，甚至是负数。
总结起来，根号的取值范围可以根据它的定义和特性确定，也可以根据它定义的函数进行定义，同样，在复数范围内，根号的取值范围也可以由它的计算公式进行定义。
根据所有上述规定，可以总结出根号的取值范围为[-∞,∞)，其中不包括-∞。
根号的取值范围虽然广泛，但是由它的定义及其取值范围决定，任何取值超出此范围的根号都是无效的，故而在实际应用中需要根据不同概念来给出它的取值范围。
同时，对于不同的函数，根号的取值范围也可能不同，比如函数f(x) = x3时，根号的取值范围就应该是[0,∞)，而不能是负值。
根式的形式演变与求最值的方法
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例 ２ 求 函数 Ｙ— ＋ Ｃ１ｘ一 ２ 一 ｚ 的值 ０ ３
从一道带根号函数的值域错解谈起
5-182019年第5期从一道带根号函数的值域错解谈起黄海(贵州省六盘水市第二十三中学，贵州六盘水553000)用数形结合法求形如/仏)=J+b x x+c,-j+b2x+c2(a iy a2M0,x e R)函数值域时，文[1]给出这样一个例题：例求y=y/x2+9-Jx-8%+41的值域文中给出如下的分析及解法：分析：原式可看作y=y(x-0)2+(0-3)2-y(x-4)2+(0-5)2,因此问题转化成：y的值就是在平面直角坐标系中的乂轴上一点到两定点4(0,3)、B(4,5)的距离之差.r^j■命题和提出新数学问题的能力.我们应当以模式的观念为核心来组织数学解题教学，即应该注重通过模式的识别、简单运用、综合运用和创造性运用，引导学生逐渐学会建立与发展识别模式、分析模式、鉴赏模式、创造模式、拓展模式与应用模式的能力.波利亚先生曾指出：一种解题方法，无论是自己获得的，或是学来的、听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲，就可成为一种楷模，当你再次碰到类似的数学问题，它就是你可依照的模式•⑹笛卡尔也说:“我们解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题•”数学试题成千上万，我们不可能把它们一一做完•但许多数学问题，无论是题设、结论，还是整体结构、直观图像或解题方法，都表现出或隐含着某种数学模式，解题时若善于观察、识别和捕捉这些模式特征，往往可以迅速地获得问题解决的途径，而且，常常可以基于模式相似性特征推广原有命题和提岀新的数学问题.当然，识别问题所蕴含的模式和基于该模式提出新的数学问题,这个过程常常连结B4,延长B4交％轴于点P0(%0,0).从图1中可知：x轴上任意一点P(P°除外)到/z*w r^i是很不容易的，需要具有模式直观的洞察力和蕴藏着思维的灵动、自然而又曼妙的想象,以及由此及彼、由表及里的综合联系与抽象提炼•教师在此要有意识地引导、教育和培养学生,使学生的解题和提出问题的能力得到提升.参考文献[1][美]Steen LA.模式的科学[J].李亚平，译.数学译林,1993(2)：96-105.[2]阿蒂亚等著.数学与物理最前沿[M].香港:商务印书馆,2010.[3]邓东皋等主编.数学与文化[M].北京:北京大学出版社，1990.[4][美]基思•德夫林.千年难题:七个悬赏1000000美元的数学问题[M].沈崇圣，译•上海:上海科技教育出版社,2007.[5][美]G•波利亚著.数学与猜想:合情推理模式(第二卷)M].李志尧等，译.北京：科学出版社,2001.[6][美]波利亚著.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟等，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.2019年第5期欽学孰学5-194、B两点距离差的绝对值都小于\AB\.即-1AB丨<I AP丨-I BP丨=Jx+9--8%+41<I AB\.因为\AP0\-\BP0\=-g-8陶+41+a J+9—-1AB I,所以-I4BI<1ABI，得值域-仍W y<2^5.评析：对于此结果，当4、B、P o三点共线时取得最小值，这一点毋庸置疑.对于右边的值出现的却是一个放大的结果,这是因为尽管数形结合它是形象的、直观的，在解题时可以避免繁琐的计算过程，但有时并非是“全能”的，更不能简简单单地根据图形得出答案.因为形只是我们操作的一种手段，一种工具，并不是理论证据.下面将给出正确的解法.解法1：将原式变形为y=7(x-0)2+(0-3)2-7(%-4)2+(0-5)2,定义域为％e R,y的值域可看作P(%,0)到点4(0,3)和点2(4,5)的距离之差.(i)当%=-6时，如图2,点P与4、B三点共线，有I PAI-1“丨=-14BI,即y=-仍；在Rt APOC和RtAPOA中，因为丨PO I=(2)当%逐渐增大，假设为点0) (X<%!),如图4,连结PiA、P(B,匕4与PB交于点0”令巴4=如,P l B=b1,由三角形两边之和大于第三边，则\0}A\+\0t P\>a,............①I0x B\+\0x P x I>............②因为I0x A\+\0”I=a],I0t B I+ I0x P\=b,所以①+②得5+b>a+g,即4>b—a〉b、—a】.当％—+oo时，4>b-a >b x-a x>…> b”-a n.当x#-6时，由三角形两边之差小于第三边，有丨P'AI-I P'BI>-\AB\，即y>-仍，所以y M-2^5.(ii)当x>-6时，如图3,过点B作y轴的垂线交V轴于点C,连结刃、PB、PC,则I BCI=4,I ACI=2.(1)令I PA\=a,I PB\=b,I PCI=c,由三角形两边之和大于第三边，有6+4>c.(iii)当％<-6时同理.综上所述,y的值域为[-275,4).评析：此时所得结果最小值相等，右边的值却发生了变化，即在错解中函数的值域[-2点，2点)只是一个大致单位，就像我们在高中时，求值域经常出现一个放大的值域.这便说明错解简单从三角形两边之差小于第三边的角度思考，只能得到函数的最小值，得不到最大值•尽管求出一个2点，但只是小于，不是小于等于，这样完全可能使得值域的最大值5-20欽学救学2019年第5期比2点小.而解法1中的“结合”严格遵循了“数”与“形”内在的一致性，实质也是在补上错解中的短板，是此函数数与形完美结合的表现，通过这样“结合”，问题才能形象、直观、准确地解决•接下来用极值的第一充分条件⑵求解说明此类带根号函数值域用数形结合法求解时,要严格保持“数”与“形”的一致解法2：由x2+9＞9,x2-8x+41=(x-4)2+25M25,所以％e R.对y求导，则y，二(丿/+9)z-(J/-8%+41)'x x-4a/x2+9J&+41令y'=0,解得勺=-6,x2因为当％7时』'2 2 ~28x-------M0,所以力+4122 2是y'的增根，故舍去.所以x--6是y唯一的稳定点.又当％w(-8,~6)时y，＜0,即歹在(-8,-6)上单调递减；当XW(-6,+8)时y，＜0,即y在(_6, +8)上单调递增.所以当％=-6时，丁罰=745--丿125=-2^5.又limy=lim(x2+9_y/x2-8x+41)X—»+8X―+00(/+9)-(%2-8%+41)=lim--------------------------------------i+9+y x2-8%+41-8%-32=lim------；•-1+x\/x2+9+\/%2—8%+418』=lim-------------------上=4.同理limy=-4,所以,y的值域为[-2点, X—»-004).评析：用导数法求解此函数的值域所得结果无疑是正确的.所以，在求形如/(x)=y/a t x2+6]%+C]-y/a2x2+b2x+c2(tz,a20,x e R)的函数值域问题时，如果使用数形结合法求解，则不能简单地利用几何图形，必须在几何图形的基础上考察动点的变化趋势，使数与形的转化保持一致，否则滥用数形结合将出现错误的结果.如函数/(%)=y/x2-6x+13-y/x2+4x+5的值域是(-5,丿厉]，而不是(-/26,726],等等.参考文献[1]王秀珍•关于求带根号函数值域方法的探究[J].数学教学,1996(2)：23-25.[2]华东师范大学数学系•数学分析(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2010.。
（word完整版）高中三角函数最值问题难题
（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。
根式函数最值求法大放送
根式函数最值求法大放送雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学㊀２１００４４)摘㊀要:根式函数最值的求解对学生而言是比较困难的.本文介绍了几类根式函数特别是双根式函数的最值的求法.关键词:根式函数ꎻ单调性ꎻ换元ꎻ平方ꎻ几何意义ꎻ数量积ꎻ分子有理化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６７－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:雷亚庆(１９７２－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀含根式函数的最值问题具有灵活性强㊁难度大的特点ꎬ很多同学望而生畏ꎬ往往不知道从哪入手ꎬ尤其是双根式函数更是难点.实际上根式函数没有想象的那么可怕ꎬ只要我们认真分析题意ꎬ注意条件的应用ꎬ养成正确的解题习惯ꎬ即可找到合理恰当的解法ꎬ使此类问题顺利加以解决ꎬ下分类举例说明.㊀㊀一㊁利用函数单调性例１㊀求函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域.解析㊀易求得函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１定义域为[１ꎬ＋¥)ꎬ由于函数ｙ＝ｘ－１和ｙ＝ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)为增函数ꎬ所以ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)上单调递增.当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值２.所以函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域为[２ꎬ＋¥)例２㊀(重庆高考)ｆ(ｘ)＝５ｘ２－２ｘ＋２ｘ－５ｘ＋４的最小值.解㊀定义域为(－¥ꎬ０]ɣ[４ꎬ＋¥)ꎬ显然函数在(－¥ꎬ０]上单调递减ꎬ在[４ꎬ＋¥)上单调递增.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍｉｎｆ(０)ꎬｆ(４){}＝ｆ(０)＝４.㊀㊀二㊁利用换元去根号１.换元消去根号例３㊀(２００６年江苏改编)求函数ｙ＝１－ｘ２＋１－ｘ＋ｘ＋１的最大值.解㊀求得定义域为:ｘ－１ɤｘɤ１{}.设ｔ＝１＋ｘ＋１－ｘꎬ所以ｔ２＝２＋２１－ｘ２ɪ[２ꎬ４].所以ｔ的取值范围是[２ꎬ２].由ｔ２＝２＋２１－ｘ２得１－ｘ２＝１２ｔ２－１ꎬ所以ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１(２ɤｔɤ２).因为ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１在[２ꎬ２]上单调递增ꎬ所以当ｔ＝２即ｘ＝０时函数有最大值３.２.三角换元化掉根号例４㊀求ｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ的值域.分析㊀求根式函数的值域是一个难点ꎬ特别是双根式函数ꎬ实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话ꎬ就会发现隐藏的解题信息ꎬ利用三角代换ꎬ就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.解㊀由已知得:４ɤｘɤ５所以可设ｘ＝４＋ｃｏｓ２θ(０ɤθɤπ２).ʑｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ＝ｃｏｓ２θ＋３ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π６)(０ɤθɤπ２).ȵ０ɤθɤπ２ꎬʑπ６ɤθ＋π６ɤ２π３ꎬʑ１２ɤｓｉｎ(θ＋π６)ɤ１ꎬʑ函数的值域为[１ꎬ２].７６㊀㊀三㊁利用平方去根号例５㊀求ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ的值域.解析㊀求得定义域为[１ꎬ２].把ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ两边平方得ｙ２＝１＋２(ｘ－１)(２－ｘ)＝１＋－ｘ２＋３ｘ－２(１ɤｘɤ２).因为ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｇ(ｘ)＝－ｘ２＋３ｘ－２ɪ[０ꎬ１４]ꎬ所以ｙ２ɪ[１ꎬ３２].又因为ｙȡ０ꎬ所以ｙɪ[１ꎬ６２].㊀㊀四㊁利用几何意义１.构造距离例６㊀求函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３的最小值.解㊀ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３＝(ｘ＋１)２＋(０－１)２＋(ｘ－２)２＋(０－３)２.设点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬＡ(－１ꎬ１)ꎬＢ(２ꎬ３)ꎬ问题转化为:在ｘ轴上找一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＢ最小作点Ａ关于ｘ轴对称的点Ａᶄ(－１ꎬ－１)ꎬ显然当点Ｐ为直线ＡᶄＢ与ｘ轴交点时ＰＡ＋ＰＢ有最小值即ＡᶄＢ＝５.２.构造斜率例８㊀求函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域.解㊀ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１＝１－(ｘ－１)２ｘ－(－１).构造定点Ａ(－１ꎬ０)ꎬ动点Ｐ(ｘꎬ１－(ｘ－１)２)ꎬ其中动点Ｐ在曲线ｙ＝１－(ｘ－１)２即半圆(ｘ－１)２＋ｙ２＝１(ｙȡ０)上如图２.问题转化为求直线ＰＡ的斜率的最值ꎬ由图２可知０ɤｋＰＡɤ３３.所以函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域为[０ꎬ３３].㊀㊀五㊁利用向量数量积的性质例９㊀求函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值.解㊀设ａ＝(５ꎬ１)ꎬｂ＝(ｘ－１ꎬ１０－ｘ)ꎬ则有ｙ＝ａ ｂ且ａ＝２６ꎬｂ＝３.由向量数量积的性质可知:ａ ｂɤａｂ＝３２６ꎬ当且仅当向量ａꎬｂ共线同向时取 ＝ 号.所以函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值为３２６.㊀㊀六㊁利用分子有理化例１０㊀求函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域.解㊀ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１＝(ｘ＋１－ｘ－１)(ｘ＋１＋ｘ－１)ｘ＋１＋ｘ－１＝２ｘ＋１＋ｘ－１.由例１可知ｘ＋１＋ｘ－１ɤ２ꎬ所以２ｘ＋１＋ｘ－１ɪ(０ꎬ２].即函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域为(０ꎬ２]㊀㊀七㊁构造对偶式求解例１１㊀求函数ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘ的最值.解析㊀设ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ(４ɤｘɤ２９)ꎬ则ｙ２＋ｚ２＝５０ꎬ即ｙ２＝５０－ｚ２.因为函数ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ在[４ꎬ２９]上单调递增ꎬ㊀所以当４ɤｘɤ２９时ꎬｚɪ[－５ꎬ５]ꎬ所以ｙ２＝５０－ｚ２ɪ[２５ꎬ５０].又因为ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘȡ０ꎬ所以ｙɪ[５ꎬ５２].即函数值域为[５ꎬ５２].总之ꎬ解决根式函数的最值问题时ꎬ我们要养成良好的审题和解题习惯.如审题要注意挖掘目标函数的结构和隐含信息ꎬ解函数题时一定养成先求定义域的好习惯ꎬ只要这样我们就可以通过换元ꎬ构造ꎬ把问题转化为我们熟悉的函数最值模型ꎬ从而使问题得以解决.㊀㊀㊀参考文献:[１]雷亚庆.巧用函数奇偶性解决函数零点问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１９):３５－３６.[责任编辑:李㊀璟]８６。
高中数学对钩函数的有关知识
高中数学对钩函数的有关知识对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x （a>0,b>0）的函数。
由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。
名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
因函数图像相似耐克商标，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线。
在第一区间时，其转折点为最值：当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性奇偶性：双勾函数是奇函数。
单调性：令k=那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
注：对勾函数的图像是双曲线。
实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线的标准方程通过旋转角度得到。
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道：展开，得：即：两边同时加上2ab，整理得：两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b，代入上式，得：这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。
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带根号的函数最值问题
数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。
当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。
这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。
1. 单调性一致情况
y x = （x ∈[1,2]）
分析：这个函数，分成两部分。
x 也是增的。
这个函数y x =+
于是，最大值最小值就在端点时取到。
min max y 12y ==
2.单调性不一致的根号中一次项情况
y x =+ (x ∈[0,1])
分析：单调性不一致，首先考虑换元法
2[0,1]),x=1-t ∈
max min 3,14
y y ==
3．根号中出现二次项情况
y x =（x ∈[-1,1]）
分析：单调性很难判断。
这时候首先考虑换元法
方法一：三角换元
我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。
设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈,
利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。
cos sin )4
y x θθπ
θ=+=+=+
值域就是[-
方法二：移项平方
这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。
但有时候，它是那么的吃力不讨好。
y x y x =+-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x
222x 210yx y -+-=
由于x 存在，判别式大于等于0
22248(1)
840
[y y y y =--=-≥∈V
但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1
[y ∈-
方法三：求导
求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。
本文大部分题目可以用求导解决。
221'11y
x x y x =+-+=-
-+ 令y ’≥0
解得2[1,]2
x ∈-，不过这个过程颇为艰辛 于是易得[1,2]y ∈-
4.双根号明显数形结合的情况
221(4)16y x x =++-+求最小值
分析：明显可以看作两点间距离公式类型。
这类题难度不大。
但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。
看作点（x,0）到点（0,1）和(4,4)两点距离之和
如图，在AC 线段上显然最小。
即取x=1时，有
min 5y =
5.涉及圆锥曲线定义情况
6=
分析：这类题就是很典型的圆锥曲线定义
这里，双曲线22
1916
x y -=的右半支，即为题设。
那么这里y 的范围就很清晰 (,)y ∈-∞+∞
题目也可以考x 的范围，那就是[3,)+∞
6.较难的圆锥曲线思路。
y x =
分析：导数自然可以尝试，换元法是有些不方便。
这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法， 我们这里把坐标系看作 横轴x 轴，纵轴p 轴,，至于y 就看作常数。
y x -=
看成两个曲线的交点
第一个曲线是p=x y -+，第二条曲线是
第一条曲线就是斜率为-1的，纵截距为y 的一条直线
第二条曲线，进行一定化简
222243(2)1
p p x x p x ==-+--=-
即22
(2)1x p --=
这事实上就是一条双曲线，只是中心是（2，0）
那我们把渐近线也画出来。
这里渐近线的斜率也是-1，
-+,结合图像可知，纵截距y的范围是
那么对于直线p=x y
⋃+∞
[1,2)[3,)
7.三个根号构造向量情况
222222
=-+-+++-+-求最小值
(2)(1)(32)(23)(3)(32)
y a b a b a b
注意到2,32,3a a a -+-的和是定值8
1,23,32b b b -+-的和为6
那么，看作(2,1),(32,23),(3,32)a b a b a b --++--
三个向量，（或者是点），画个草图
最小值即为10
8.三个根号内部一次单调性不一致情况
2713y x x x =+-分析：这是一道数学竞赛题。
难度颇大。
首先，最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x ，并且取到等号
211(273(13)2)(1)32
y x x x ≤++-+++ 11y ≤
max 11,y =当且仅当x=9时取等号
求最小值的历程比较痛苦，求导似乎可以一试这里考虑将后面两个根号合并
y
y
=
=
x=0时两个根号同时取到最小值
min
y=
9.总结
解决该类带根号的函数最值问题时，一般是按以下顺序考虑
（1）。
单调性
（2）。
数形结合
（3）。
换元（包括三角换元）
（4）。
求导
（5）。
移项平方判别式（少用！）
（6）。
创新思路：分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号
另外，一旦提到根式，一定不能忘记，定义域优先！
根号最值问题较为麻烦，上面所述的例题不多，同学们如果要想熟练掌握，就一定要做大量的练习。