探究二次根式函数值域的求法
探究二次根式函数值域的求法
探究二次根式函数值域的求法有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。
正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。
下面通过不同的角度进行探究。
探究一：求x x x 3245)(f ---=的值域设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。
解：()x x x f 3245---=05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5又()x f 在其定义域内是增函数。
()()35min -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[]3,3，-设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。
解： ()x x x f 3245---=()x x x f ---=∴835设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f易得3322=++=ba yb a故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 22=+b 上移动，何时截距最大，何时截距最小。
由于0≥a ，0≥b 所以322=+b a 表示的仅为第一象限内41由图易知，直线经过A 点时，截距y 最小，直线过B 点时，截距y 最大。
将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中，y+﹛得3max =y ， 3min -=y 所以，函数)(x f 的值域为[]3,3-，。
设想三：一般说来，对于含二次根式的函数，三角代换可以化繁为简，化难为易，下面探究如何换元。
解： x x x f 3245)(---=，x x x f ---=∴835)(，设θ2cos 35=-x ，8sin 3=-x 2θ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，cos 3)(=∴x f 2θsin 3-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin 32πθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，，∴ []3,36sin 32-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--πθ，即[]3,3)(-∈x f ，故：函数)(x f 的值域为[]3,3-。
二次根式求取值范围的方法
二次根式求取值范围的方法一、二次根式求取值范围的概念二次根式是指形如√x的数学表达式，其中x为非负实数。
求取值范围的方法可以通过图像分析、数轴分析、等式不等式变形等多种方法来进行。
利用平方根函数y=√x的图像特点可以帮助我们分析二次根式的取值范围。
平方根函数y=√x的图像为右开口的抛物线。
由于平方根函数的定义域是x≥0，所以二次根式的取值范围必定是y≥0。
也就是说，二次根式的取值范围是非负实数集[0,+∞)。
在数轴上绘制一个垂直于x轴的线段，设置一个原点O作为参照点，一端为线段上的点A，另一端为线段上的点B。
设点A的横坐标为x，根据x的取值范围可以确定B的横坐标为0，即B处于数轴的原点O处。
则线段OA代表二次根式的取值范围。
对于一般形式的二次根式√x，我们可以通过等式或不等式的变形来求取值范围。
假设y=√x，那么根据二次根式的非负性，有y≥0。
将二次根式的表达式平方，得到y²=x。
然后可以将x进行分类讨论：1.当0≤x≤1时，由于y²=x，所以0≤y²≤1，即0≤y≤1、所以当0≤x≤1时，二次根式的取值范围是[0,1]。
2.当x>1时，由于y²=x，所以y²>1，即y>1或y<-1、但根据二次根式的定义和平方根函数的图像特点，二次根式的取值必须为非负实数，所以y>1的情况被排除。
因此，当x>1时，二次根式的取值范围是(0,+∞)。
五、实例解析以二次根式√(x-2)为例，来分析其取值范围。
根据等式不等式变形的方法：1.首先，将二次根式的表达式平方(√(x-2))²=x-2x-2=x-2显然这个等式恒成立。
2.根据二次根式的非负性，有√(x-2)≥0。
由于根号表达式的定义域要求x-2≥0，解得x≥23.综上所述，二次根式√(x-2)的取值范围是x≥2六、总结通过图像分析、数轴分析和等式不等式变形等多种方法，我们可以求出二次根式的取值范围。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是数学中的一个重要概念，它与根式和平方根密切相关。
在本文中，我们将介绍二次根式的定义、运算法则以及一些常见的例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
二次根式有以下几个基本特点：1. 当被开方数a为非负实数时，二次根式有意义，结果为一个实数；2. 当被开方数a为负实数时，二次根式无意义，即不存在实数解。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的相加减法则：对于两个二次根式，若它们的被开方数相同，则它们可以直接相加或相减。
例如：√2 + √2 = 2√2；5√3 - 2√3 = 3√32. 二次根式的乘法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行乘法运算，并将结果相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行除法运算，并将结果相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的化简在进行二次根式的运算过程中，我们常常需要对二次根式进行化简，使得结果更简洁。
在化简二次根式时，可以利用以下的方法：1. 因式分解法：将被开方数进行因式分解，然后利用乘法法则将二次根式化简。
例如：√(8) = √(2 × 2 × 2) = 2√22. 合并同类项法：对于具有相同根号下的数的二次根式，可以合并为同一个二次根式。
例如：5√3 + 3√3 = 8√3四、二次根式的应用举例下面我们来举一些常见的二次根式的应用例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式的概念和运算法则。
例题一：计算下列各式的值，并化简结果：√12 + 2√3解：首先对被开方数进行因式分解：√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3将化简后的结果代入原式：2√3 + 2√3 = 4√3例题二：化简下列各式：5√6 - √24解：对被开方数进行因式分解：√24 = √(2 × 2 × 2 × 3) = 2√6将化简后的结果代入原式：5√6 - 2√6 = 3√6总结：本文介绍了二次根式的定义、运算法则，以及二次根式的化简方法。
含二次根式的函数化简和求值域问题的研究
含二次根式的函数化简和求值域问题的研究作者：李光发
来源：《中学教学参考·理科版》2015年第09期
一、引言
含二次根式的函数表达式的化简是中学数学知识的一个教学难点.直接研究二次根式的性质比较麻烦，因此通常采用一些方法将根式的根号化去，使之转化为一些三角函数的线性组合的形式，使得函数在形式上变得更简单，从而快速、准确地进行二次根式的运算和求值.
根式去根号问题形式丰富，千变万化.高中数学常见的去根号的方法有三种：（1）（Δ）2=Δ，将整个根式平方；（2）配方法.Δ2=|Δ|，通过配方将被开方式化为完全平方式，从而化简根式；（3）换元法.令Δ=t，则Δ=t2，将整个根式用另外一个新变量替换，从而将原根式用新变量表示.。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算在数学的世界里，二次根式是一个重要的概念，它不仅在代数运算中频繁出现，也在解决实际问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探究二次根式的性质与计算。
二次根式，简单来说，就是形如√a（a≥0）的式子。
其中，“√”称为二次根号，a 称为被开方数。
先来说说二次根式的性质。
性质一：双重非负性。
即二次根式的被开方数a 是非负的（a≥0），同时二次根式的值也是非负的（√a≥0）。
这就好比一个房子，里面住的人数（被开方数）不能是负数，而且从这个房子走出来的人（二次根式的值）也不能是负数。
性质二：（√a）²＝ a（a≥0）。
这个性质可以理解为，一个数先开平方再平方，就等于它本身。
就像一个人先出门再回家，还是原来那个人。
性质三：√（a²）＝｜a|。
当a≥0 时，√（a²）＝ a；当 a＜0 时，√（a²）＝ a。
这就好像一个人的正面和背面，虽然看起来不一样，但都是这个人。
性质四：√ab ＝√a×√b（a≥0，b≥0）。
这个性质告诉我们，两个非负实数的乘积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的乘积。
比如说，计算√12，我们可以把 12 分解为 4×3，那么√12 ＝√4×√3 ＝2√3。
性质五：√a÷√b ＝√（a÷b）（a≥0，b＞0）。
这就像是把一个大蛋糕（a）按照一定比例（b）切开，得到的每一份的大小（√（a÷b）），和先分别计算每一份蛋糕的大小（√a 和√b）再相除是一样的。
了解了这些性质，我们再来看看二次根式的计算。
二次根式的加减法，首先要把二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如√8，就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 4×2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
在进行二次根式的加减运算时，只有同类二次根式才能合并。
例谈含二次根式的函数值域的常用求法
例谈含二次根式的函数值域的常用求法含二次根式的函数值域的求法可以通过以下几种常用方法来进行。
首先，我们需要明确值域的定义：对于函数$y=f(x)$，值域是指$y$的所有可能值的集合。
1.图像法：对于二次根式函数，可以先绘制函数的图像，通过观察图像来判断值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，当$x$取非负的实数时，$y$有意义，所以值域为非负的实数集合，即$[0,+\infty)$。
类似地，对于函数$y=\sqrt{a-x}$，可以通过绘制图像，观察$x$的取值范围，以及函数图像的上下界来确定值域的范围。
2.代数法：通过代数方法来求解函数的值域，主要利用一些基本的代数性质和不等式。
a) 对于含有单个二次根式的函数，可以利用平方的性质，将根号去掉，然后再进行值域的判断。
例如，对于函数$y=\sqrt{ax+b}$，可以通过平方等式$x=ky^2+m$来求解。
首先令$y=kx+m$，然后进行平方运算得到$x=k(y-m)^2$。
通过观察得到，当$k>0$时，函数的值域为$(m,+\infty)$；当$k<0$时，函数的值域为$(-\infty,m)$。
b) 对于含有多个二次根式的复合函数，可以通过合并根号，并运用不等式来求解值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}+\sqrt{9-x}$，可以合并根号并利用不等式$x^2-4\geq 0$以及$9-x\geq 0$。
然后再利用不等式来求解函数的值域。
3.求解不等式：对于含有二次根式的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}$，可令$y\geq 0$，然后通过求解$x^2-4\geq 0$来确定$x$的范围。
根据不等式的求解，可以得到$x\leq -2$或$x\geq 2$。
所以该函数的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
综上所述，含二次根式的函数值域的常用求法有图像法、代数法和求解不等式。
二次根式求取值范围的方法
二次根式求取值范围的方法
首先，确定根号内部的值的范围。
对于一个二次根式√(a)，其中a
可以是一个整数、分数、或者代数式。
确定根号内部的范围可以通过以下
几种方法：
1.完全平方数法：当a是一个整数时，判断a是否为完全平方数。
如
果是，则√(a)的值为一个整数；如果不是，则√(a)的值为一个无理数。
例如，√(9)=3，因为9是一个完全平方数；而√(8)的值是一个无理数，
因为8不是一个完全平方数。
2.数轴法：当a是一个分数时，可以绘制一个数轴，将a的位置对应
的位置标记出来。
然后再看√(a)的值在数轴上的位置。
例如，√(2)位于
1和2之间，因为2是一个无理数。
3.二次函数法：当a是一个代数式时，可以将它表示成一个二次函数
的形式。
然后通过分析二次函数的图像，确定√(a)的值在y轴上的范围。
确定根号内部的值的范围之后，接下来是确定根号外部的值的范围。
1.正数的情况：当根号外部的值为正数时，√(a)的值也是正数，并
且√(a)的大小不会超过a的大小。
例如，√(2)的值位于0和2之间。
2.零的情况：当根号外部的值为零时，√(a)的值也为零。
3.负数的情况：当根号外部的值为负数时，√(a)的值是一个虚数，
即不存在实数解。
综上所述，求取二次根式的值范围的过程可以通过确定根号内部的值
的范围和根号外部的值的范围来实现。
可以根据根号内部的具体数值类型
选择适当的方法进行判断，并结合根号外部的值的正负来确定最终的范围。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
二次根式的方法
二次根式的方法二次根式是代数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题中起到了关键的作用。
本文将介绍二次根式的定义、性质以及求解的方法，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。
√a表示a的平方根，其中a为被开方数，以特殊记号“√”表示。
值得注意的是，二次根式只对非负实数有意义，对于负实数√a不成立。
二次根式可以进一步分类，分为简单二次根式和复合二次根式。
简单二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个无法再开方的非负实数。
而复合二次根式则是形如√(a + b)的表达式，其中a和b都是非负实数。
二、二次根式的性质1. 二次根式具有乘除性质：√(a × b) = √a × √b，√(a ÷ b) = √a ÷ √b。
这个性质可以帮助我们对二次根式进行运算简化。
2. 二次根式具有分配律：√(a + b) ≠ √a + √b。
对于复合二次根式，不能直接将根号内的每一项都开根号再相加，需要保持根号的形式。
3. 二次根式的乘方运算：(√a)^2 = a，也就是说二次根式的平方等于被开方数。
这是二次根式的重要性质，在运算中经常被用到。
三、二次根式的求解方法1. 化简法：当二次根式的被开方数有因数平方时，可以利用乘法公式√(a × b) = √a × √b来进行化简。
例如，√36可以化简为√(4 × 9)，再利用乘法公式得到√4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 合并法：对于复合二次根式，可以利用合并法来求解。
合并法的基本思想是将根号内的部分合并成一个整体，然后再进行开根运算。
例如，对于√(4 + 9)，我们可以将它合并为√13，然后再进行开根运算。
3. 有理化法：当二次根式的分母中存在根号时，可以利用有理化法进行求解。
有理化法的目的是将分母中的根号消去，使得式子更容易进行运算。
二次函数在给定闭区间上的最值(值域)求法
二次函数在给定闭区间上的最值(值域)求法二次函数在给定闭区间上的最值(值域)的求法可以帮助我们更好地了解二次函数的特性与使用，以下是本文的详细分步骤。
首先，我们需要知道二次函数的一般式：y = ax² + bx + c在上式中，a、b、c 分别为二次函数的系数，其中a ≠ 0，且x 为自变量。
接下来，我们需要了解二次函数的一些性质和定理：1. 当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 a < 0 时，二次函数开口向下。
2. 二次函数的对称轴方程为 x = -b/2a，因此二次函数的最值可以通过对称轴的纵坐标求得。
3. 如果 a > 0，则函数的最小值 y_min 等于对称轴的纵坐标；如果 a < 0，则函数的最大值 y_max 等于对称轴的纵坐标。
接下来，我们来分步骤解题：步骤1：确定二次函数的系数 a、b、c。
首先需要对二次函数做系数分解，如y = 2x² - 6x + 4，可以得出 a = 2，b = -6，c = 4。
步骤2：确定二次函数的对称轴的纵坐标。
对称轴的纵坐标等于二次函数的顶点纵坐标，也就是 -b/2a。
其中，b = -6，a = 2，因此对称轴的纵坐标为 3。
步骤3：计算二次函数的最值。
由于 a > 0，因此函数的最小值 y_min 等于对称轴的纵坐标，即 y_min = 3。
反之，如果a < 0，则函数的最大值为 y_max，同样等于对称轴的纵坐标。
因此，如上面的例子所示，二次函数y = 2x² - 6x + 4 的最小值为 3。
随着二次函数的应用越来越广泛，在数学学科、物理学科、经济学科中都有广泛的应用。
对于学生来说，掌握二次函数在闭区间上的最值求法是提高数学分析能力的关键因素之一，能够加深学生对二次函数特性和应用的认识，也有助于提高解题能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探究二次根式函数值域的求法
有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。
正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。
下面通过不同的角度进行探究。
探究一：求x x x 3245)(f ---=
的值域
设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。
解：()x x x f 3245---=
05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5
又()x f 在其定义域内是增函数。
()()35min -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[]
3,3，-
设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。
解： ()x x x f 3245---=
()x x x f ---=∴835
设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f
易得
3
32
2
=++=b
a y
b a
故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2
2=+b 上移动，何时截距最大，何时截距最
小。
由于0≥a ，0≥b 所以32
2=+b a 表示的仅为第一象限内
41
由图易知，直线经过A 点时，截距
y 最小，直线过B 点时，截距
y 最大。
将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中，
y
+﹛
得3max =y ， 3min -=y 所以，函数)(x f 的值域为[]
3,3-，。
设想三：一般说来，对于含二次根式的函数，三角代换可以化繁为简，化难为易，下面探究如何换元。
解： x x x f 3245)(---=
，
x x x f ---=∴835)(，
设θ2
cos 35=-x ，8sin 3=-x 2θ ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2
,0πθ，
cos 3)(=∴x f 2θsin 3-
=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-6sin 32πθ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈20πθ，，
∴ []
3,36sin 32-∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--πθ，
即[]
3,3)(-∈x f ，
故：函数)(x f 的值域为[]
3,3-。
反思：以上三种方法思维不同，方法各异。
主要体现了单调性，换元法，数形结合，化
归等多种数学方法和数学思想。
将我们所学的知识逐层渗透到每种方法中。
在解法二中，数形结合思想体现了数与形相互转化，解法三中，三角换元体现了函数与方程的相互转化。
诸如此类，以上方法均体现了转化与化归思想，而这种思想，几乎解每一道题都用，不愧为是数学思想方法的灵魂。
探究二，求函数223223)(f x x x x x -+++-=
的值域。
设想一：由于都是二次根式函数的值域求解问题，所以我们利用解析几何中直线与圆来求解。
解： 223223)(f x x x x x -+++-=
，
2232,23x x b x x a -+=+-=∴令（
,0≥b a
a
y b b a -==+4
22，故y 可视为直线上在圆4b 2
2=++-=b a y a ﹛
何时截距最大，何时截距最小。
由于0,0≥≥b a ， 所以4a 2
2
=+b 仅表示在第一象限内的
4
1
个圆。
显然，当直线与圆切于A 点时，截距最大。
当直线与圆交于C 、B 两点时，截距最小。
连接OA 易知OD=22,
=∴max )(f x 22,2)(f min =x , ]
[222f(x ，）的值域为∴。
设想二：由于本题中，二次根式下的被开方数含有二次项，所以它与探究题型略有变化，观察题目，将原式两边平方，利用双向不等式求解。
解：令y x =)(f ，
即)32)(23(2x -x 322322222x x x x x x y -++-++++-= =22)3(424x x --+，
,0)3(,03-4222
2≥-≥-x x x x ）（
8)3(424022≤--+≤∴x x ,
即,842
≤≤y
222≤≤∴y ，
]
[222f(x ，）的值域为∴。
设想三：利用三角换元。
解：设)2,
0(,sin 232,cos 223x 2
2
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=-+=+-πθθθx x x ， ∴y =()θθsin cos 2+
=)4
sin(22π
θ+，
又 )⎢⎣⎡∈2
,
0π
θ,
∴当)4
sin(π
θ+
=1时，y 最大，即22y max =，
∴当)4
sin(π
θ+
=
2
2
时，y 最小，即2y min =，
]
[222f(x ，）的值域为∴。
反思：本题看似前面探究一类型不同，但解法大同小异。
特别是三角换元与解析几何几乎是最常用的方法。
但探究二也稍有不同，比如设想二中的解法，它仅适用于x 的系数平方后能消去x ，所以，它的解法比较巧妙，但也是解决本类题目型的一种常用方法。
感悟与归纳：
通过对二次根式函数值域求法的探究，对于我们的解题十分重要。
逐如此类题型，我们应学会以下几点：
1、 观察分析二次根式函数的结构，抓住本质特征。
2、 变换思维角度，多方位思考，巧思妙解。
3、 重视思维的合理性，提高思维的灵活性。
如在利用三角换元时，抓住两个关系：1cos sin 2
2
=+x x ，1sec 2
2
=-x tcm x ，主要用来处理二次根式的函数值域问题。
对于二次根式值域求解方法，常用到三角换元，数形转化法，单调性法，以及向量等多种方法，而三角换元是处理二次根式的函数值域的最主要的方法，一般说来，对于二次根式的函数，均可考虑三角代换来几何函数，其次是数形转化法，在解析几何中，一个代数式往往具有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据。
其次，根据不同类型的二次根式函数，灵活运用单调性法向量法，以及构造不等式法等，可处理一些特殊类型的二次根式，掌握了这些，二次根式求值域的问题便迎刃而解。