有阻尼时单摆运动微分方程
高二物理 第四节 单摆 第六节 简谐振动的能量 阻尼振动 知识精讲 人教版
高二物理 第四节 单摆 第六节 简谐振动的能量 阻尼振动 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：第四节单摆第六节 简谐振动的能量 阻尼振动二. 知识要点：〔一〕单摆1. 单摆的概念：细线一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量、球的直径比线短得多的装置。
2. 单摆可看作简谐运动的条件：最大摆角︒<5α；回复力为摆球重力沿切线方向的分量αsin mg 。
3. 单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅没有关系〔伽例略发现〕。
4. 单摆周期：g l T /2π=〔惠更斯发现〕注意：〔1〕周期T 与振幅、摆球质量无关，只与摆长l 和所处地点重力加速度g 有关。
〔2〕单摆的摆长l 是指悬点到摆球球心间的距离。
5. 单摆的应用：〔1〕计时器；〔2〕测定重力加速度：由g l T /2π=得224Tl g π=〔二〕简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动、共振1. 作简谐运动的物体能量的变化规律：只有动能和势能相互转化，机械能守恒。
注意：同一简谐运动能量大小由振幅大小确定。
2. 阻尼振动：任何振动或多或少受到摩擦力的作用，在抑制摩擦力做功的过程中机械能逐渐减少，亦即振幅逐渐减小。
这种振幅逐渐减小的振动称为阻尼振动。
3. 受迫振动：是物体在周期性外力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率。
4. 共振：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。
5. 产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。
6. 共振的应用：共振筛、共振测速。
三. 重难点分析：1. 单摆的周期与等效单摆的周期 单摆的周期公式gl T π2=是惠更斯从实验中总结出来的，从公式中也可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关。
从另一个角度看，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，分力越大，加速度αsin g 也越大，在相等的时间内走过的弧长也越长，所以周期与振幅、质量无关，只要摆长l 和重力加速度g 定了，周期也就定了。
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
单摆的非线性振动问题
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目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)1. 引言 (2)2. 单摆、复摆的非线性振动 (2)2.1 单摆的周期性 (2)2.2 复摆的周期性 (3)2.3 单摆、复摆周期性的综述 (3)3. 非线性单摆的数值解 (3)3.1 阻尼作用对数值解的影响 (3)3.2 非线性方程的数值计算结果 (3)3.3 结果与讨论 (5)4. 非线性单摆的渐近解 (5)5. 结语 (5)参考文献 (6)致谢 (7)内容摘要：单摆和复摆在摆角较小时具有周期性和等时性，这种情况下此模型可被理想化，而摆角较大时它们的振动就是非线性的，虽然依旧具有周期性，但不在具有等时性，原来忽略的实际问题也必须考虑其影响，例如振幅和阻尼系数等。
本文分析了单摆和复摆在不同摆角下的周期情况，并附上数据加以说明。
另外，利用数学物理手段对非线性单摆的振动从数值解和渐近解两个方面进行求解。
关键词：周期性，等时性，简谐振动，数值解，渐近解Abstract：Pendulum and pendulum with periodic and isochronous in the pendulum angle is small. In this case the model can be idealized. Swing angle is larger so that their vibration is nonlinear. Although it still has periodicity, it has not isochronism. Practical problems ignored must consider its effects, such as amplitude and damping coefficient. This paper analyzed the pendulum and pendulum in the period under different wobbling angle, and attaches to illustrate the data. In addition, vibration of the nonlinear pendulum using mathematical and physical methods from numerical solutions and asymptotic solutions of two aspects of solution.Keywords：Periodicity Isochronous Simple harmonic motion1 引言在物理学中有一组特别重要的模型——单摆（数学摆）和复摆（物理摆）。
单摆运动的分析
单摆的运动规律分析摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。
在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。
关键词：单摆 线性微分方程 非线性微分方程 正文：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。
在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。
单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。
Ⅰ.由刚体绕定轴转动的微分方程可知：θθsin 222mgl dt d ml -=……⑴当θ很小时：022=+θθl gdtd ……⑵ 令l g w =2则原式化为0222=+θθw dtd ……⑶做任意角度摆动时的情况：0sin 222=+θθw dtd ……⑷ Ⅱ.受大小与速度成正比的阻力作用时：0sin 222=+-θθθw dtd k dt d ……⑸ 做小角度摆动时可近似为：0222=++θθθw dtd k dt d ……⑹ 其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程，⑴、⑷、⑸式为非线性微分方程。
1）小角度震荡时将sin θ近似看作θ i.函数文件:function fc=f0(t,y) global g lfc=[y(2) -g/l*y(1)]' ii.绘图程序：clearclcglobal g lg=9.8;l=1;w0=input('wm0?\n')[t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]');plot(t,y(:,1),'r')title('θ-t 图');xlabel('时间/s');ylabel('θ/rad');gridiii.图像：取wm0=0.5.2)振幅增大后，θ将不满足近似条件。
机械振动发展史
公元前1000多年，中国商代铜铙已有十二音律中的九律，并有五度谐和音程的概念。
在战国时期，《庄子·徐无鬼》中就记载了同频率共振现象。
人们对与振动相关问题的研究起源于公元前6世纪毕达哥拉斯(Pythagoras)的工作，他通过试验观测得到弦线振动发出的声音与弦线的长度、直径和张力的关系。
意大利天文学家、力学家、哲学家伽利略(Galileo Galilei)经过实验观察和数学推算，于1 5 8 2年得到了单摆等时性定律。
荷兰数学家、天文学家、物理学家惠更斯(c．Huygens)于1 6 7 3年著《关于钟摆的运动》，提出单摆大幅度摆动时并不具有等时性这一非线性现象，并研究了一种周期与振幅无关的等时摆。
法国自然哲学家和科学家梅森(M．Mersenne)于1623年建立了弦振动的频率公式，梅森还比伽利略早一年发现单摆频率与摆长平方成反比的关系。
英国物理学家胡克(R. Hooke)于1 6 7 8年发表的弹性定律和英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿(I. Newton)于1 6 8 7年发表的运动定律为振动力学的发展奠定了基础。
在下面对振动发展史的简述中，主要是针对线性振动、非线性振动、随机振动以及振动信号采集和处理这三个方面进行的。
而关于线性振动和非线性振动发展史的简介中，又分为理论研究和近似分析方法两个方面。
线性振动理论在1 8世纪迅速发展并趋于成熟。
瑞士数学家、力学家欧拉(L. Euler)于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程；1 7 3 9年研究了无阻尼简谐受迫振动，并从理论上解释了共振现象；1 7 4 7年对九个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现线性系统的振动是各阶简谐振动的叠加。
法国数学家、力学家拉格朗日(J.L．Lagrange)于1 7 6 2年建立了离散系统振动的一般理论。
最早被研究的连续系统是弦线，法国数学家、力学家、哲学家达朗伯(J. le R．d，Alembert)于1 7 4 6年发表的《弦振系统是弦线，法国数学家、力学家、哲学家达朗伯(J．1e R．d，Alem bert)于1 7 4 6年发表的《弦振动研究》将他发展的偏微分方程用于弦振动研究，得到了弦的波动方程并求出行波解。
chapter7-5 有阻尼的波动问题
k
2
;a
T)
u t0 ( x);ut t0 ( x)
齐次方程+齐次边界 分离变量法求解
解法一：
第一步：分离变量 设 u(x,t) X (x)T (t) 代入 utt 2ut a2uxx
T (t)X ( x) 2T(t)X ( x) a2 X ( x)T(t)
两边同除以 a2 X ( x)T (t)
特征方程 a0n a1n1 ... an1 an 0, a0 0
特征根
j ( j 1,2,..., n)互异实根 i是单根
则 - i也是单根
对应的线性无关解
y j ( x) ej x ( j 1,2,...,n)
yj (x) ex cos x
yj ( x) ex sinx
n1
in nx
l
nx
l
0
(x)
Tn (0)
2
Tn(t
)
2Tn(t)
a
2n2
l2
l (x) sin nx dx
0
l l
;Tn(0)
2
Tn (t) 0
l
2 (x) sin
0 l
nx
l
dx
例1
utt
2ut
a 2uxx u x0
0;
0
u
(0
xl
x 0
l;t
0)
u
t0
4h l2 (x
utt 2ut a2uxx 0
(0 x l;t 0)( k ;a
T )
2
有阻尼的弦的振动
定解问题为：
有阻尼的 自由波动方程 （阻尼波动方程）
nu( xຫໍສະໝຸດ t ) Tn (t )sin(n1
有阻尼强迫振动微分方程及其解
解为：
q Asin(nt )
8
设 t = 0 时，q q0 , q q0 则可求得：
A
q02
q02
2 n
,
arctg
n q0
q0
或：
q C1cosn t C2 sinn t
C1，C2由初始条件决定为 C1 q0 , C2 q0 /n
q
q0
cos nt
q0
n
sin
nt
9
三、自由振动的特点：
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x2nxn2 x0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
24
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 (n n) c 2 mk
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )
的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 31
(1) =0时
b0
h
2 n
H k
(2) n 时，振幅b随 增大而增大；当 n 时，b
(3) n 时，振动相位与激振力相位反相，相差 rad 。
b h
n2 2
b 随 增大而减小； 2n时 , bb0; 时b0
— 振幅比或称动力系数
20
Tm
ax
1 2
M
(
xm
ax)
2
1 2
M
2
(
x m a x R
)
2
1 2
m(
R R
r
xm
单摆运动特性及其频率公式的推导分析
单摆运动特性及其频率公式的推导分析单摆是指由一根轻细而无弹性的线或者杆悬挂起来的质点系统。
它是研究机械振动的经典案例，具有重要的物理意义。
本文将从单摆运动的基本特性开始，讨论其频率公式的推导分析。
一、单摆的基本特性单摆在自由悬挂的条件下，质点沿着圆弧轨迹做周期性振动。
其中，重力对质点产生的力是恒定的，使得质点具有恒定的势能。
同时，质点的速度和加速度方向均与弦的夹角有关。
因此，单摆的运动可用一个简谐振动来描述。
二、单摆的运动方程对于单摆的运动，可以建立如下的运动方程：\[\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0\]其中，\(\theta\) 表示摆的偏离角度，\(g\) 表示重力加速度，\(l\) 表示摆的长度。
这是一个非线性微分方程，可以通过近似方法进行求解。
三、小角度近似在小角度下，即当 \(\theta\) 很小时，可以做小角度近似，即\(\sin(\theta)\approx \theta\)。
在这种情况下，运动方程可以简化为：\[\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0\]这是一个二阶常微分方程，其解可以写成如下形式：\[\theta(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]其中，\(A\) 表示振幅，\(\omega\) 表示角频率，\(\phi\) 表示初相位。
通过代入运动方程，可以得到频率公式的推导。
四、频率公式的推导将解 \(\theta(t) = A\cos(\omega t + \phi)\) 代入运动方程，可得：\[-A\omega^2\cos(\omega t + \phi) + \frac{g}{l}A\cos(\omega t + \phi)= 0\]整理可得：\[\omega^2 = \frac{g}{l}\]即：\[\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\]这里的 \(\omega\) 就是单摆的角频率，也是单摆振动的频率。
微分方程零解的稳定性
(2.7)
的零解的稳定性，我们给出定理3的推广。
定理4 若选择可微的 函数 在原点的邻域内为定正的，且对 有 （常负），则方程（2.7）的零解是稳定的。
第三章
§3.1
线性近似方法(忽略高阶小量)是一种十分重要且使用广泛的线性化方法。这是因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化近似理论来研究非线性方程组的零解的稳定性。
。
定理3如果对n阶自治微分方程组
(2.6)
可以找到一个定正函数 ，其通过（2.6）的全导数 为定负的，则方程组（2.6）的零解为渐近稳定的；
如果存在函数 和某非负常数u，而通过（2.6）的全导数 可表示为
，
且当 时， 为定正函数，而当 时， 为常正函数或恒等与零；又在 时任意小的领域内都至少存在某个 ，使 ，那么方程组（2.6）的零解是不稳定的。
§
李雅普诺夫第二方法是研究非线性方程组零解的稳定性的一个有效的方法，但其核心问题是构造合适的V函数。为此，本节介绍一个构造 函数的方法，即微分矩法。
1965年，P.J .Ponzo首次提出用非线性高阶微分方程的微分矩构造李雅普诺夫函数。1974年,T .Nagoraja和V.V.Chalam对这种方法做了概括和修改，指出微分矩法是构造李亚普诺夫函数的一个新的途径。
说明：非线性方程组只有在非临界情形下才可以按线性近似决定其稳定性，而且线性近似稳定性理论仅在原点 的某邻域中成立。
那么，当线性近似方程组的特征根属于临界情形，即其特征方程除了有负实部的特征根，还有零根或具有零实部的根时，无法用线性近似方程组决定（3.1）的稳定性。
§
借助构造一个特殊的函数 ，并利用 函数及其通过方程组的全导数 的性质来确定方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想，具有此特殊性质的函数 称为李亚普诺夫函数，简称 函数。
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的有阻尼受迫振动
2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。
kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。
d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。
sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。