无阻尼单摆运动微分方程的广义孤立波解
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非线性物理5-1(孤立波)
对于不可压缩介质，粒子数密度 n 应用粒子速度 v 来替代，即有 n n v v v 0 v 0 t x t x 在重力作用下水波的色散关系：(g-重力加速度，h 水深) 1 w (k) = g k tank (k h) 级数展开近似式 h 2 gh , gh 利用
他看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进，当船突然停 止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激 烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度 向前推进。
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河 一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。
罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
2. 波动中的色散
色散关系
设一波动方程：
2u 2 2u 2 v m u0 0 2 2 t x
将解代入：
得关系
2 2 w 2 v0 k m2 0
得色散关系
2 2 w (k ) = v0 k m2
2 w v0 k vg 2 2 k v0 k m2
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 KdV方程 半 个 多 世 纪 后 ， 1895 年 ， 两 位 荷 兰 科 学 家 科 特 维 格 (Kortweg) 与德弗雷斯 (de Vries) 认为：罗素观察到的孤立波是 波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立 了KdV方程：
u u 3 u u 3 0 t x x
第五章
孤立波
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个 大鼓包，沿着运河一直向前推进。
第五章
第一节 历史回顾 第二节 KdV方程
孤立波
第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与
他看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进，当船突然停 止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激 烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度 向前推进。
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河 一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。
罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
2. 波动中的色散
色散关系
设一波动方程：
2u 2 2u 2 v m u0 0 2 2 t x
将解代入：
得关系
2 2 w 2 v0 k m2 0
得色散关系
2 2 w (k ) = v0 k m2
2 w v0 k vg 2 2 k v0 k m2
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 KdV方程 半 个 多 世 纪 后 ， 1895 年 ， 两 位 荷 兰 科 学 家 科 特 维 格 (Kortweg) 与德弗雷斯 (de Vries) 认为：罗素观察到的孤立波是 波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立 了KdV方程：
u u 3 u u 3 0 t x x
第五章
孤立波
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个 大鼓包，沿着运河一直向前推进。
第五章
第一节 历史回顾 第二节 KdV方程
孤立波
第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与
广义五阶KdV方程的新的周期波解与孤立波解
维普资讯
第３ ３卷第 ３期
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ｕ ｈ ｓ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｉｓ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｒ ａ ｏ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓ ｙ ｆ ｔ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｔ ｏ ｏ ｔ Ｓ ｉ
如齐次平衡法 ， 曲正切 函数展开法 ， Ｄ １双 １Ａ Ｍ方法［ 利用分支理论直接积分的方法【 ８ １ ， ９ ｊ ，Ｆ一 方法【 Ｊ 叫等． 本文 利用刘适式【１ ¨ 等人提 出的Ｊｃｂ ａｏ ｉ 椭圆函数展开法， 对广义的五阶Ｋ Ｖ ｄ 方程进行求解， 不仅得到了方程 的准确刷
期解， 而且周期解在极限情况下可 以退化为相应的孤立波解．
为零， 就可 以得到相应 的代数 方程． ｛ Ｊ待定的系数法得到 ａ （＝０ １ ２ ， … ，． 的值从而得到方程的 ｊ ｉ ， ， ，３… ，） ２
行波周期解． 当ｍ－ ｌ ｓ毛 ａｈ ， － 时，ｎ ｔ 毛 从而（） ￣ ｎ ３ 式就退化为
（ ＝ ｔｈ ∑ ，ｎ ） ａ ．
２ ａｏ ｉ 圆函数展开 法 Ｊｃ ｂ 椭
考虑 非线性波方程
， ， ， ， ，．．… ，
（） １
作行波变换为 ： ＝／～） 专＝／ｘ ） ｋ ＋ ｔ， ４￣ ， １ ｃ ＋ｃ （
＝
（） ２
其中 ｋ ｃ 和 分别为波数和波速 ．
将／ ） ４４ 展开为下列 Ｊｃｂ椭圆正弦函数 ２ ａｏｉ ， 的级数 ：
此方法就为双曲正切函数展开法． 所以 Ｊｃｂ椭 圆函数展开法包含了双 曲正切函数展开法． ａｏｉ
（ ７ ）
３ 求解
广义的五阶 Ｋ Ｖ方程为 ： ｄ
第３ ３卷第 ３期
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ｕ ｈ ｓ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｉｓ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｒ ａ ｏ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓ ｙ ｆ ｔ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｔ ｏ ｏ ｔ Ｓ ｉ
如齐次平衡法 ， 曲正切 函数展开法 ， Ｄ １双 １Ａ Ｍ方法［ 利用分支理论直接积分的方法【 ８ １ ， ９ ｊ ，Ｆ一 方法【 Ｊ 叫等． 本文 利用刘适式【１ ¨ 等人提 出的Ｊｃｂ ａｏ ｉ 椭圆函数展开法， 对广义的五阶Ｋ Ｖ ｄ 方程进行求解， 不仅得到了方程 的准确刷
期解， 而且周期解在极限情况下可 以退化为相应的孤立波解．
为零， 就可 以得到相应 的代数 方程． ｛ Ｊ待定的系数法得到 ａ （＝０ １ ２ ， … ，． 的值从而得到方程的 ｊ ｉ ， ， ，３… ，） ２
行波周期解． 当ｍ－ ｌ ｓ毛 ａｈ ， － 时，ｎ ｔ 毛 从而（） ￣ ｎ ３ 式就退化为
（ ＝ ｔｈ ∑ ，ｎ ） ａ ．
２ ａｏ ｉ 圆函数展开 法 Ｊｃ ｂ 椭
考虑 非线性波方程
， ， ， ， ，．．… ，
（） １
作行波变换为 ： ＝／～） 专＝／ｘ ） ｋ ＋ ｔ， ４￣ ， １ ｃ ＋ｃ （
＝
（） ２
其中 ｋ ｃ 和 分别为波数和波速 ．
将／ ） ４４ 展开为下列 Ｊｃｂ椭圆正弦函数 ２ ａｏｉ ， 的级数 ：
此方法就为双曲正切函数展开法． 所以 Ｊｃｂ椭 圆函数展开法包含了双 曲正切函数展开法． ａｏｉ
（ ７ ）
３ 求解
广义的五阶 Ｋ Ｖ方程为 ： ｄ
高等结构动力学2
exp(ξωτ ) cos ω Dτdτ mω D ∫0 exp(ξωt ) 1 t exp(ξωτ ) ( ) B(t ) = p τ sin ω Dτdτ ∫ 0 mω D exp(ξωt ) 1
t
p (τ )
数值积分递推计算公式：v N = AN sin ω D t N − B N cos ω D t N 矩形公式： 曲边梯形：
AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) +
二次曲线： AN = AN −2 exp(−ξω∆τ )
+ ∆τ 3mω
∆τ y N −1 exp(−ξω∆τ ) mω D ∆τ [ y N −1 exp(−ξω∆τ ) + y N ] AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) + 2 mω D
FFT计算法则(续) ③ WNnm计算方法
(2 nm WN = WN
γ −1
nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 + 2γ − 2 mr − 2 +L+ m0 )
∵
a +b a b WN = WN WN
∴ W
nm N
=W
( 2γ −1 nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 ) N
1.1 无阻尼精确解(续)
广义卷积(General Convolution Integral)：
v(t ) = p(τ )h(t − τ )dτ
0
∫
t
(t ≥ 0)
单位脉冲响应函数(Unit-Impulse Response Function)：
t
p (τ )
数值积分递推计算公式：v N = AN sin ω D t N − B N cos ω D t N 矩形公式： 曲边梯形：
AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) +
二次曲线： AN = AN −2 exp(−ξω∆τ )
+ ∆τ 3mω
∆τ y N −1 exp(−ξω∆τ ) mω D ∆τ [ y N −1 exp(−ξω∆τ ) + y N ] AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) + 2 mω D
FFT计算法则(续) ③ WNnm计算方法
(2 nm WN = WN
γ −1
nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 + 2γ − 2 mr − 2 +L+ m0 )
∵
a +b a b WN = WN WN
∴ W
nm N
=W
( 2γ −1 nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 ) N
1.1 无阻尼精确解(续)
广义卷积(General Convolution Integral)：
v(t ) = p(τ )h(t − τ )dτ
0
∫
t
(t ≥ 0)
单位脉冲响应函数(Unit-Impulse Response Function)：
广义b方程的孤立波解及周期波解
广义b方程的孤立波解及周期波解
杨佼朋;梁勇
【期刊名称】《数学物理学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(44)3
【摘要】对于广义b方程的研究主要集中在b≥0的情况,该文利用分支方法研究了b=−3这类特殊广义b方程的分支、非线性波解及动力学特征.在一定参数条件下,得到了该方程的分支相图,还发现了不同于b>0情况的新现象,在行波系统中有无限多周期轨穿过奇异直线φ=c.同时,给出了光滑孤立波解和光滑周期波解的存在性及其精确表达式,共获得了15个非线性波解的显式表达式.
【总页数】17页(P670-686)
【作者】杨佼朋;梁勇
【作者单位】广东外语外贸大学数学与统计学院;华南理工大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.广义DP方程的尖波解、孤立波类解和周期波解
2.(2+1)维NNV方程的周期孤立波解和双周期孤立波解
3.广义五阶KdV方程的新的周期波解与孤立波解
4.一类广义Camassa-Holm方程的孤立尖波、孤子类解和周期解
5.Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的同宿呼吸波解、周期波解和扭结孤立波解
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（2＋1）维ZK方程的孤立波解和周期波解
（2＋1）维ZK方程的孤立波解和周期波解康晓蓉;鲜大权【摘要】对（2＋1）维ZK方程进行了动力学定性分析，应用椭圆方程映射法和Jacobi椭圆函数展开法求得了方程的孤立波解、周期波解。
%We made a qualitative dynamic analysis of the (2+1)-dimensional ZK equation .The elliptic equation mapping method and Jacobi elliptic function expansion method were applied to construct the soli -tary wave and periodic wave solutions to this equation .【期刊名称】《西南科技大学学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】(2+1)维ZK方程;椭圆方程映射法;Jacobi椭圆函数【作者】康晓蓉;鲜大权【作者单位】西南科技大学理学院四川绵阳 621010;西南科技大学理学院四川绵阳 621010【正文语种】中文【中图分类】O175.2本文考虑如下形式的(2+1)维 Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程:其中α，β，γ为非零实数。
1974年，Zakharov和Kuznetsov从含有冷离子和热等温电子的磁化等离子体中推导出了该模型方程。
它作为与波动现象密切相关的非线性方程，既可用于描述水波在(2+1)维空间的运动规律，也可用于描述处于磁场中的等离子体的运动规律。
早在20世纪90年代，Shivamoggi B.K.利用Painleve测试法对它作了研究［1］。
近年来，该方程引起了更多物理学家和数学家的关注。
闫振亚等用拟设法得到了组合的(2+1)维ZK方程的钟状与扭状组合型孤波解和周期孤波解［2］;Mou S.S.A.通过相似约化获得了(1)式的一些显式解［3］;Abdul－Majid Wazwaz采用 sin－cos法和扩展tanh法得到了2个修正形式周期孤子解和周期解［4－5］;石玉仁等用同伦分析法得到修正的方程(1)的一些近似精确解［6］;闫志莲等利用改进直接法给出了广义(2+1)维ZK方程的对称和新旧显式解间的关系［7］;邓朝方应用新的扩展双曲函数法，得到了方程(1)的若干周期波解［8］;杨征等用改进Riccati方程映射法得到了特殊孤子解结构［9］。
fxd1-2无阻尼单摆
02 sin
0
非线性方程
式中角频率：
0 g / l
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
线性化处理
d 2
dt2
02 sin
0
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
得线性方程
sin x x
d 2
dt2
02
C e* i0t 1
C2*ei0t
C1ei0t
C2ei0t
C1 C2*; C2 C1*
将 C1,C2 写成指数形式C1 (P / 2)ei ,C2 (P / 2)ei 后得：
(t) (P / 2)(ei(0t ) e ) i(0t ) P cos(0t )
看看实验结果：
0
5
10
20
T/T0 1.0000 1.0005 1.0019 1.0077
30 1.0174
45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 dt 2
02 sin
E
2 dt 2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
cos
4 单自由度系统的自由振动
g 1 f 2π st
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
st
mgl 3 48EI
1 f 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
1.1 无阻尼系统的自由振动
1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn
kb 2 IB
1.3 瑞利法 利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能， 仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。 应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。 对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位 移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截 面的静变形一样。 根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。 依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
st
mgl 3 48EI
1 f 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
1.1 无阻尼系统的自由振动
1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn
kb 2 IB
1.3 瑞利法 利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能， 仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。 应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。 对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位 移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截 面的静变形一样。 根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。 依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
非线性物理(单摆杜芬方程)讲义
面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。
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第 １ 第 ３期 ０卷
２ １ 年 ６月 ０ １
江 南 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＪａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ３ １１ ．
性 数学 物 理方 程 的精确 解 方 面 ， 献 ［． ］从 不 同 文 １８ 的角度 得 到 了一 些 重 要 的 结 果 。 者 应 用 文 献 ［ ］ 作 ９ 中指 数 函数法 ， 求解 无 阻尼单 摆 运动 微分 方程 ０ ｔ ｓ ［ （）１
无 阻 尼 单 摆 运 动 微 分 方 程 的广 义 孤 立 波 解
张 广平
（ 陇东 学院 电气工 程 学院 ， 甘肃 庆 阳 ７ ５ ０ ） ４ ０ ０ 摘 要： 通过 变换 正 弦函数 ， 无 阻尼 单摆 运 动 微 分 方 程 转化 为等 价 的 多项 式 类 型 的 非线 性 常 微 将
Ｇ ｅ ｒ ｌｚ ｄ Ｓｏ ｉａｒ ａ ｅ Ｓｏ ｕｔｏ ｆＵ ｎｄａ ｐ ｄ Ｓｉ ｐｌ ｎ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｌｔ ｙ Ｗ ｖ ｌ ｉ ｎ ｏ ｍ ｅ ｍ ｅ Ｐｅ ｄｕｌ ｕｍ
Ｄ ｉｆ ｒ ｎｔａｌＥｑｕａ ｉ ｓ ｏ ｏ ｉ ｎ ｆｅ ｅ ｉ ｔｏｎ ｆＭ ｔｏ
分 方程 。 这种 常微 分 方程 可 以应 用指 数 函数 方 法求解 ， 而得 到广 义孤 立波 解。 从 关键 词 ：无 阻尼 单摆 ； 非线性 微分 方程 ； 数 函数方 法 ； 义孤 立 波解 指 广 中图分 类号 ： ７ ．４ 文献 标识码 ：Ａ 文章编 号 ：６ １—７ ４ （０ １ ０ ０ １５ １ １７ １ ７ ２ １ ） ３—０ ５ ３ ８—０ ３
随着 科学 的发展 ， 以物 理 问题 为 背景 的非 线性
演化 方 程 的研究 ， 成 为 当代 非 线 性科 学 的一 个 重 正 要 研究 方 向 ； 造和 发 展 非线 性 演 化 方程 的求 解 方 构
困难 的。 着 近 代 物 理 对 孤 立 子 和混 沌 问题 的 研 随 究 ， 具 有 孤 立 子 的非 线性 方 程 的 精 确解 析 解 ， 求 对
ＺＨＡＮＧ ａ — ｉ ｇ Ｇｕ ｎｇ ｐ ｎ
（ ｏｌｇ ｆ ｌｃｒ ａ ｎｉｅｒ ｇ ｏ ｇＤ ｎ ｎｖｒ ｔ， ｉｇ ｎ ４ ００， ａ ｓ ） Ｃ ｌ ｅｏ ｅｔｃｌ ｇｎ ｅｉ ，Ｌ ｎ —ｏ ｇＵ ｉｅｓｙ Ｑ ｎＹａｇ７ ５０ Ｇ ｎｕ ｅ Ｅ ｉ Ｅ ｎ ｉ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｃ ｎ ｃ ａ ｅ ｆｏ ｔ ｅ ｄ ｍｐ ｄ ｓｍｐ ｅ ｐｅ ｌ ｔａ ｔ ａ ｈ ｎｇ ｒ ｍ ｈ ａ ｅ ｉ ｌ ｄｕ ｕｍ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ｕａ ｉｎ ｏ ｔｏ ｎｔ ｈｅ ｄｉ ｒ ｎｔａ ｑ ｔｏ ｆｍｏ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔ ｎ ｎｌｎｅ ｒ ｏ ｄ ｎａ ｙ ｏ ｉ ａ ｒ ｉ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑ ｔｏ ｂ ｔａ ｆ ｒ ｎ ｓｎ ｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｔｈｅ ｅｎ ｒ ｌｚ ｄ ｏ ｉｉ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｙ ｒ ｎｓｏ ｍｉ ｇ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ｇ ｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｌｔｏｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｉ ｂ ａ ｎｅ ｉ ｈｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｖ ｎ ｈ ｘ ｎｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｏ ｕｔｏ ｓ ｏ ｔ ｉ ｄ ｕｓｎｇ ｔ ｔ ｏ ｆｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｅ ｐｏ ｎ ｉ ｌｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｋ ｅ ｗｏ ｄｓ： ｕ ａ ｅ ｓｍｐ ｅ ｙ ｒ ｎｄ ｍｐ ｄ ｉ ｌ ｐｅ ｄｕ ｕｍ ， ｎ ｎｌｅ ｒ ｒ ｎ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑｕ ｔｏ ｎ ｌ ｏ ｉ ａ ｏ ｄｉ ａ ｙ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ａ ｉ ｎ， ｅ ｐ ｎ ｎｔａ ｆ ｘ ｏ ｅ ｉｌ ｆ ｃ ｉ ｎ， ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏ ｉｉ ｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｕｎ ｔｏ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌｔｏ ｏ ｕｔｏ
方 程具 有重 要 的物理 意 义新解 。 无 阻 尼单 摆 运 动 对
个， 它是非线性振动 问题 中研究得较多且较深入
微 分 方程精 确解 的研 究 ， 利 于对 非 线 性 系统 行 为 有
的解 析 研 究 ， 于 揭 示 无 阻 尼 单 摆 系 统 的 非 线 性 便
行 为
的一个 例 子 ， 是 一 个 简 单 的动 力 学 模 型 ， 有 非 也 具 常复 杂 的动 力 学 行 为 ， 一 个 复 杂 系统 。 求 非 线 是 在
首先， 令 则式 （ ）变 为 １
得到 了广 义孤 立波 解 。 般 来说 ， 非线 性 系 统行 为 的解 析 研 究 是 相 当
一
１ 变换 方 程
收 稿 日期 ：０ ０ —１ —２ ； 修 订 日期 ：０ １—０ —２ 。 ２１ ２ １ ２１ ２ ４
作者简介 ： 张广平 （９ ８ ） 男 ， １５一 ， 甘肃靖远 人 ， 副教授 。 主要从事数学物理方法 的研究 。
Ｅｍａ ｌ ｚ ｐ ｎ ｓｒ ｙ ｈ ｏ ｃ ｎ． ｎ ｉ： ｇ ｉ ｇ ｉ＠ ａ ｏ ． ｏ ｅ
第 ３期
张广 平 ： 阻尼 单摆 运 动微 分方程 的广 义孤 立 波解 无
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于微分 方程 和 动力 系统 产 生 了深 远 影 响 。 随着 孤 立
法 ， 非 线 性 数 学 物 理 问题 中 的研 究 课 题 之 一 。 是 无
阻尼单 摆 运 动 微 分 方 程 就 是 非 线 性 演 化 方 程 中 的
一
子 理论 的进 一 步发 展 ， 不 断发 现 许 多 非线 性 发 展 会
２ １ 年 ６月 ０ １
江 南 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＪａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ３ １１ ．
性 数学 物 理方 程 的精确 解 方 面 ， 献 ［． ］从 不 同 文 １８ 的角度 得 到 了一 些 重 要 的 结 果 。 者 应 用 文 献 ［ ］ 作 ９ 中指 数 函数法 ， 求解 无 阻尼单 摆 运动 微分 方程 ０ ｔ ｓ ［ （）１
无 阻 尼 单 摆 运 动 微 分 方 程 的广 义 孤 立 波 解
张 广平
（ 陇东 学院 电气工 程 学院 ， 甘肃 庆 阳 ７ ５ ０ ） ４ ０ ０ 摘 要： 通过 变换 正 弦函数 ， 无 阻尼 单摆 运 动 微 分 方 程 转化 为等 价 的 多项 式 类 型 的 非线 性 常 微 将
Ｇ ｅ ｒ ｌｚ ｄ Ｓｏ ｉａｒ ａ ｅ Ｓｏ ｕｔｏ ｆＵ ｎｄａ ｐ ｄ Ｓｉ ｐｌ ｎ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｌｔ ｙ Ｗ ｖ ｌ ｉ ｎ ｏ ｍ ｅ ｍ ｅ Ｐｅ ｄｕｌ ｕｍ
Ｄ ｉｆ ｒ ｎｔａｌＥｑｕａ ｉ ｓ ｏ ｏ ｉ ｎ ｆｅ ｅ ｉ ｔｏｎ ｆＭ ｔｏ
分 方程 。 这种 常微 分 方程 可 以应 用指 数 函数 方 法求解 ， 而得 到广 义孤 立波 解。 从 关键 词 ：无 阻尼 单摆 ； 非线性 微分 方程 ； 数 函数方 法 ； 义孤 立 波解 指 广 中图分 类号 ： ７ ．４ 文献 标识码 ：Ａ 文章编 号 ：６ １—７ ４ （０ １ ０ ０ １５ １ １７ １ ７ ２ １ ） ３—０ ５ ３ ８—０ ３
随着 科学 的发展 ， 以物 理 问题 为 背景 的非 线性
演化 方 程 的研究 ， 成 为 当代 非 线 性科 学 的一 个 重 正 要 研究 方 向 ； 造和 发 展 非线 性 演 化 方程 的求 解 方 构
困难 的。 着 近 代 物 理 对 孤 立 子 和混 沌 问题 的 研 随 究 ， 具 有 孤 立 子 的非 线性 方 程 的 精 确解 析 解 ， 求 对
ＺＨＡＮＧ ａ — ｉ ｇ Ｇｕ ｎｇ ｐ ｎ
（ ｏｌｇ ｆ ｌｃｒ ａ ｎｉｅｒ ｇ ｏ ｇＤ ｎ ｎｖｒ ｔ， ｉｇ ｎ ４ ００， ａ ｓ ） Ｃ ｌ ｅｏ ｅｔｃｌ ｇｎ ｅｉ ，Ｌ ｎ —ｏ ｇＵ ｉｅｓｙ Ｑ ｎＹａｇ７ ５０ Ｇ ｎｕ ｅ Ｅ ｉ Ｅ ｎ ｉ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｃ ｎ ｃ ａ ｅ ｆｏ ｔ ｅ ｄ ｍｐ ｄ ｓｍｐ ｅ ｐｅ ｌ ｔａ ｔ ａ ｈ ｎｇ ｒ ｍ ｈ ａ ｅ ｉ ｌ ｄｕ ｕｍ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ｕａ ｉｎ ｏ ｔｏ ｎｔ ｈｅ ｄｉ ｒ ｎｔａ ｑ ｔｏ ｆｍｏ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔ ｎ ｎｌｎｅ ｒ ｏ ｄ ｎａ ｙ ｏ ｉ ａ ｒ ｉ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑ ｔｏ ｂ ｔａ ｆ ｒ ｎ ｓｎ ｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｔｈｅ ｅｎ ｒ ｌｚ ｄ ｏ ｉｉ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｙ ｒ ｎｓｏ ｍｉ ｇ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ｇ ｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｌｔｏｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｉ ｂ ａ ｎｅ ｉ ｈｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｖ ｎ ｈ ｘ ｎｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｏ ｕｔｏ ｓ ｏ ｔ ｉ ｄ ｕｓｎｇ ｔ ｔ ｏ ｆｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｅ ｐｏ ｎ ｉ ｌｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｋ ｅ ｗｏ ｄｓ： ｕ ａ ｅ ｓｍｐ ｅ ｙ ｒ ｎｄ ｍｐ ｄ ｉ ｌ ｐｅ ｄｕ ｕｍ ， ｎ ｎｌｅ ｒ ｒ ｎ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑｕ ｔｏ ｎ ｌ ｏ ｉ ａ ｏ ｄｉ ａ ｙ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ａ ｉ ｎ， ｅ ｐ ｎ ｎｔａ ｆ ｘ ｏ ｅ ｉｌ ｆ ｃ ｉ ｎ， ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏ ｉｉ ｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｕｎ ｔｏ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌｔｏ ｏ ｕｔｏ
方 程具 有重 要 的物理 意 义新解 。 无 阻 尼单 摆 运 动 对
个， 它是非线性振动 问题 中研究得较多且较深入
微 分 方程精 确解 的研 究 ， 利 于对 非 线 性 系统 行 为 有
的解 析 研 究 ， 于 揭 示 无 阻 尼 单 摆 系 统 的 非 线 性 便
行 为
的一个 例 子 ， 是 一 个 简 单 的动 力 学 模 型 ， 有 非 也 具 常复 杂 的动 力 学 行 为 ， 一 个 复 杂 系统 。 求 非 线 是 在
首先， 令 则式 （ ）变 为 １
得到 了广 义孤 立波 解 。 般 来说 ， 非线 性 系 统行 为 的解 析 研 究 是 相 当
一
１ 变换 方 程
收 稿 日期 ：０ ０ —１ —２ ； 修 订 日期 ：０ １—０ —２ 。 ２１ ２ １ ２１ ２ ４
作者简介 ： 张广平 （９ ８ ） 男 ， １５一 ， 甘肃靖远 人 ， 副教授 。 主要从事数学物理方法 的研究 。
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第 ３期
张广 平 ： 阻尼 单摆 运 动微 分方程 的广 义孤 立 波解 无
３９ ５
于微分 方程 和 动力 系统 产 生 了深 远 影 响 。 随着 孤 立
法 ， 非 线 性 数 学 物 理 问题 中 的研 究 课 题 之 一 。 是 无
阻尼单 摆 运 动 微 分 方 程 就 是 非 线 性 演 化 方 程 中 的
一
子 理论 的进 一 步发 展 ， 不 断发 现 许 多 非线 性 发 展 会