fxd1-2无阻尼单摆
FD-DB-II单摆试验仪实验仪说明书
FD-DB-Ⅱ新型单摆实验仪说明书上海复旦天欣科教仪器有限公司中国上海FD-DB-Ⅱ新型单摆实验仪说明书一、概述单摆实验在大学基础物理和中学物理教学中都是一个重要的必做实验。
以往此实验都限于单摆在小角度（小于3°）内做近似等周期摆动的情况下，测量小球振动周期，一般不涉及周期与摆角之间的关系。
要研究此二者间关系就必须在不同摆角，甚至大摆角下进行周期测量。
传统方法的周期测量用手控秒表计时，测量误差较大。
为了降低误差，必须采用多周期测量后取平均值的方法，由于空气阻尼的存在，摆角随时间的延长而衰减，因此无法精确测得大角下摆动周期的准确值。
采用集成开关型霍耳传感器和电子计时器实现自动计时之后，能够在很短几个振动周期内准确测得单摆在大角下的周期，这样可以忽略空气阻尼对摆角的影响，使研究周期与摆角关系的实验得以顺利进行。
在得到周期与摆角的关系后，可以用外推至摆角为零的方法，精确测得摆角极小时的振动周期值，从而更精确地测定重力加速度。
本实验仪采用伽利略外推法研究物理规律类似的实验思想，通过测量周期与摆角的关系，用外推法求得极小摆角时的振动周期。
这种物理实验设计思想在物理实验教学中加以运用，取得了良好的效果。
二、用途1) 本仪器可以通过固定单摆摆长测量振动周期，计算重力加速度g；也可逐次改变摆长，测出相应的周期，经直线拟合求出重力加速度g，并可验证摆长与振动周期平方成正比的关系。
2) 用集成霍耳开关可测得周期与摆角的关系，并可以用外推至摆角为零的方法，精确测得摆角极小时的振动周期值，从而更精确地测定重力加速度。
图 13) 研究单摆在大角度振动时，非线性效应的影响。
三、技术指标1) HTM 电子计时器实现自动计时，精度为0.001s ，每次测量不确定度小于0.003s 。
2) 预置半周期次数在0~66次范围内，可任意调节计时次数(计数2次为1个周期)。
3) 集成霍耳开关应放在小球正下方约1.0cm 处，1.1cm 为集成霍耳开关的导通 （或截止）距离。
单摆运动文档
单摆运动引言单摆是物理学中的一个重要的实验装置，它由一个质点连接在一根不可拉伸且无质量的线上，形成了一个固定在顶端的摆。
单摆可以通过受力分析来研究振动的特性，具有很高的实验和理论价值。
本文将介绍单摆的运动原理、方程推导以及模拟实验。
运动原理在没有考虑阻尼和摩擦的情况下，单摆的运动可以用一个简单的几何模型来描述。
假设摆长为L，摆角为θ，质点的质量为m，重力加速度为g。
那么，质点所受的重力分力（垂直于摆线方向）为 mg sinθ，其中θ为摆角的正弦值。
根据运动学定律，可以得出质点受力产生的加速度为 a = -g sinθ，其中负号表示加速度与摆线方向相反。
运动方程基于运动原理的分析，可以得到单摆的运动方程。
运动方程是一个二阶非线性微分方程，可以通过将质点的位置坐标表示为极坐标形式来简化求解。
假设摆角为θ，摆长为L，时间为t，则可以得到运动方程为：L * d2θ/dt2 + g * sinθ = 0这个方程描述了单摆运动的周期性，可以通过数值模拟或解析方法求解出摆角随时间的变化。
模拟实验为了更好地理解单摆运动的特性，可以进行模拟实验来观察摆角随时间的变化。
下面是一个使用Python编写的简单的单摆模拟实验：import mathimport matplotlib.pyplot as pltdef simulate_pendulum(L, theta0, dt, t_max):# 初始化参数t = [0]theta = [theta0]omega = [0]g =9.8# 模拟运动while t[-1] < t_max:# 计算力和加速度F =-g * math.sin(theta[-1])a = F / L# 更新角速度和角度omega.append(omega[-1] + a * dt)theta.append(theta[-1] + omega[-1] * dt)# 更新时间t.append(t[-1] + dt)# 绘制图像plt.plot(t, theta)plt.xlabel('Time (s)')plt.ylabel('Theta (rad)')plt.show()# 运行模拟实验simulate_pendulum(1, 1, 0.01, 10)上述代码中，simulate_pendulum函数用于模拟单摆的运动。
第二节无阻尼自由振动
第二章 单自由度系统的自由振动第一节 导引单自由度系统（Single —Degree —Freedom systems)是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统。
这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性,实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础。
所研究的振动都是微幅振动问题(微振动)。
所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动.系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系,可以忽略可能出现的高阶微小量.例如单摆,其运动微分方程为2sin 0ml mgl θθ+=sin 0glθθ+=把单摆作为线性系统研究，则令sin θθ≈故有0glθθ+=mg第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解自由振动（free vibration ）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动。
一、运动方程及其解m()k x ∆+k最简单的单自由度振动系统-----有一个质量m 和一根弹簧（弹簧的刚度系数为k ，它是弹簧每伸长或缩短一个单位长度所需施加的力，单位为Nm）组成的弹簧质量系统.弹簧原长为0l 。
当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。
此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形∆,称为系统的静变形.由静力平衡条件有mg k =∆当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放,或给质量块以突然一击使之得到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏,则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力,系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动,称为自由振动。
建立坐标系:取静平衡位置为坐标原点,用x 表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移,且规定x 方向向下为正。
质量块在振动过程中任一瞬时位置的受力： 不变的重力：Wmg =弹簧力 ：()k x ∆+ 根据牛顿运动定律,有()mx mg k x =-∆+则有0mx kx += （2—1）单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程. 两点讨论：（1）质量块的重力只对弹簧的静变形∆有影响，即W mg =的大小只改变质量块的静平衡位置，而不影响质量块在静平衡位置附近作振动的规律。
单摆问题研究---理论力学论文
单摆的自由振动研究能源2班 徐士尧 201200181195摘要：该文对单自由度系统的振动进行了研究，给出了一种研究单自由度振动的方法，并以单摆的振动为例做了详细的说明。
笔者将常微分方程运用到力学模型“单摆振动”的研究上，找到了单摆运动的一般规律。
关键词：单摆 阻尼 共振引言：振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式，它既被广泛应用，又可带来危害。
例如单摆的往复运动、弹簧的振动、乐器中弦线的振动、机床主轴的振动、电路中的电磁震荡等等。
下面我以单摆为研究对象来讨论有关自由振动和强迫振动的问题。
振动是指系统在某一位置附近的往复摆动，如单摆的自由振动。
最低点是小球的势能极小值点，也是小球的平衡位置，除非小球能刚好被禁止放在最低点，否则便会来回往复摆动。
可以想象，如果没有任何空气阻力带来的能量损耗，这个小球将会永不停止地来回摆动下去，这就是无阻尼自由振动的模型；而实际中总是有空气阻力损耗能量，小球的摆幅将会越来越小，最终停在最低点位置，此为有阻尼自由振动；而如果不停地从外界给小球输入能量，激励小球运动，即使有空气阻力耗散能量，小球也能不停地运动下去，此为受迫振动。
下面我们一一来看。
（1） 无阻尼自由振动分析小球受力即运动，则其无阻尼微小振动的方程为220d gdt lϕϕ+= (1)记2g lω=，这里ω>0是常数，（1）式可变为2220d dtϕωϕ+=（2） 方程通解为12cos sin c t c t ϕωω=+， (3)令1sin c θ=，cos θ=因此，若取12arctan c A c θ==， 则式（3）可以改写为)t t ϕωω=+(sin cos cos sin )sin(),A t t A t θωθωωθ=+=+从方程的解可以看出，不论反映摆初始状态的A 和θ为何值，摆的运动总是一个正弦函数，这种运动就是简谐振动，周期T=2πω，且摆的周期只依赖于摆长l ，而与初值无关。
单摆的振动方程
单摆的振动方程单摆是一种常见的力学实验装置，也是物理学中研究振动现象的重要模型。
它由一个质点和一根不可伸长的轻细绳或杆组成，质点在重力作用下沿着绳或杆做简谐振动。
单摆的振动方程描述了质点的运动规律，是研究单摆振动的基础。
单摆的振动方程可以通过拉格朗日方程或牛顿第二定律推导得到。
下面我们使用牛顿第二定律来推导单摆的振动方程。
设单摆的质量为m，绳或杆的长度为L，质点相对平衡位置的偏离角度为θ。
根据牛顿第二定律，质点所受合力等于质量乘以加速度，即-mg*sinθ，其中g为重力加速度。
由于质点在摆动过程中只受重力作用，所以合力的方向始终指向平衡位置。
根据几何关系，质点在任意时刻的加速度可以用角度θ的导数来表示。
加速度等于质点的线加速度除以绳或杆的长度，即a=L*θ''，其中θ''表示角度θ对时间的二阶导数。
将上述两个等式代入牛顿第二定律，得到-mg*sinθ=L*θ''。
这就是单摆的振动方程。
通过求解这个二阶微分方程，我们可以得到单摆的运动规律。
单摆的振动方程是一个二阶非线性微分方程，一般情况下无法直接求解。
但是对于小角度摆动（即θ很小），可以进行线性近似，将sinθ近似为θ，从而简化振动方程为-mg*θ=L*θ''。
这个近似的振动方程称为简谐振动方程，是一个线性的二阶微分方程，可以通过数学方法求解。
解析解表示为θ=A*cos(ωt+ϕ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，ϕ为初相位。
根据初值条件可以确定振动的具体形式。
当初始时刻t=0，质点的偏离角度为θ0，初速度为v0时，初相位ϕ和振幅A分别为ϕ=arccos(θ0/A)和A=v0/ω。
单摆的振动具有周期性，周期为T=2π/ω。
周期是指振动从一个极值点到达相邻极值点所需的时间。
角频率ω与周期T之间有关系ω=2π/T。
单摆的振动方程不仅在物理学中有重要应用，还在其他领域有广泛的应用。
例如，它可以用于钟摆的设计，通过调整摆长和质量来控制钟摆的频率。
单摆_受迫振动复习(有例题、配套习题_有答案)
第二讲 单摆 受迫振动 振动中的能量一、单 摆(1)单摆：一条不可伸长的、忽略质量的细线，一端固定，另一端拴一质点，这样构成的装置叫单摆.这是一种理想化的模型，实际悬线(杆)下接小球的装置都可作为单摆. (2)单摆振动可看作简谐运动的条件是最大偏角α＜5°. (3)摆球做简谐运动回复力：是重力在切线方向的分力F 回=G 1；重力的另一分力G 2和摆线的拉力合力提供向心力；F-G 2=mv 2/l 在最大位移处v=0，F=G 2. (4)周期公式：式中L 为小球摆动的圆孤半径即摆长，量取时应从圆心量到球心.g 为当地重力加速度(受力复杂时有“等效重力加速度”之说).(5)单摆的等时性：在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系. （6）几种单摆模型【例1】把实际的摆看作单摆的条件是……………………………………………… （ C ） ①细线的伸缩可以忽略；②小球的质量可以忽略；③细线的质量可以忽略；④小球的直径比细线的长度小得多；⑤小球的最大偏角足够小A 、①②③④⑤B 、①②③④C 、①③④⑤D 、②③④⑤【例2】下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是……………………………（ B ） A 、回复力是重力和摆线拉力的合力B 、回复力是重力沿圆弧方向的一个分力C 、单摆过平衡位置时合力为零D 、回复力是摆线拉力的一个分力【例3】单摆运动到达其平衡位置时，摆球所受回复力的方向或数值正确的是……（ C ） A 、指向地面 B 、指向悬点 C 、数值为零 D 、垂直于摆线【例4】甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角αα>乙甲，（αα乙甲、都小于10）由静止开始释放，则……………………………………… （ C ）aA 、甲先到达平衡位置B 、乙先到达平衡位置C 、甲、乙同时到达平衡位置D 、无法判断【例5】将秒摆（周期为2 s ）的周期变为1 s ，下列措施可行的是…………………（ D ） A 、将摆球的质量减半 B 、振幅减半C 、摆长减半D 、摆长减为原来的14【例6】一个打磨得很精细的小凹镜，其曲率很小可视为接近平面．将镜面水平放置如图所示．一个小球从镜边缘开始释放，小球在镜面上将会往复运动，以下说法中正确的是（ C ）A ．小球质量越大，往复运动的周期越长B ．释放点离最低点距离越大，周期越短C ．凹镜曲率半径越大，周期越长D ．周期应由小球质量、释放点离平衡位置的距离，以及曲率半径共同决定【例7】.关于小孩子荡秋千，有下列四种说法：①质量大一些的孩子荡秋千，它摆动的频率会更大些 ②孩子在秋千达到最低点处有失重的感觉 ③拉绳被磨损了的秋千，绳子最容易在最低点断开 ④自己荡秋千想荡高一些，必须在两侧最高点提高重心，增加势能 ( B )上述说法中正确的是A.①②B.③④C.②④D.②③【例8】细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方21摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示.现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是 ( AB )A. B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍【例9】一只单摆在第一行星表面上的周期为T 1，在第二行星表面上的周期为T 2，若这两个行星的质量之比M 1∶M 2=4∶1，半径之比R 1∶R 2=2∶1，则 （ A ） A.T 1∶T 2=1∶1 B.T 1∶T 2=4∶1 C.T 1∶T 2=2∶1 D.T 1∶T 2=22∶1 【例10】（1）某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.50cm ；用50分度的游标卡尺(测量值可准确到0.02mm)测得小球的读数如图所示，则摆球直径为 cm ；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为99.9s ．则①该摆摆长为_______cm，周期为 s②（单选题）如果他测得的g值偏小，可能的原因是 [ ]A．测摆线长时摆线拉得过紧B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时，秒表过迟按下D．实验中误将49次全振动数为50次（2.00，98.50，2.00 ，A）（2）在一次用单摆测定加速度的实验中，图A的O点是摆线的悬挂点，a、b点分别是球的上沿和球心，摆长L= m.图B 为测量周期用的秒表，长针转一圈的时间为30s ，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为lmin ，该单摆摆动n=50次时，长、短针位置如图中所示，所用时间t = s ．用以上直接测量的物理量的英文符号表示重力加速度的计算式为 g= (不必代入具体数值)．为了提高测量精度,需多次改变L 的值并测得相应的T 值.现测得的六组数据标示在以L 为横坐标、T 为纵坐标的坐标纸上,即图中用“⨯”表示的点。
单摆回复力公式推导过程
单摆回复力公式推导过程单摆是一种简单的物理实验，它由一个质点挂在一根不可伸长的细线上组成，当质点被偏离平衡位置时，它将受到回复力的作用，使其回到平衡位置，这种回复力是摆长和偏离角度的函数，可以用公式来表示。
本文将介绍单摆回复力公式的推导过程。
一、单摆的运动规律单摆的运动规律可以用牛顿第二定律来描述，即当质点受到偏离平衡位置的力矩时，它将受到一个回复力，使其回到平衡位置。
设单摆的质量为m，细线长度为L，偏离平衡位置的角度为θ，则单摆所受到的力矩为：M = -mgL sinθ其中，g为重力加速度，负号表示力矩的方向与偏离角度的方向相反。
根据牛顿第二定律，力矩等于质量乘以加速度的转动惯量，即： M = Iα其中，I为单摆的转动惯量，α为角加速度。
由于单摆的转动惯量为mL，故上式可化为：- mgL sinθ = mLα二、单摆回复力公式的推导根据单摆的运动规律，当质点偏离平衡位置时，它将受到一个回复力，使其回到平衡位置。
这个回复力的大小和方向与偏离角度有关，可以用公式来表示。
考虑单摆在平衡位置上的状态，此时偏离角度为0，回复力为0。
当单摆被偏离平衡位置时，它将受到一个回复力，使其回到平衡位置。
根据牛顿第二定律，回复力的大小为：F = ma其中，a为单摆的加速度。
由于单摆的运动是圆周运动，故加速度可以表示为：a = Lα将上式代入回复力公式中，得到：F = mLα将单摆的角加速度α代入上式中，得到：F = -mgL sinθ这就是单摆回复力的公式。
它表明，当单摆偏离平衡位置时，它将受到一个回复力，大小为-mgL sinθ，方向指向平衡位置。
三、单摆回复力公式的应用单摆回复力公式是物理学中重要的公式之一，它在很多领域都有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 单摆的周期单摆的周期是指单摆从一个极端位置摆到另一个极端位置所需的时间。
根据单摆回复力公式，单摆的周期可以表示为：T = 2π√(L/g)其中，L为单摆的长度，g为重力加速度。
第二章1-单自由度系统无阻尼自由振动上课讲义
x&0 0
3 2
,2
结论1
▪ 单自由度无阻尼自由振动为简谐振动—— 位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或 余弦）
结论2 响应满足叠加原理
▪ 系统在初始位移单独 x 0 作用下的自由振动，
此时
x&0 ， 0
x1 x0cosnt
▪ 系统在初始速度 x& 0 单独作用下的自由振动，
此时
x 0 ， 0
x2
x&0
n
sin nt
系统总响应
▪ 振动系统总的响应=上述两部分响应之和
xx1x2x0cosnt x& 0 nsinnt
▪ 叠加性是线性系统的重要特征
数字特征
▪ A ——振幅，振动物体离开静平衡位置的最
大位移
▪
▪T
n
——圆频率 ——振动周期，旋转矢量转动一周
（2 ），振动物体的位移值也就重复一次，
m& x&F
方程化简
▪ 对于无阻尼自由振动，我们有
Fkx
▪ 因此，原方程改写为：
m& x& kx0
确定微分方程的初始条件
▪ 在t=0时，初始位移为 x 0 ，初始速度为 x& 0
▪ 则方程的初始条件为：
x(0) x0 和 x&(0) x&0
完整形式
▪ 单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程 为：
第二章1-单自由度系统无阻尼自 由振动
几种单自由度系统的示例
O θ
S
隔离体受 力分析
kx
k
x(t)
m
O
S
O θ J
2-1无阻尼自由振动
▪ 自由振动：系统在初始激励下，或外加激 励消失后的一种振动形态。
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02 sin
0
非线性方程
式中角频率：
0 g / l
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
线性化处理
d 2
dt2
02 sin
0
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
得线性方程
sin x x
d 2
dt2
02
C e* i0t 1
C2*ei0t
C1ei0t
C2ei0t
C1 C2*; C2 C1*
将 C1,C2 写成指数形式C1 (P / 2)ei ,C2 (P / 2)ei 后得：
(t) (P / 2)(ei(0t ) e ) i(0t ) P cos(0t )
看看实验结果：
0
5
10
20
T/T0 1.0000 1.0005 1.0019 1.0077
30 1.0174
45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 dt 2
02 sin
E
2 dt 2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
cos
E
2 dt
左边第一项是单摆动能 K，
左边第二项是势能 V
右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ 0 ]到[ 0 ]或相反的连线为分界线
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期周期与摆角无关？来自T0 2 /0 2 l g ? T
最后得：
0T / 4
0
d
0 2 sin2 0 / 2 sin2 / 2 1/2
T
T0
1
1
2
s
in2
2
0
2
1 2
3
2
s
in
4
4
0
2
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
在倒立点附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f
代入单摆方程
d 2 dt2
02 sin
0
得方程
d 2f dt 2
02
s in f
0
利用 sin x x 得方程
d 2f dt2
2f
0
积分得双曲方程：
1
df
2
1
2f 2
E
2 dt 2
当E＝0时有
1.2 第二节 无阻尼单摆
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2
ml dt2
F
mg sin
d 2
dt2
g l
sin
0
d 2
dt2
0
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
令 et
代入方程得特征方程： 2 02 0
特征根：
1,2 i0
得通解为： (t) C1ei0t C2ei0t
式中 C1,C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1,C2 必
须满足条件：
0
乘以 d / dt 后积分
d
dt
2
E
202
cos
其中 E 202 cos0
积分
d
dt
0[2(cos
cos0 )]1/ 2
0t
d [2(cos cos0 )]1/2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
在分界线内的轨线是闭合回线， 单摆作周期振动。分界线以外
单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动。
1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的， 摆角 是同一个倒立位置，
把相图上G点与G‘点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。
df f
dt
这是在[ f 0，f 0 ]处的双曲线的渐近线，
这点称为双曲奇点，也称鞍点。
相图上这点为 [ , 0]的点。
1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
势能曲线
• 基本方程
d 2 dt2
02 sin
0
若取 0 1后积分得
1
d
2
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
相图
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用
相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时
刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的
运动轨迹称为轨线。
能量方程
1
d
2
1
2
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 的长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
相图
使
0 1
得：
d 2
dt2
0
一次积分后：
1
d
2
1
2
E
2 dt 2
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。