自动控制原理C作业(第二章)答案

2 1 G1H1
因此，传递函数为
C(s) P11 P22
R(s)
G1G2G3 G3G4 (1 G1H1 )
1 G1H1 G3H 2 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
E(s)/R(s):单独回路 3 个，即
L1 G1H1 L2 G3H 2 L3 G1G2G3H1H 2
稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。
3-4 已知系统特征方程为 s5 s4 2s3 2s2 3s 5 0试判断系统稳定性。
解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第 一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数 ε 来代替为零的一项，从 而可使劳斯行列表继续算下去。 劳斯行列式为
零时为 2 。由于第一列变号两次，故有两个根在右半 s 平面，所以系统是不稳定的。
3.5
解;在求解系统的稳态误差前必须判定系统是否稳定； 系统特征方程为 0.1s3 1.5s2 5s 50 0 由劳斯判据判断
劳斯行列式为
s3
0.1
5
s2
1.5
50
s1
5
3
s0
50
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统
P2 G3G4 H1H 2
因此，传递函数为
E(s) P11 P22
R(s)
2 1
1 G3H 2 G3G4 H1H 2
1 G1H1 G3H 2 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3-1 所示。试确定系统的传递函数。
1 Vc2 (S ) I 2 (S ) C2s
(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得 RC 网络结构图，见图 2－1（a）。
2－1（a）。
(3) 用梅逊公式直接由图 2－1(a) 写出传递函数 Uc(s)/Ur(s) 。
G GK K 独立回路有三个：
1
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
R(s)
C(s)
K/s(s+1)
1+Kts
图 3-2
解 由图示得闭环特征方程为
即 由已知条件
解得 于是
s 2 (1 K1Kt )s K1 0
K1
2 n
，
t
1
K
t
2 n
2 n
p % e t / 1t2 0.15
如果二端元件是电阻 R、电容 C 或电感 L，则复阻抗 Z(s)分别是 R、1/C s 或 L s 。
(1) 用复阻抗写电路方程式：
I1(S)
[U
r
(S)
U C1 (S )]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 R1
U
c1 ( S
)
[
I1
(S
)
I
2
(S
)]
1 C1s
1 I 2 (S ) [U c1(S ) U c2 (S )] R2
4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P4 G1G2
因此，传递函数为
4 1
C(s) P11 P22 P33 P44
R(s)
G1 G2
1 G1 G2 G1G2
4
自动控制原理 C 习题答案（第二章） 2-5 试简化图 2-5 中的系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s )和 C(s)/N(s)。
图 2-5 解： 仅考虑输入 R（S）作用系统时，单独回路 2 个，即
s5
1
2
3
s4
1
2
5
s3
0
2
s2
2 2
5
s1
4 4 5 2
2 2
s0
5
9
自动控制原理 C 习题答案（第二章） 由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数 ε 来代替；第四行第一列 系数为（2ε+2/ε，当 ε 趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε2）/（2ε+2），当 ε 趋于
2
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
图 2-2 系统结构图的简化
2.3 化简动态结构图,求 C(s)/R(s)
图 2－3 解： 单独回路 1 个，即
两个互不接触的回路没有 于是，得特征式为
L1 G1G2G3
1 La 1 G1G2G3
从输入 R 到输出 C 的前向通路共有 2 条，其前向通路传递函数以及余因子式分别为
L1 L2 两 个 互 不 接 触 的 回 路 , 于 是 ， 得 特 征 式 为
1 La LbLc
1 G1H1 G3H2 G1G2G3H1H2 G1G3H1H2
从输入 R 到输出 E 的前向通路共有 2 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1 1
1 1 G3H 2
6
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
ess
1 kp
kv
ka
0 2 10
, 型系统
10
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
第五章 线性系统的频域分析法
5.1 已知系统的开环传函 G(s)H (s)
10
，用奈氏判据（画出奈氏曲线）
s(2s 1)(0.2s 1)
判别闭环系统的稳定性。
解：G( j)
10
j(2 j 1)(0.2 j 1)
稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。
G(s)
50
10
可知 v=1，K=10
s(0.1s 1)(s 5) s(0.1s 1)(0.2s 1)
ess
1 kp
kv
ka
0 k
, 型系统
当
r(t) 2t
，
ess kv
k
2 10
0.2
当 r(t) 2 2t t 2
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
第二章 控制系统的数学模型
2.1 RC 无源网络电路图如图 2－1 所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数
Uc(s)/Ur(s)。
图 2－1 解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足 广义的欧姆定律。即：
U(s) Z(s) I (s)
L1 G1G2 L2 G1G2H1
两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为
1 La
1 G1G2 G1G2H1
从输入 R 到输出 C 的前向通路共有 1 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1 G1G2
因此，传递函数为
1 1
C(s) P11 R(s)
G1G2
1 G1G2 G1G2 H1
3-3 已知系统特征方程式为 s4 8s3 18s2 16s 5 0 试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
解 劳斯表为
s4
1
18
5
s3
8
16
0
s2
818 116 16
85 1 0 5
8
8
s1
1616 8 5 13.5
0
16
s0
13.5 5 16 0 5
13.5
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统
别闭环系统的稳定性。
解：
G(
j)
-2(
4 j 1 j 1)(2 j
1)
(1) 确定起点和终点
初始相角为
(
k j)
, 2 ，故初始相角为-180，
0
2
模值为 (
k j)
0
11
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
终点:
模值为 (
k j)nm
0
， 终止相角为 (
k j)nm
(4
1) 900
(1) 确定起点和终点
初始相角为
(
k j)
0
, 2
1，故初始相角为-90，
模值为 k ( j)
0
终点:
模值为 (
k j)nm
0
， 终止相角为 (
k j)nm
(n
m)
900
2700
(2) 求幅相曲线与负实轴的交点
G(
j)
2.2 2
10 j(1
0.42 )
，
1 0.42 0 2 2.5
L1 G1 L2 G1G2 L3 G2 L4 G1G2 L5 G1G2
于是，得特征式为
两个互不接触的回路没有
1 La
1 G1 G2 G1G2
从输入 R 到输出 C 的前向通路共有 4 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1 G1
1 1
P2 G2 P3 G1G2
2 1 3 1
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
通向前路只有一条
G1
1 R1
1 C1S
1 R2
1 C2S
1 R1R2C1C2 S 2
由于 G1 与所有回路 L1，L2， L3 都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为 Δ1=1
代入梅逊公式得传递函数
1
G
G11
1
1 R1C1s
R1C1 R2C2 s 2
1
1
R2C2s R2C1s
1 R1C1 R2C2 s 2
由公式得
p % e / 1 2 33%
tp n
1 2
0.1
换算求解得： 0.33、 n 33.2
7
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
(s)
s2
3n2 2ns n2
s2
3306 22n s 1102
3-2 设系统如图 3-2 所示。如果要求系统的超调量等于15% ，峰值时间等于 0.8s，试确定增
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P22
N (s)
1 G1G2H G2G3 1 G1G2 G1G2H1
5
自动控制原理 C 习题答案（第二章） 2-6 用梅逊增益公式求传递函数 C(s)/R(s)和 E(s)/R(s)。
图 2-6 解：C(s)/R(s):单独回路 3 个，即
L1 G1H1 L2 G3H 2 L3 G1G2G3H1H 2
仅考虑输入 N（S）作用系统时，单独回路 2 个，即
L1 G1G2 L2 G1G2H1
两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为
1 La
1 G1G2 G1G2H1
从输入 N 到输出 C 的前向通路共有 2 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1 1
1 1 G1G2 H1
P2 G2G3
t p n
0.8
1
2 t
t 0.517 , n 4.588 s 1
K1 21.05
Kt
2
t
1 n
K1
0.178
td
1
0.6 t
0.2
2 t
n
0.297s
t
r
n
1
2 t
arccost
n
1
2 t
0.538s
8
ts
3.5 t n
1.476 s
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
R1 R2C1C2 s 2
1 (R1C1
R2C2
R1C2 )s
1
2-2 已知系统结构图如图 2-2 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。
图 2－2 解：（1）首先将含有 G2 的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图 2-2（a）所 示。 （2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图 2-2（b）。 （3）最后将两个方框串联相乘得图 2-2（c）。
L1 L2 两 个 互 不 接 触 的 回 路 , 于 是 ， 得 特 征 式 为
1 La LbLc
1 G1H1 G3H2 G1G2G3H1H2 G1G3H1H2
从输入 R 到输出 C 的前向通路共有 1 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1 G1G2G3
1 1
P2 G3G4
2700
(2) 求幅相曲线与负实轴的交点
G
(
j
)
（82
3 - ）j 10 2 (2 2 -1)2 9
-
2
1
，
83 - 0 2 0.125
102 -1
2 (2 2 -1)2 9 2
20.125 10.7
2需补做虚线圆弧，奈氏曲线如右图
ω=0+
-10.7 -1
Im ω=∞ 0
ω=0
G(
j)
10 2.22
10 2.2 * 2.5
1.82
-1.82
1需补做虚线圆弧，奈氏曲线如右图
P=0，N-=1， N+=0，R=2（N+-N-）=-2，Z=P-2N=2 由奈氏判据知，闭环系统是不稳定的。
5.2 已知系统的开环传函
G(s)H (s)
s2(s
4s 1 1)( 2s
1)
用奈氏判据（画出奈氏曲线）判