第11讲 散点图、相关系数讲解
散点图：直观判断变量相关性的步骤与注意事项
散点图：直观判断变量相关性的步骤与注意事项使用散点图判断两个变量之间的相关关系是一种直观且有效的方法。
以下是具体步骤和注意事项：步骤1.收集数据：2.首先，确保你有两个变量的数据集。
这些数据集应该是一一对应的，即每个观测值在两个变量上都有对应的取值。
3.绘制散点图：4.使用统计软件（如Excel、SPSS、R、Python等）将两个变量的数据绘制成散点图。
在散点图中，通常一个变量作为横坐标（X轴），另一个变量作为纵坐标（Y轴）。
5.观察散点分布：6.仔细观察散点图中点的分布模式。
点的分布模式会给出两个变量之间关系的直观印象。
7.识别趋势：o正相关：如果随着一个变量的增加，另一个变量也呈现增加的趋势，那么这两个变量之间存在正相关关系。
在散点图中，这通常表现为点集沿斜向上方的方向分布。
o负相关：如果随着一个变量的增加，另一个变量呈现减少的趋势，那么这两个变量之间存在负相关关系。
在散点图中，这通常表现为点集沿斜向下方的方向分布。
o无相关：如果点的分布没有明显的上升或下降趋势，而是呈现随机分布的状态，那么这两个变量之间可能不存在明显的线性相关关系。
但请注意，这并不意味着它们之间不存在其他类型的关系（如非线性关系）。
8.评估紧密程度：9.除了方向外，还可以观察点集的紧密程度来评估相关性的强弱。
如果点集紧密地围绕在某条直线（或曲线）周围，那么相关性可能较强；如果点集分散较开，那么相关性可能较弱。
10.注意异常值：11.检查是否有异常值（即与其他点显著不同的点）影响对关系的判断。
有时，异常值可能是由测量错误或数据录入错误引起的，应该进行核查和处理。
注意事项●散点图只能揭示两个变量之间的关联程度，并不能确定因果关系。
●即使两个变量之间存在显著的相关性，也不意味着一个变量是导致另一个变量变化的原因。
●相关性可以是线性的，也可以是非线性的。
散点图可以帮助识别线性关系，但对于非线性关系的识别可能需要更复杂的分析工具（如回归分析中的多项式模型）。
散点图-高中数学知识点讲解
散点图
1．散点图
【知识点的知识】
1．散点图的概念：
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
2．曲线拟合的概念：
从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．
3．正相关和负相关：
（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．
（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．
3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．
4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．
1/ 1。
散点图相关系数
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一、相关的概念
2. 相关关系的分类 (3)按相关的方向分为：
正相关：一个变量增加(减少)，导致另一个变量增加(减少) 负相关：一个变量增加(减少)，导致另一个变量减少(增加)
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一、相关的概念
3. 线性相关的四种相关关系 强正线性相关：
用来度量正态分布的定距变量间的线性相关关系 Pearson简单相关系数要求变量来自的总体 分布正态
Spearman秩相关系数(斯皮尔曼)
定序变量 区别同一类别个 案中等级次序的变量。定 序变量能决定次序，也即 变量的值能把研究对象排 列高低或大小，具有>与< 的数学特质。例如文化程 度可以分为大学、高中、 初中、小学、文盲
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一、相关的概念
4. 相关分析的概念
相关分析就是描述两个或两个以上变量间关系密切程度的统计方法，有效 地揭示事物之间相关关系的强弱程度。
5.
相关分析的方法
图形（散点图）：常用的一种直观的分析方法，将样本数据点绘制在二维 平面或三维空间上，根据这些数据点的分布特征，能够直观地研究变量间的统 计关系以及它们的强弱程度和数据对的可能走向。 数值（相关系数）：变量间关系的密切程度常以一个数量性指标描述，这 个指标称相关系数
r=0.8
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一、相关的概念
SPSS提供了三种相关分析的方法
二元变量分析（ Bivariate ）： 偏相关分析（ Partial ）： 距离相关分析（ DistancesБайду номын сангаас）：
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相关分析的方法
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二、相关分析的方法
利用散点图判断两个变量的相关关系资料讲解
负相关：如果散点图的点散布的位置是从在左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另 一个变量的值也近似的由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们称为负相关.
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们将变量所对应的 点描出来，这些点就组成了变量之间的一个散点图.
探究：
（2）函数关系与相关关系之间有着密切联系： 在一定的条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其回归直线方程后， 又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计：
3、判断相关关系的基本程序
两个变量 →一个变量值一定→另一个变量带有不确定性→相关关系
4、相关关系的类型 相关关系可分为线性相关，非线性相关两类.
如高原含氧量与海拔高度 的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越 少。 作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关.
O
1、散点图的特点形象地体现了各数据的密切程度，因此我们可以根据散点图来判断两个 变量有没有线性关系.
利用散点图判断两个变量的相关关系
讲授新课
一：变量之间的相关关系
1.两变量之间的关系
（1）函数关系： 当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定
正方形面积S与其边长x之间的函数关系S=x2 ， 对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定值一定时，因变量的取值带有一定的随机性
一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 。 水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有随机性
不确定关系
2、相关关系的概念 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫相关关系.
第11讲 回归概念、回归系数
回归方程的拟合优度检验 检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度，从而评价回归方程对样 本数据的代表程度。 拟合优度检验采用判定(决定)系数 R 2 （一元）和调整判定(决定)系数 R 2 （多元），来检验。其中R是自变量x和因变量y之间的相关系数。 R 2 和 R 2 取值范围是0~1，越接近1表示拟合优度越高，反之就越低。 判定(决定)系数：反映了因变量y的全部变异中能够通过回归关系被自变量解 释的比例。
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一、“回归”起源
Galton通过上述研究发现儿子的平均身高一般总是 介于其父亲与其种族的平均高度之间，即儿子的身高在 总体上有一种“回归”到其所属种族高度的趋势，这种 现象称为回归现象，贯穿数据的直线称为回归线。
回归概念产生以后，被广泛应用于各个领域之中， 并成为研究随机变量与一个或多个自变量之间变动关系 的一种统计分析技术。
1 0 i 0
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三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
例一：一元线性回归分析 9-linear_one.sav 一家地产公司调查了某城市的房地产销售价格与 房产的评估价值的数据，请用一元线性回归分析，能 否用房产的评估价值来预测房地产销售的价格。
分析： 1.自变量：房产的评估价值；因变量：房地产销售价格 2.散点图分析 3.一元线性回归结果分析
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三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
结果分析 （1）散点图 从建立的散点图来看，自变量x和因 变量y之间存在一定的线性关 系，但数据分布较为分散， 所以相关程度不是很高。
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三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
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11 现况调查的统计分析策略——相关分析：直线相关VS秩相关
11 现况调查的统计分析策略——相关分析：直线相关VS秩相关直线相关和秩相关均用于探讨两个变量的是否存在着关联，且可以提供相关系数来分析相关性的强弱。
直线相关分析是以均数为基础的参数检验，秩相关分析是以秩次为基础的非参数检验在变量要求上，直线相关分析要求双变量正态定量变量，秩相关分析要求双变量定量或者等级，一般倾向于用于至少一个变量为偏态或等级变量的关联性分析。
直线相关分析主要用于探讨直线关系的有无，曲线相关时，直线相关系数r值和P值均不能反映真实的相关性。
因此，必须有两个变量必须有线性趋势（如下图）。
秩相关分析相关则不一定意味着一定是直线相关。
无论哪种相关，都可以开展直线相关分析，其结论是否可靠，前提是散点图线性趋势是否存在。
1 若直线相关趋势存在，根据变量的特征选择直线或者秩相关分析。
2 若直线相关趋势不存在，直接弃用直线相关分析。
3 若直线相关趋势不存在，秩相关统计分析显示存在着相关，可以认为存在着相关，但不能说直线相关直线相关分析特点是灵敏，在线性趋势明显、正态分布的情况下，直线相关分析容易获得阳性结果；但是在存在异常值、偏态分布数据时，过于灵敏的结果反而不是好事，此时，秩相关分析一如既往稳健。
因此，双变量正态或者近似正态分布时，可优先考虑直线相关，但是至少有一个是等级或者偏态分布的资料，推荐秩相关分析。
相关分析的内容相关分析内容包括计算相关性程度、判断相关性的有无。
计算相关性程度一般便是计算相关系数。
相关系数分为总体相关系数ρ和样本相关系数r。
总体相关系数ρ：若ρ≠0, 称变量存在着相关；若ρ＝0, 则简称两变量不相关。
样本相关系数r：往往用来代替总体相关系数总体相关系数是关于总体人群的两个变量相关性，也是研究所想知道的指标。
但统计分析能够计算的，只能是样本相关系数r值，而用r来代替总体反映两个变量的相关性程度。
r的取值范围为｜r｜≤1，绝对值大小表示两变量之间直线联系的密切程度。
当r为负值时，表示当一个变量的取值增大时，另一个变量的取值减小，即呈相反的变化方向，称为负相关；当r为正值时，表示两个变量的变化方向一致，称为正相关。
散布图相关系数判定PPT教案
（∑X’
）（∑
N
Y’）
＝1716－ 141× 312
＝249.6
30
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3. 相关系数判断法(续)
5. 计算相关系数（γ ）。
γ＝
L X’ Y’
＝
L X’ X’
L Y’ Y’
6. 查出临界相关数据（γα ）。
249.6
＝ 0.814
176.3 533.2
根据N－2和显著性水平α查表求得γα＝0.361（α ＝ 0.05）
0.01
0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254 0.181
练习演练
下列数据表示铸造工程铸砂混合树脂(粘剂),树脂 量(%)对砂抗析力强度(kg/cm2)的关系,试作一散布 图分析两者的关联性.
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x No.
烧溶温度℃
0.01
0.526 0.515 0.505 0.496 0. 487 0.478 0.470 0.463 0.456 0.449
α
N－ 2
35 40 45 50 60 70 80 90 100 200
第12页/共16页
0.05
0.325 0.304 0.288 0.273 0.250 0.232 0.217 0.205 0.195 0.138
散布图相关系数判定
1. 对照典型图例判断法
硬度（HRC）
60
●
58
●
56
●
54
●
●
●
●
○●
●
●
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●
●
●
●
50
●
第11讲散点图、相关系数资料
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一、相关的概念
2. 相关关系的分类
就是函数关系
(1)按相关的程度分为：
完全相关：一个变量的取值完全取决于另一个变量，数据点落在一条直线(或曲线)上
二、相关分析的方法
2. 相关系数
(a)
(b)
(c)
(d)
就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相
关，如图(a)和(b)；
如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关， 如图(c)；
如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系， 如图(d) 。
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第11讲
散点图、相关系数
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3
相关概念
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一、相关的概念
1. 变量之间关系的概念
相关：一个变量的取值部分取决于另一个变量，数据点围绕分布在一条直线(或曲线)上
不相关：两个变量的数据点分布很分散，无任何规律
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这些关系分为两种： (1)函数关系：变量之间的一一对应的关系，当自变量x取一定值 时，因变量y依据函数关系取唯一的值。 如：在单价确定时，销售量与销售额之间的关系：y=f(x) 销售额＝价格 * 销售量 圆的面积与圆的半径之间的关系： 圆面积＝3.14 * 半径^2
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一、相关的概念
2. 相关关系的分类 (2)按相关的表现形式分为：
线性相关：两个变量之间的关系近似地表现为一条直线 非线性相关：两个变量之间的关系近似地表现为一条曲线
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一、相关的概念
2. 相关关系的分类 (3)按相关的方向分为：
正相关：一个变量增加(减少)，导致另一个变量增加(减少) 负相关：一个变量增加(减少)，导致另一个变量减少(增加)
Shanghai University of International Business and E弱负线性相关：
一个变量x增加，导致另一个变量y减少，但不明显，说明x是影响变量y的因素， 但不是唯一（主要）的影响因素
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一、相关的概念
4. 相关分析的概念
相关分析是描述两个或两个以上变量间关系密切程度的统计方法，可有效 地揭示事物之间相关关系的强弱程度。
5.
相关分析的方法
图形（散点图）：常用的一种直观的分析方法，将样本数据点绘制在二维 平面或三维空间上，根据这些数据点的分布特征，能够直观地研究变量间的统 计关系以及它们的强弱程度和数据对的可能走向。 数值（相关系数）：变量间关系的密切程度常以一个数量性指标描述，这 个指标称相关系数
r=0.8
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一、相关的概念
1. 关系的概念
(2)相关关系：如果变量之间存在密切的关系，但又不能由一个或 几个变量的值确定另一个变量的值，当自变量x取一定值时，因变量y 的值可能有多个，这种变量之间的非一一对应的、不确定的关系，称 之为相关关系。 如：子女身高与父母身高之间的关系 证券指数与利率之间的关系
3. 线性相关的四种相关关系 强正线性相关：
一个变量x增加，导致另一个变量y明显增加，说明x是影响变量y的主要因素
弱正线性相关：
一个变量x增加，导致另一个变量y增加，但不明显，说明x是影响变量y的因素， 但不是唯一(主要)的影响因素
强负线性相关：
一个变量x增加，导致另一个变量y明显减少，说明x是影响变量y的主要因素
相同点 协变量数量 因变量数量 （定距变量） （定距变量） 1 1 1. 正态分布检验 2. 方差齐性检验 3. F统计量 4. 假设检验的四 个过程
不同点
存在变量之 间的交互作 用 排除协变量 的影响之后 进行方差分 析
>= 1
1
1
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(a)
(b)
(c)
(d)
就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相 关，如图(a)和(b)； 如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关， 如图(c)； 如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系， 如图(d) 。
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第11讲
散点图、相关系数
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3
相关概念
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一、相关的概念
1. 变量之间关系的概念
11
一、相关的概念
SPSS提供了三种相关分析的方法
二元变量分析（ Bivariate ）： 偏相关分析（ Partial ）： 距离相关分析（ Distances ）：
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相关分析的方法
Shanghai University of International Business and Ecnomics
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二、相关分析的方法
1. 散点图
散点图是相关分析过程中常用的一种直观的分析方法； 将样本数据点绘制在二维平面或三维空间上，根据数据点的分布特征，直观的研 究变量之间的统计关系以及强弱程度。
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一、相关的概念
2. 相关关系的分类
就是函数关系
(1)按相关的程度分为：
完全相关：一个变量的取值完全取决于另一个变量，数据点落在一条直线(或曲线)上 相关：一个变量的取值部分取决于另一个变量，数据点围绕分布在一条直线(或曲线)上 不相关：两个变量的数据点分布很分散，无任何规律
上节回顾
方差分析
分析分类变量对因变量的影响是否显著及其程度
单因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析
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方差分析 单因素方差 分析 多因素方差 分析 协方差分析
控制变量数量 （类别变量） 1 >= 1