2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题3-3 函数与导数的综合应用(1)

2020-2021学年高考数学一轮复习

专题3.3 函数与导数的综合应用

【考情分析】

1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；

2.会利用导数解决某些简单的实际问题。 【典型题分析】

高频考点一 利用导数证明不等式

例1.【2020·江苏卷】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．

（1）若()()22

2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，

，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，

，求k 的取值范围；

（3）若()

422342

() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，

[]

, D m n =⊆⎡⎣，

求证：n m -

【解析】（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．

由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．

（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.

令() 1ln u x x x =--，则1

()1,u'x x

=-令()=0u'x ，得1x =.

所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．

另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立，

也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102

k

x +=

>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤． 因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤

（3）①当1t ≤≤

由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得

422

3

328

()0.()4

t t x t t x ----+≤*

令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．

记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤

则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，

所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，

因此21n m x x -≤-=≤ ②当01t <<时，

432()()11 34241f h t t t t ---=+---．

设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-

令()0v t '=，得t =

．

当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；

当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．

（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．

因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<

③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -≤

综上所述，n m -≤

【举一反三】【2019·天津卷】设函数()e cos ,()x

f x x

g x =为()f x 的导函数．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π

⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭

；

（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫

π+

π+ ⎪⎝⎭

内的零点，其中n ∈N ，证明200

22sin c s e o n n n x x x -π

ππ+-<

-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡

⎤

-

+∈⎢⎥⎣⎦

Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣

⎦Z .（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x

f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛

⎫∈π+

π+ ⎪⎝⎭

()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛

⎫

∈π-π+ ⎪⎝⎭

()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．

所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡

⎤

π-

π+∈⎢⎥⎣⎦

Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡

⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦

Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭

．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，0()g'x <，故