函数与导数解题方法知识点技巧总结

函数及导数解题方法知识点技巧总结1. 高考试题中，关于函数及导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式（3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：（1）曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。

（2）若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。

反之不成立。

（3）对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增（减）区间。

（4）函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：,()0(0)x I f x '∀∈≥≤恒成立（()f x '不恒为0）. （5）若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。

（若()f x '为二次函数且I R =，则有0∆>）。

（6）若函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。

（7）若,()0x I f x ∀∈>恒成立，则min ()0f x >；若,()0x I f x ∀∈<恒成立，则max ()0f x < （8）若0x I ∃∈使得0()0f x >，则max ()0f x >；若0x I ∃∈使得0()0f x <，则min ()0f x <.（9）设()f x 及()g x 的定义域的交集为I ，若,()()x I f x g x ∀∈>恒成立，则有min [()()]0f x g x ->. （10）若对112212,,()()x I x I f x g x ∀∈∈>恒成立，则min max ()()f x g x >.若对1122,x I x I ∀∈∃∈，使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ∀∈∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对1122,x I x I ∀∈∃∈使得12()()f x g x =成立，则A B ⊆。

（12）若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13）证题中常用的不等式:①ln 1(0)x x x ≤->（仅当1x =时取“=”）②ln(1)(1)x x x +≤>-（仅当0x =时取“=”） ③2ln(1)(0)x x x +<> ④ ⑤⑥1xe x ≥+ ⑦1x ex -≥-3. 函数及导数解答题常见题型的解法（1）已知曲线()y f x =（含参数）的切线方程为y kx b =+，求参数的值 【解法】先设切点坐标为00(,)x y ，求出切线方程 000()()()y f x x x f x '=-+再及已知切线方程比较系数得: , 解此方程组可求参数的值（2）已知函数()y f x =（含参数），讨论函数的单调性【解法】先确定()f x 的定义域，并求出()f x '，观察()f x '能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令()0f x '=，求根12,x x .再分层讨论，是否在定义域内或讨论12,x x 的大小关系，再列表讨论，确定()f x 的单调区间。

（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）（3）已知函数()y f x =（含参数）在区间I 上有极值，求参数的取值范围.【解法】函数()f x 在区间I 上有极值，可转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根，且为非二重根。

从而确定参数（或其取值范围）。

（4）可导函数()f x （含参数）在区间I 上无极值，求参数的取值范围【解法】()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立（5） 函数()f x （含单个或多个参数）仅在0x x =时取得极值，求参数的范围【解法】先由()0f x '=，求参数间的关系，再将()f x '表示成()f x '=0()x x -()g x ，再由()g x 0≥(0)≤恒成立，求参数的范围。

（此类问题中()f x '一般为三次多项式函数）（6） 函数()f x （含参数）在区间I 上不单调，求参数的取值范围【解法一】转化为()f x 在I 上有极值。

（即()0f x '= 在区间I 上有实根且为非二重根）。

【解法二】从反面考虑：假设()f x 在I 上单调则()f x '0≥(0)≤在I 上恒成立，求出参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集（7）已知函数()f x （含参数），若0x I ∃∈，使得0()f x 0>0<（）成立，求参数的取值范围. 【解法一】转化为()f x 在I 上的最大值大于0（最小值小于0）【解法二】从反面考虑：假设对()0(0)x I f x ∀∈≤≥，恒成立则 max ()f x 0≤ （min ()f x 0≥）,求参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围 【解法一】分离参数求最值 【解法二】构造函数用图像注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化为单变量不等式恒成立问题（9）可导函数()f x （含参数）在定义域上存在单调递增(减)区间， 求参数的范围. 【解法】等价转化为()f x '0>0<（）在定义域上有解即0x I ∃∈使0()f x 0>0<（）成立 （1）可用分离参数法（2）利用图像及性质（10）证明不等式【解法】构造函数()f x 并确定定义域I ，考察在I 上的单调性（注意区间端点的函数值）或者求()f x 在I 上的最值注：对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式，确定要证明的函数不定式，再对自变量x 赋值，令x 分别等于12n ,,,,把这些不定式累加，可得要证的不定式。

）1.已知函数xxx f 24)(-=，实数t s ,满足0)()(=+t f s f ，设ts tsb a +=+=2,22.（1）当函数)(x f 的定义域为[]1,1-时，求)(x f 的值域； （2）求函数关系式)(a g b =，并求函数)(a g 的定义域； （3）求ts88+的取值范围.（1）若[1,1]x ∈-，令12[,2]2x m =∈， ……1分2211()()()24f x l m m m m ==-=--在1[,2]2上为增函数……2分min min 11()()()24f x l m l ===-；max max ()()(2)2f x l m l ===，……3分()f x 值域为1[,2]4-. ……4分（2）实数,s t 满足()()0f s f t +=，则42420s s t t -+-=， 则2(22)22(22)0s t s t s t ++-⨯-+=，……6分而22s t a =+，2s t b +=，故220a b a --=，21()()2b g a a a ==-， ……7分由题意，0,0b a >>，则21()02a a ->，故1a >， ……8分又22222442()2s t stst++=+≥⨯，即，故2a ≤，当且仅当s t =时取得等号， ……9分 综上：12a <≤.……10分（3）88(22)(4224)()s t s t s s t t a a b +=+-⨯+=-2321113()2222a a a a a a =-+=-+，(1,2]a ∈……12分令3213(),(1,2]22h a a a a =-+∈，'()h a 2333(2)022a a a a =-+=--≥当(1,2]a ∈恒成立， ……14分故()h a 在(1,2]a ∈单调递增，()((1),(2)]h a h h ∈，故88s t +(1,2]∈.……16分2.已知函数2(),()xf x eg x ax bx c ==++。

（1）若f （x ）的图象及g （x ）的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b 和c 的值。

（2）若a ＝c ＝1，b ＝0，试比较f （x ）及g （x ）的大小，并说明理由；（3）若b ＝c ＝0，证明：对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当x (,)m ∈+∞时， 恒有f （x ）＞g （x ）成立。

解:1a c ==，0b =时，2()1g x x =+，……5分①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <③0x >时，令2()()()1xh x f x g x e x =-=--,则'()2xh x e x =-. 设()'()=2xk x h x e x =-，则'()=2x k x e -，当ln 2x <时,'()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时,'()0,()k x k x >单调递增. 所以当ln 2x =时,()k x 取得极小值, 且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 40k e=-=->即()'()=20xk x h x e x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =, 因此,当0x >时,()(0)0h x h >>,即()g()f x x >.……9分综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时,()()f x g x =；当0x >时,()g()f x x >． ……10分 ⑶证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时,21xe x >+.即22x e x ax >≥，所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，，恒有2xe ax >. ②若1a ≥,()g()f x x >即2x e ax >，等价于2ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增.取20x ae =,则202x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->即存在2m ae =,当()x m ∈+∞，时，恒有()()f x g x >. ……15分 综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，，恒有()()f x g x >. ……16分 证法二：设，则，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增， 故()h x 在(0,)+∞上有最小值，，……12分 ①若，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立，即当时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ②若，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ③若，同证明一的②， ……15分综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分设函数22ln -+f xx x ax b 在点0,0x f x 处的切线方程为yx b .(1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数f x 有且仅有两个零点.4.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+；（取e 为2.8，取ln2为0.72 1.4=）（1）若函数()()()h x f x g x =-在(0, )+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当0b =时，若()f x 及()g x 的图象有两个交点11(,)A x y 、22(,)B x y ，求证：2122x x e >．解析：（1）由()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---，得211()h x a x x'=+-；∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x '=+-≥，（求出导数给2分） 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤； 故实数a 的取值范围是(,0]-∞．………………………………………………4分（无等号的扣1分）（2）设切点，则切线方程为：002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---；……………7分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时()0t ϕ'<，()t ϕ在(0, 1)上递减；当(1,)t ∈+∞时()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-．………………………………………10分 （3）由题意知：，，两式相加得：12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+， 两式相减得：，即，∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，………12分不妨令120x x <<，记，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==，∴，即，令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512=+≈<，∴1G =>>，∴>，即2122x x e >．■………………………………………………………16分已知函数()(1)xf x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.解：（1）当1a =-时，()'e 1xf x =+，()'1e 1f =+，()1e f =，………………2分∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e e 11y x -=+-，即()e 11y x =+-． ……………………………………………………………………4分 （2）∵()'e xf x a =-，①当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在R 上单调递增；………………………………6分 ②当0a >时，由()'e 0xf x a =-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增． 综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． ……………………………………9分（3）由（2）知，当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，∴()f x b ≥不可能恒成立； ………………………………………………………………10分 当0a =时，0b ≤，此时0ab =；………………………………………………………11分 当0a >时，由函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，得()min b f x ≤，∵()()min ln 2ln f x f a a a a ==-，∴2ln b a a a -≤………………………………13分 ∴222ln ab a a a -≤，设()()222ln 0g a a a a a =->，∴()()'42ln 32ln g a a a a a a a a =-+=-，由于0a >，令()'0g a =，得，32e a =，当时，()'0g a >，()g a 单调递增；时，()'0g a >，()g a 单调递减．∴，即ab 的最大值为3e 2，．………………………………………………………………… 16分5.此时若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.已知函数()xf x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（2）设函数，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.解：（1）由题意，得()(()())()x xh x f x g x e mx n e m '''=-=--=-， 所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分 又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，将点(1,0)代入，得2m n +=. ……………4分（2）方法一：当0n =，可得()()x xh x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以， ①当时，()0xh x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =， 所以只需，解得，从而. ……………6分②当时，由()0xh x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞， 当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，令ln 0m m m ->，解得m e <，所以.综上所述，. ……………10分 方法二：当0n =，xe mx =①当0x =时，显然不成立； ②当1x >-且0x ≠时，，令，则()221x x x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数单调递减，01x <<时，0y '<，函数单调递减，当1x >时，0y '>，函数单调递增，又，1x y e ==，由题意知.（3）由题意，1114()()()4x x n x nx x m r x n f x g x e e x x m=+=+=+++， 而等价于(34)40x e x x -++≥，令()(34)4x F x e x x =-++，……………12分则(0)0F =，且()(31)1x F x e x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=，则()(32)x G x e x '=+，因0x ≥， 所以()0G x '>， ……………14分 所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. ……………16分己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明:（1）因为，所以2a =，………………………………………1分此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ……………………………………… 2分 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分 （2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=． 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x -+-+-+'==-， 令()0g x '=，得．所以当时，()0g x '>；当时，()0g x '<，因此函数()g x 在是增函数，在是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分 令，因为，，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数．所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立，问题等价于在(0,)+∞上恒成立．令，只要max ()a g x ≥．………………………………………… 6分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得． 设，因为，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数． 所以000max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．………………………8分 因为， 所以，此时，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．……………………………………………… 10分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 13分 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥， ………………………………………………………15分所以21212()()1x x x x +++≥，因此成立．………………………………………………………… 16分已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．解：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x -'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞上恒成立． ………………………5分 1）当(0,1)x ∈时， 1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*） 则(1)0H =，1()ln 1b H x b x b x -'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-+-<⨯-=≤， 故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=， 即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**）则(1)0H =，1()ln 1b H x b x b x -'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x+-'=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-⨯-=≥， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=， 即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； ………………………13分 ⅱ）若102b <<，则111b ->，所以当11,1x b∈-（）时， 221[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x--+-'==<， 故函数()y Q x =在11,1x b∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≥； ………………15分 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b =，从而实数b 的取值集合为1{}2． ………………………16分。