奇怪吸引子与分形

奇怪吸引子与分形混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中（原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作——时间平移不变性，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。

现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 +t方向和沿 -t 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发）。

对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念，也称为奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。

所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。

吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。

平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式，分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。

例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。

一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。

例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。

科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。

科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。

奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。

奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。

奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子，它是在研究天气预报中大气对流问题的洛伦茨模型中得到的。

洛伦茨吸引子由“浑然一体”的左右两簇构成，各自围绕一个不动点。

当运动轨道在一个簇中由外向内绕到中心附近后，就随机地跳到另一个簇的外缘继续向内绕，然后在达到中心附近后再突然跳回到原来的那一个簇的外缘，如此构成随机性的来回盘旋。

奇异吸引子具有两个主要的特点：①奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。

②奇异吸引子往往具有非整数维（也称分维），如2.06维、1.2365维等，常需要通过计算才能加以确定。

1976年，美国物理学家M.J.费根鲍姆发现，奇异吸引子具有标度无关性。

当把标尺作适当的放大后，吸引子的细节部分具有与整体相同的结构，同一种形态在越来越小的尺度上重复，其典型例子是埃农吸引子。

对奇异吸引子的研究还处于开始阶段，有无数的形式有待探索和发现。

动力学系统的大范围分析被认为是奇异吸引子的数学理论基础，但是关于奇异吸引子的理论还远未完成。

保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合就是吸引子。

在动态系统理论中，排斥子又称为源，吸引子又称为汇。

一切有实际意义的轨道总是从源流向汇。

处于不稳定定态的系统也“安于现状”，自身没有改变现状的动力。

但它们对附近的轨道没有吸引力，反而有排斥力。

一旦扰动使系统离开这种定态，排斥力将使任何轨道远离该定态而去。

由此缘故，不稳定的结点、焦点、极限环、环面被称为排斥子。

研究排斥子也是吸引子理论的重要内容。

奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。

简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。

奇怪吸引子有两个最重要的特征：（1）对初始条件有敏感的依赖性。

在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。

由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。

但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。

混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域，形成奇怪吸引子。

实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。

正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质：（2）它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。

奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体（注:因此,奇怪吸引子为具有分形自相似特征的吸引子,同时在整体上也是稳定的,这种特征非常有意思）。

为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，Mandelbrot率先引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。

相空间中吸引子类型可以是不动点、极限环、二维或三维环面、奇怪吸引子（混沌）和超混沌等多种不同类型。

对一个动力系统来说，在长时间后系统的性态只可能是吸引子本身，其它的性态都是短暂的。

所以吸引子的一个重要特征是“稳定性”，它表示着运动的最终趋向或“演化目标”，运动一旦进入吸引子，就不会再离开它；当一个小的扰动使系统暂时偏离吸引子后，它也必然会再返回来的。

吸引子的另一个重要特征是“低维性”，它作为相空间的点集合，其维数必定小于相空间的维数。

上述几类吸引子，都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动。

有耗散的混沌系统的长期行为也要稳定于相空间的一个低维的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。

但是混沌之所以是混沌，就是它绝不可能最终到达规则的有序运动；因而在它的吸引子内部，运动也是极不稳定的。

在这种吸引子上，系统的行为呈现典型的随机性，是活跃易变和不确定的。

更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点集合）具有极其复杂的几何图象，如果没有电子计算机这种高效工具，混沌吸引子是无法绘制出来的。

所以茹勒和泰肯斯把它们称为“奇怪吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。

奇怪吸引子既具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点，即非周期性——它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。

因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度。

物理上将动力学系统分为保守系统和耗散系统。

如果系统中不存在摩擦、粘滞等因素，运动过程中能量守恒，这类系统称为保守系统；如果系统中有摩擦、黏滞性的扩散或热传守性质或过程，在运动过程中消耗能量，系统的能量不能保持恒定不变，这样的系统称为耗散系统。

庞加莱在保守系统中发现了混沌，而洛仑兹则是在耗散系统中第一个发现了混沌.在耗散系统的混沌研究中，奇怪吸引子是一个中心问题。

耗散系统的混沌与保守系统的混沌的根本区别在于有无吸引子。

对耗散系统的混沌研究一个常规模式是：寻找奇怪吸引子，刻划奇怪吸引子。

吸引子能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。

这是一个动力系统在t→∞时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。

这类吸引子也称平庸吸引子。

如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。

奇怪吸引子相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。

确定性混沌的一些基本特征。

1．确定性在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，是指方程（常微分方程、差分方程、时滞微分方程）是非随机的，不含任何随机项。

系统的未来（或过去）状态只与初始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内因决定的，与外在因素无关。

这是至关重要的一条限制，所以我们现在讲的混沌也叫“确定性混沌”。

正因为确定性的系统出现了复杂行为，也叫内随机性，人们才兴奋起来，才一往倾心地钻研混沌。

当然，从长远的观点来看，人们肯定会研究带有随机项的更复杂系统的非周期运动。

然而，目前由于公众对混沌还有相当的误解，所以我们严格区分是否为确定性至关重要，还不能笼统地从现象的层次把一大堆似是而非的东西都称为混沌。

总之，混沌概念的狭义化总比泛化好些。

现在我们考虑的混沌主要是一种时间演化行为，不直接涉及空间分布变化，所以暂不考虑偏微分方程。

2．非线性产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产生混沌，但没有非线性是肯定产生不了混沌的。

也就是说，非线性是产生混沌的必要条件。

这里我们需要指出的是，“分段线性”并不等于线性，其实它是一条光滑曲线的近似描述，整体上相当于非线性。

分段线性的系统可以出现混沌运动。

从形式上看，非线性在方程中是指相关变量含有二次或二次以上的项。

从功能上看，非线性是通过线性来定义的，设G1和G2是任意两个（向量）函数，a和b是任意两个常数，若算子乙满足如下叠加原理: L（aGl+bG2）= aL（G1）+ bL（G2），则称L是线性算子，否则L是非线性算子。

包含非线性算子的系统称为非线性系统。

应当注意的是线性与非线性也不是绝对分明的。

对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它视为线性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空尺度不同有关。

现在看来，非线性是普遍存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法来解决，因而直接面对非线性是不可避免的。

3．对初始条件的敏感依赖性1963年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，并提出了形象的“蝴蝶效应”。

被冷落了12年之后，1975年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，运动就到了维数不高的“奇怪吸引子”上。

这里所谓“吸引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时它就称为“奇怪吸引子”（注:将形成一稳定的低维区域,在此区域内的运动没有标度特性,且可以无限细腻,如此则可以提取真空零点能,能量耗散系统中才能形成如此低维吸引子,而此低维吸引子又是非常稳定的,其将如黑洞一样,吸收多少能量,将放出多少能量,而自身结构维持不变,其中耗散和增益形成微妙的平衡,也就是说高维耗散系统中将隐含低维度的整体稳定吸引子.整体的稳定性和局部的不稳定性导致形成了不分不合的镶嵌并遍历于高维相空间局部区域的奇特相结构）。