奇怪吸引子的维数
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.姚⼯讲分形（1）：分析分形是市场分析的必经之路（1）发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂受“最⼩努⼒原则”的制约，⼈们⾯对复杂问题总是⽤⼀种简化的办法进⾏线性化处理。
这虽然不是很精确，但也能满⾜当时⼈们的需求。
遗憾的是这种措施仅能解决⼈们⾯对世界的⼤约5%左右的问题，现在⼤学的课程花费95%的时间学习的就是这种解决问题的知识。
随着社会的发展，⼈们不得不⾯对像⽣命系统，社会系统以及⽓象预报，⾦融市场分析这类复杂系统的，看似带有随机性的复杂问题。
⾯对这类问题，像以前那样地简化，线性化的处理⽅法是⾛不下去了！这使得⼈们对现实世界的认知彷徨了相当长的⼀段时间。
直⾄上世纪60年代后期伴随着⾮线性动⼒学研究的进展，⼈们先后发现了耗散结构理论，混沌理论和分形理论。
这些前沿科学理论的相继发现对⼈们的世界观和⽅法论形成了巨⼤地冲击，使⼈们对真实的⾮线性世界的认知发⽣了⾰命性变⾰。
市场分形分析⽅法就是在这种背景下逐步出现的。
美国⼈的脚步⽐较快，⽐尔.威廉姆先⽣⾸先出版了《混沌操作法》，此书离分形分析还⽐较远，但是它论述了⾦融交易市场是⼀个混沌系统，以及市场价格沿着最⼩阻⼒⽅向运⾏。
这对⼈们认识市场是有帮助的；埃德加E⽐德斯先⽣写了⼀本书《分形市场分析》，这本书距真正的分形分形进了⼀⼤步，因为它的时间序列R/分析从数理上证明了“市场是有长期记忆功能的”，这可是个不得了的结论，对⾦融交易分析产⽣了巨⼤影响；曼德博罗先⽣是分形⼏何的祖师爷，他通过“曼德博罗集合”向世⼈展⽰了黄⾦分割率及其衍⽣⽐率是⾃然界客体向前演进过程中遵循的⼀种⼗分重要分形维度，是⼀种极其普遍的⾃然现象。
这也对⾦融市场分析产⽣了重⼤影响！⼀度风靡世界的“⾼频交易”就是俄罗斯⼈应⽤分形分形的杰作。
现在看来分形市场分析是正确解读市场的必经之路。
另：请参阅《⼈类⾏为与最⼩努⼒原则——⼈类⽣态学引论》——齐普夫（美哈佛教授）姚⼯讲分形（2）：分析分形是市场分析的必经之路（2）发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂北⼤博雅特训班刚把我推为“量学三⽼”之⾸，今天突然封了我在178448⽹站的账号，逻辑上似乎出了点问题。
lorenz混沌吸引子轨道原理
lorenz混沌吸引子轨道原理
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种描述混沌现象的数学模型，它是由美国数学家Edward Lorenz在20世纪60年代提出的。
这个模型可以用来解释许多自然现象，如气象学中的天气预报、流体力学中的湍流现象等。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的核心是混沌吸引子。
混沌吸引子是一种奇异的吸引子，它具有无限细节和复杂性。
在Lorenz混沌吸引子轨道原理中，混沌吸引子是一种吸引轨道，它可以吸引周围的轨道，使它们最终趋向于混沌吸引子。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的基本方程是Lorenz方程。
这个方程描述了一个三维空间中的动力学系统，它包含了三个变量：x、y和z。
这个方程的形式非常简单，但是它却可以产生出极其复杂的轨迹。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的一个重要应用是天气预报。
天气系统是一个非常复杂的动力学系统，它包含了许多变量和参数。
使用Lorenz混沌吸引子轨道原理，可以对天气系统进行建模，并预测未来的天气情况。
除了天气预报，Lorenz混沌吸引子轨道原理还可以应用于其他领域，如金融市场、生物学、化学等。
在金融市场中，Lorenz混沌吸引子轨道原理可以用来预测股票价格的波动。
在生物学中，它可以用来研究生物体内的混沌现象。
在化学中，它可以用来研究化学反
应的动力学过程。
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种非常重要的数学模型，它可以用来解释许多自然现象和社会现象。
它的应用范围非常广泛，可以帮助我们更好地理解和预测世界的变化。
关于奇怪吸引子的特点
关于奇怪吸引子对我们生活学习的启示
奇怪吸引子的两个特点：
1. 奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。
→蝴蝶效应
洛伦兹把这种对初始条件的敏感依赖性称为“蝴蝶效应”。
维纳也曾引用一首民谣来描述这种对初始条件的敏感依赖性：丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
2. 由两种不同属性的内外方向决定了它具有非常奇特的拓扑结构和集合形式。
→趋于稳定奇怪吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切联系，它具有不同属性的内外两种方向：
1. 在奇怪吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向
2. 一切到达奇怪吸引子内的运动都相互排斥，对应于“不稳定”方向。
Ch.7 分岔与奇异吸引子
( ( ( 可以发现， x01)， x02 ) ， x03) 相差是多么微小，但是 迭代50次以后， x52的三个数值却有那么大的差别，若 继续迭代下去，将无法预测其后果，这正是出现了随机
行为，即当 4时，差分方程 (7.2)对初值条件十分 敏感，正是由于这种对初值的敏感依赖性，使得确定的 非线性系统 (7.2)所确定的迭代解在多次迭代后变得不
过 z 轴的轨道留在其上并趋于原点。环绕 z 轴的
轨道从 z 0 平面的上方看是逆时针旋转的，因为在平 x 0 上，若 y 0，有 dx 0 ；而若 y 0，有 dx 0。 面 dt dt 3. 存在零体积有界全局吸引集 Lorenz方程的流的散度为
x y z ( 1) x y z
Chapter 7
分岔与奇异吸引子
7.1
虫口模型——分岔与混沌
一、简单的虫口模型 蝉，是我们很熟悉的一种昆虫，它上每隔7年、13 年或17年出现一次成虫期的。地球上有很多昆虫的种群 都类似于蝉是由单一世代构成的，在两代之间没有重迭，
因此昆虫的增长（虫口数）是分步进行的。
设 xn 是某种昆虫第 n 年内的个体数目（n 代表年份， 只取非负数整数），第 n 1年的数目为 xn 1 ，有关系
A 0
1 0
0 0
其特征根为
1
2 , 3
1 [(1 ) 2 (1 ) 2 4 (1 ) ]
xn1 xn (1 xn )
n 0,1,2, (7.2)
且设 0 4 。
( 现设 4 ，并分别取 x01) 0.1 ， ( ， ( ，用计算机按(7.2) x02) 0.10000001 x03) 0.10000002
第4章洛伦兹方程与吸引子
洛伦兹的设想
60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对 流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
dz
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-bz
xy
dx dy dz 0 dt dt dt
x y z 0
x y b(r -1),z r -1
即洛伦兹方程有三个平衡点
若 r，1只存在一个平衡点 x 。y 此 z平衡0点是洛伦兹方程的不动点， 相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。
洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点
0 0 0 - (b l)
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与 邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
x
1,2
y 1,2
b (r - 1)
C1与 C2的稳定性
当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺 旋线外径会接触合并一起。当特征方程
l3 ( b 1)l2 b ( r )l 2b (r -1) 0
奇怪吸引子与分形
奇怪吸引子与分形混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中（原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作——时间平移不变性，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。
现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 +t方向和沿 -t 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发）。
对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念，也称为奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。
所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。
吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。
平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式，分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。
例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。
一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。
例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。
科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。
科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。
奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
吸引子和吸引域
在动力系统的数学领域中，吸引子是系统在众多初始条件下所趋向的一组数值。
即使稍微受到干扰，与吸引子的值接近的系统值仍然能够保证近似性。
在有限维系统finite-dimensional systems中，演化变量可用代数表示为n维向量。
吸引子是n维空间中的一个区域。
在物理系统中，n维可以是一个或多个物理实体的两个或三个位置坐标；在经济系统中，它们可以是单独的变量，如通货膨胀率和失业率。
如果演化变量是二维或三维的，则动态过程的吸引子可以用几何方式表示为二维或三维。
一个吸引子可以是一个点，一个有限的点集，一条曲线，一个流形，甚至是一个具有分形结构的复杂集合——我们称之为奇异吸引子strange attractor。
而吸引子的吸引域是指所有经过一定时间能够稳定在吸引子v(t)上的所有初始状态的集合。
如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
fxd3-3奇怪吸引子
1.相体积的收缩
保守系统与非保守系统
有能量损失的耗散系统的相空间在运动中逐渐减小，在t→∞时 趋向于零。因而有吸引域，并形成吸引子。 保守系统的相空间是守恒的
2 奇怪吸引子
吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状
态。这是一个动力系统在t →∞时所呈现的与时
间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值 其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始 值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。
第三节 奇怪吸引子
1.相体积的收缩 2.奇怪吸引子 3.庞加莱截面法
1.相体积的收缩
x f (x)
n
V (x0,t) xi (x0, t) i 1
xi
(பைடு நூலகம்
x0
,
t
)
[
xi
(x0 xi
,
t
)
]x0
xi
0
( xi ) t
[ xi
(
xi
( x0 t
,
t
)
)]x0
• 人们将时间上的连续运动转变为离散 的图象处理方法称为庞加莱映射。
3.庞加莱截面法
庞加莱截面与轨线运动
单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位 置穿过，截面上只留下一个点。 两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点； 四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; 无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。
右下角是庞加莱截面图，图形 不仅简单得多，而且显示出某 种结构。由庞加莱截面图可见， 转子的相轨线尽管极其复杂， 但它不是毫无规律的，而是具 有某种内在的规律性在内。
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一种不稳定的不动点，初始条件只要存在某种很小偏离，系统就象受到排 斥一样，迅速离开不稳定轨道而出现逃逸现象，称奇怪排斥子 。
2. 奇怪排斥子与康托尔点集
奇怪排斥子
存活 帐篷映射在b = 3 时，如起始点在 [1/3,2/3] 内取值时，都会向负无穷大( )逃逸；即使起始 点在区间 [1/3,2/3]外，只要经数次迭代后进入到 [1/3,2/3]内，继续迭代也会向逃逸，因此 [0,1] 内 的点只有少数可以‚存活‛。 区间 [0,1]内所有点称存活 0，经过1次迭代后不 逃逸的点为存活 1。 [对于 b = 3 的帐篷映射，[0, 1]内的点除 [1/3, 2/3] 外属于存活 1。]
1. 奇怪吸引子的维数
李雅普诺夫维数
对不同奇怪吸引子，根据图形与特征采用不同计算方法。 设二维映射的两个指数 l1＞0＞ l2。将映射用于边长为e 的N(e)个小正方 块组成的正方形。如 q 固定和 e 足够小时，映射操作为线性的。在进行 q 次 迭代后，初始的每个方块拉伸成细长平行四边形。 平行四边形平均边 长 l1e ，平均宽度 l2e 。 复盖拉伸后的平行四边 形要用(l1/l2)q 个更小的 正方形。这样操作后吸 引子上的正方形数约为：
DL k
log( l1 l2 l3 lk ) k 为最大值 log( 1 / lk 1 ) l1 l2 lk 1
1. 奇怪吸引子的维数
典型吸引子的维数
模 型 参 数 维 数
( x y ) x rx y xz 洛仑兹模型 y z bz xy
第四章 分 形
浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，
树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进。
第六节
分形与动力学
1. 奇怪吸引子的维数 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 3. 魔鬼楼梯的分形 4. 吸引域边界上的分形 5. 一维映射的分数维 6. 1/f噪声 时序中的自相似性 7．复数域上的分形
1. 奇怪吸引子的维数
2.014
m 1 .2 m 1.4
,
, ,
b 0 .3 b 0 .3
1.20 1.26 2.15
布鲁塞尔模型
A ( B 1) x x 2 y cos(t ) x Bx x 2 y y [ y h( x)] x x yz 蔡氏模型 y z y
l1 N ( lq e ) 2 l N (e ) 2
q
1. 奇怪吸引子的维数
李雅普诺夫维数
1 N (e ) e
DL
l1 N ( lq e ) 2 l N (e ) 2
q
假定
1 或 N (e ) m e
A 0 .4 B 1 . 2 , , 0.08 0.852
x 1 m1 x ( m0 m1 ) h ( x ) m 0 x x 1 m x ( m m ) x 1 0 1 1 9 m 1 7 m1 2 7 , 28 , 0 ,
2.13
2. 奇怪排斥子与康托尔点集
逃逸
平方映射
xn+1 mxn (1 xn ) 当考虑 m 值取消小于
4 的限制，则即使初始值
取 0 x0 1 ，只要经过
数次迭代，xn 将超出 [0,1] 范围，并可能成负值。
xn一旦 小于零，在继
续迭代中都将小于零，并 且走向于负的无穷大，这 种现象称逃逸。
2. 奇怪排斥子与康托尔点集
奇怪排斥子
研究由上行与下行两段斜线构成的映射：
当xn 0.5 bxn xn+1 bxn b 当xn 0.5
称帐篷映射。当 b > 2 时，可以产生逃逸。 例如：当 b = 3 时有两个不动点：
x 0 x 3 / 4
不动点斜率为 b = 3 ，超出稳定性条件 斜率 -1<m<1 要求，它们是不稳定的不动点。
埃侬吸引子
奇怪吸引子具有自相似结构。 取埃侬映射参数m＝1.4，b＝0.3，在 (x,y) 平 面上得如a图形。粗看犹似香蕉，‘香蕉’头处显出三条弯线。
对‘香蕉’头取小方块，得 b 放 大图形，可见头部不是简单一条曲 线。 再对图 b 顶部进行放大得到图 c，可 见大致分成三层曲线，顶层有三条， 中间层两条，层为单线。 进一步对图c顶层三条线局部放大， 则显示细致图形d。 通过比较可见，不论进行多少次 逐步放大，顶层每条线都给出三层 结构，局部与整体相似。
DLቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
消去两边相同的系数
1 m lqe 2
DL
l1 1 m l e 2
q
DL
1 lq 2
DL
q l1 取对数 1 l1 D log log L l l l 2 2 2
1 l1 DL q log q log l l 2 2
整理
李雅普诺夫维数
DL
log l1 log 1 / l2 ) log l1 1 log 1 / l2 ) log 1 / l2 )
推广到P 维映射
l1 l2 lp
逃逸速率 由于逃逸， [0, 1] 上的点Nn将 随迭代次数指数地减少：
N n N 0 e α n
a -逃逸速率。Nn-经过 n 次迭代没有逃逸的点。
r 40 , 16 , b 4
2.04
( y z ) x x ay 罗斯勒模型 y z b ( x c) z
埃侬模型
2 x n +1 1 mx n yn y n +1 bx n
a b 0 . 2 , c 5 .7