二次函数公式汇总
初中数学二次函数重点知识点整理
初中数学二次函数重点知识点整理
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁，0)和B(x₂，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
函数的表示方法和函数表达式的确定：
函数关系的表示方法有三种：
1..解析法：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析法.用解析法表示一个函数关系时，因变量y放在等式的左边，自变量y的代数式放在右边，其实质是用x的代数式表示y;
注意：解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不一定能用解析法表示出来.
2.列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫列表法;
注意：列表法优点是一目了然，使用方便，但其列出的对应值是有限的，而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。
3..图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法.图象法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法。
函数求值的几种形式：
(1)当函数是用函数表达式表示时，示函数的值，就是求代数式的值;
(2)当已知函数值及表达式时，赌注相应自变量的值时，其实质就是解方程;
(3)当给定函数值的取值范围，求相应的自变量的取值范围时，其
实质就是解不等式(组)。
二次函数的解的公式
二次函数的解的公式二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
解二次方程的公式也叫作“根的公式”或“求解二次方程的公式”，是根据二次函数的一般形式推导出来的。
解二次方程的公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式是从求解二次方程所需的平方根公式推导出来的。
其中，“±”符号表示两个解，即一个取正号，一个取负号。
解释解二次方程的公式：在二次方程y=ax^2+bx+c=0中，我们需要求解x的值。
首先，我们将方程移项，得到ax^2+bx=-c。
接下来，我们使用完全平方公式将二次项化为平方形式。
完全平方公式是一个很重要的数学公式，其用法如下：(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2我们将这个完全平方公式应用于ax^2+bx这一项，即设a=x，b=b/a，得到(x+b/a)^2 = x^2 + 2b/a * x + (b/a)^2、这个等式左边是二次项平方，右边是一个完全平方的形式。
我们将此等式应用于ax^2+bx=-c中的二次项，将左边展开并与等式右边进行比较。
我们有(x+b/a)^2=(x^2+2b/a*x+(b/a)^2)=x^2+2b/a*x+b^2/a^2从上面的比较可知，2b/a * x = bx，b^2/a^2 = -c。
我们将这些结果代入等式ax^2+bx=-c中：x^2 + 2b/a * x + b^2/a^2 = x^2 + bx = x^2 + 2b/a * x +(b^2/a^2) = -c我们继续进行化简，得到：x^2+2b/a*x+b^2/a^2+c=0或者：(x+b/a)^2=c/a^2接下来，我们对方程两边取平方根：x+b/a=±√(c/a^2)再将方程移项，得到：x=-b/a±√(c/a^2)为了进一步化简，我们可以将右边的平方根进行化简，得到：x=-b/a±√(c)/√(a^2)=-b/a±√(c)/a再进行化简，将公共因子提出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这样，我们就得到了解二次方程的公式。
初中二次函数所有公式汇总
初中二次函数所有公式汇总
在初中数学中，学习二次函数是一个重要的内容，掌握二次函数的相关公式对于解题非常关键。
二次函数的一般形式可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
下面是初中二次函数所有公式的汇总：
1. 顶点坐标公式
顶点纵坐标：y=二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得到：顶点横坐标：x=−b
2a
−Δ
（其中Δ=b2−4ac）
4a
2. 判别式公式
二次函数的判别式Δ=b2−4ac可用来判断二次函数的图象与x轴相交的情况： - 当Δ>0时，图象与x轴有两个交点，函数有两个不相等的实根； - 当Δ=0时，图象与x轴只有一个交点，函数有两个相等的实根； - 当Δ<0时，图象与x轴没有交点，函数没有实根。
3. 对称轴公式
二次函数的对称轴是一个重要概念，它可以通过顶点坐标来得到：对称轴方程：x=−b
2a
4. 零点公式
二次函数的零点即为函数与x轴相交的点，可通过求解二次方程得到：零点公式：
x=−b±√Δ
（其中Δ=b2−4ac）
2a
5. 切线斜率公式
二次函数的切线斜率为一次导数，斜率公式为：切线斜率：k=2a⋅x+b
总结
以上是初中二次函数所有公式的汇总，这些公式是解题过程中的关键工具。
通过掌握这些公式，我们能更好地理解和分析二次函数的特性，解决相关的数学问题。
希望这些内容能帮助大家更好地学习和运用二次函数的知识。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总文章中存在的格式错误已被删除，以下是改写后的文章：求解二次函数的顶点、对称轴、解析式和与x轴的交点等问题，是二次函数的基本内容。
下面将对这些问题进行讲解。
1.求解抛物线的顶点和对称轴：抛物线的顶点是（h，k），对称轴是直线x=h。
其中，对称轴在y轴左侧。
2.用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k和交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
这三种形式可以互相转化。
但只有当抛物线与x轴有交点时，解析式才可以用交点式表示。
3.求解二次函数的解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c；已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k；已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
4.求解抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则AB的长度为| x1-x2 |=| (x1+x2)/2 |。
5.求解点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]。
6.求解直线的斜率：直线的斜率为k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)。
7.求解点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离：点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离为d=|ax0+by0+c|/√(a2+b2)。
8.平移口诀：对于二次函数的平移，上加下减，左加右减。
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。
其中，关于x轴对称的解析式为y=-ax2-bx-c或y=-a(x-h)2-k，关于y轴对称的解析式为y=ax2-bx+c或y=a(x+h)2-k，关于原点对称的解析式为y=ax2+bx或y=a(x-h)2.当抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称时，解析式变为y=ax2-bx+c。
二次函数的解的公式
二次函数的解的公式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
解二次函数的关键就是求出它的根，即满足方程y=ax^2+bx+c=0的x 值。
解二次函数的公式又称为求根公式，它的一般形式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)这个公式被称为二次函数的解的公式，其中±表示两种可能的根。
配方法的基本思想是将二次函数写成一个完全平方的形式，即将x^2项与x项的系数配对，使它们相加或相减时得到一个平方。
如果可以将二次函数写成完全平方的形式，我们就可以很容易地求得它的根。
首先，将二次函数y=ax^2+bx+c=0进行配方，我们需要找到一个数k，使得：ax^2+bx+c=a(x^2+((b/a)x+c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b^2/4a^2)+c/a)接下来，我们可以将这个完全平方形式化简为：a((x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a^2)现在，我们看到在这个完全平方中，有一个常数项(4ac-b^2)/4a2 ，它会影响到平方的结果。
如果这个常数项为0，则可以很容易地将这个二次函数写成完全平方的形式。
但是，在一般情况下，这个常数项不为0，所以我们需要进行后续的推导。
现在，我们希望要求出的根就是在完全平方形式中的平方项消失时的x值。
所以有：(x+(b/2a))^2=-(4ac-b^2)/4a^2现在我们对上式两侧开方，得到：x+(b/2a)=±√(-(4ac-b^2))/2a接下来，我们将b/2a移项，并整理得到最终的解的公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)这就是解二次函数的公式。
通过这个公式，我们可以很方便地计算二次函数的根。
在实际问题中，我们可以利用这个公式来解决一系列与二次函数相关的问题，比如求极值、求范围等。
同时，我们也可以通过解的公式来判断二次函数的根的情况，例如当b^2-4ac>0时，二次函数有两个不同的实根；当b^2-4ac=0时，二次函数有一个重根；当b^2-4ac<0时，二次函数没有实根。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总二次函数是高中数学中的重要章节，它涉及到函数、方程、图像等多个概念。
本文将从二次函数公式的定义、性质、图像和应用等方面进行详细介绍。
一、二次函数公式的定义二次函数是指由一元二次方程所表示的函数。
一元二次方程的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、二次函数公式的性质1.首先，二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。
3.二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即对称轴上的点。
4.二次函数的值域依赖于抛物线的开口方向。
当a>0时，值域为(-∞,f(-b/2a)]；当a<0时，值域为[f(-b/2a),+∞)。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一个平面上的曲线，也就是抛物线。
根据二次函数的性质，我们可以通过以下步骤来画出二次函数的图像：1.确定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.找出对称轴的方程x=-b/2a，并绘制出对称轴。
3.找出顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))，并绘制出顶点。
4.求出两个非顶点的点，可以选择求解方程f(x)=0，或者求出x=-b/2a的两侧点，然后根据二次函数的性质绘制出这两个点。
5.通过连接各点，得到完整的二次函数图像。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.抛物线轨道模型：比如炮弹抛射、物体抛掷等问题，可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
2.行程时间模型：比如汽车行驶、火车行驶等问题，可以通过二次函数来描述行驶的距离与时间的关系。
3.成本收益模型：比如生产成本、销售收益等问题，可以通过二次函数来描述成本与收益的关系，从而找到最大利润或最小成本的情况。
二次函数的三种公式
二次函数的三种公式
对于二次函数的图像来说：
1、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a\ue0时，开口向上，当a
2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a\ue0，当x≤-b/2a时，y随x的减小而增大；当x≥-b/2a时，y随x的减小而减小．若a
知道了二次函数的顶点坐标公式，在考试中，关于二次函数的相关考点主要有这些：
1. 可以根据解析式算出二次函数的顶点座标
2. 用描点法画出二次函数的图象．
3. 能够利用图象或分体式方法确认抛物线的开口方向及对称轴、顶点的边线．
4. 会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
二次函数科学知识很难与其它科学知识综合应用领域，而构成较为繁杂的综合题目。
因此，以二次函数科学知识居多的综合性题目就是中考的热点考题，往往以大题形式发生，必须通过多练不断更加娴熟高效率地解题。
数学二次函数公式
数学二次函数公式二次函数是数学中的一种重要函数类型，它的形式可以表示为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$是实数，且$a\neq 0$。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
它具有以下几个重要的特征：1. 判别式：$D = b^2 - 4ac$，判别式决定了二次函数的图像与$x$轴的交点的情况。
如果$D>0$，则函数有两个不同的实根，图像与$x$轴有两个交点; 如果$D=0$，则函数有一个重根，图像与$x$轴有一个交点; 如果$D<0$，则函数没有实根，图像与$x$轴没有交点。
2.最值点：如果$a>0$，则函数的图像开口向上，最值点是抛物线的最低点;如果$a<0$，则函数的图像开口向下，最值点是抛物线的最高点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是$x=-\frac{b}{2a}$。
对称轴将抛物线分为两部分，两部分关于对称轴对称。
4. 零点：二次函数的零点是函数与$x$轴的交点，可以通过解二次方程$ax^2+bx+c=0$求得。
如果判别式$D>0$，则有两个不同的实根; 如果$D=0$，则有一个实根; 如果$D<0$，则没有实根。
5.增减性：二次函数在对称轴两侧的增减性不同。
当$a>0$时，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当$a<0$时，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
接下来，我们将详细讨论二次函数的各个特征。
首先，我们来研究二次函数的零点。
对于一般的二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以使用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$这里的$\pm$代表取加号或减号，即可以求得两个不同的实根。
当$b^2-4ac>0$时，判别式为正，方程有两个不同的实根。
当$b^2-4ac=0$时，判别式为零，方程有一个重根。
当$b^2-4ac<0$时，判别式为负，方程没有实根。
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2.抛物线c bx ax y ++=2中，b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a
b
x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴
左侧；③
0<a
b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（同左异右） 3.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x 轴有交点，即2
40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.
4.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121
5.点A 坐标为（x1，y1）点B 坐标为（x2，y2）则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-
6.直线斜率：
1
212tan x x y y k --=
=α
7.对于点P （x0，y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有
2
200a b a c by x d +++=
8.平移口诀：上加下减，左加右减
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，对称
()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．。