充分条件必要条件的判断与证明

引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
(三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必 要条件.
②从集合角度看
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q} 1）若A B且B A，则称p是q的充分不必要条件
2）若A B且B A，则称p是q的必要不充分条件
1)
B
A
2) A
B
3）若 A且B，B则A称p是q的既不充分也不必要条件 4）若A B且B A，既A=B，则称p是q的充要条件
1．定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是 判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给条 件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可 判断．
2．集合法：对命题的条件和结论间的关系进行 判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑. 小充分，大必要。
3．转换法：当所给命题的充要条件不易判定时， 可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进 行判断．
+ 3．转换法：当所给命题的充要条件不易判定时， 可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进 行判断．
A. x 1
B. x －6
D.x 0或x 0
C.x 1或x －6
下列各题中，p是q的什么条件？
1.p : A
x | log1(x
2
3) 0,q : B
x | x 2
5 6
x
1 6
0
Байду номын сангаас2.p : A
x | log1(x
2
3)
0,q : B
x
|
x2
5 6
x
1 6
0
3.p : ax 2 ax 1 0的解集是R；q : 0 a 4.
(1)若p是q的必要不充分条件，求实数a的
取值范围。
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的
取值范围。
题型三：充要条件的证明
例3.求证：关于x的方程mx 2 2x 3 0只有一个
实数根的充要条件是m
0或m
1. 3
方法归纳：1.要分清哪个是条件，哪个是结论， 谁是谁的什么条件； 2.由条件=>结论是证明命题的充分性，由结论=> 条件是证明命题的必要性。 3.千万不能把充分性、必要性弄反。
2．x>2的一个必要而不充分条件是____x_>__1______。
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的充__分__而__不__必__要___ 条件。
4．“cos 3”是“ 2k 5 , k Z”的必__要__而__不__充__分_
第一章 常用逻辑用语
1.2.2 充要条件
知识与技能：正确理解充要条件的定义，能 够正确判断充要条件及充分不必要条件、必 要不充分条件、既不充分也不必要条件；
过程与方法：通过学习与探究，明白对条件 的判定应该归结为对命题真假的判定；
情感态度与价值观：在观察思考及解题判断 中，培养思维能力的严密性品质，培养严谨 的学习态度。
条件。
2
6
5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的__充__分___条件， r是t的___充__要___条件。
习题1.2
4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件。
2.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是 a2+b2+c2=ab+ac+bc， 这里a,b,c是△ABC的三条边。
课堂小结
1、充分条件、必要条件的判断； 2、充分条件、必要条件的证明。
+ 1．定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是 判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给条 件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可 判断．
+ 2．集合法：对命题的条件和结论间的关系进行 判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑. 小充分，大必要。
4.对于实数x ,y ,p : x y 8,q : x 2或y 6.
5.在ABC中，p : sin A sin B ,q : tan A tan B .
6.p
: f(x ) f(x )
1,q
:y
f(x )是偶函数。
题型二：充分条件、必要条件的应用
例2：设p : A x | 2x 2 3x 1 0 , q : B x | x 2 2a 1x aa 1 0 ,
题型一：充分条件与必要条件的判定
例1：
1. 若p : x 2 y 2,q : x y或x y ,则q是p的
什么条件.
2. 若x ,y R ,p : (x 3)2 (y 4)2 0, q : (x 3)(y 4) 0,则p是q的什么条件.
3.不等式2x＋5 7成立的一个必要不充分条件是（）
例4： 已 知 ：⊙ O的 半 径 为r， 圆 心O到 直 线l的 距 离 为d。 求 证 ：d r是 直 线l与 ⊙ O相 切 的 充 要 条 件 。
O
PQ
补充练习
1．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 “a∈N”的__必__要__而__不__充__分________条件。
A
B
3)
A =B 4)
一般地，在讨论p是ｑ的什么条件时， 就是指以下四种之一，尝试填空：
1、若 p q，且q p，则p是q的充要条件；
2、若 p q，但 q p ，则p是q的充分不必
要条件；
3、若 q p ，但 p q ，则p是q的必要不充
分条件；
4、若p q，且 q p ，
则p是q的 既不充分也不必要 条件。