带电粒子在磁场中运动最小面积问题.docx
(完整版)高考物理带电粒子在磁场中的运动解析归纳
难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：R v mqvB 2=②轨道半径公式：qBmvR =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m有关，与v 、R 无关。
（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。
1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。
确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系（T 2t T 360t πα=α=或）作为辅助。
圆心的确定，通常有以下两种方法。
① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P 为入射点，M 为出射点）。
(word完整版)带电粒子在磁场中运动—经典例题
1专题 带电粒子在磁场中运动【达标指要】1．掌握洛仑兹力的大小和方向的确定,带电粒子在匀强磁场中圆周运动及其规律 2．掌握带电粒子在有界匀强磁场强度中的运动特点【名题精析】例1．如图11—3—1所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60T ，磁场内有一块平行感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16cm 处，有一个点状的α粒子发射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3。
0×106m/s ．已知α粒子的电量与质量之比q/m＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域长度．分析与解：洛伦兹力是α粒子作圆运动的向心力；计算出圆半径后，确定圆心的位置就成为解题的关键，α粒子轨迹与ab相切，以及α粒子离S 最远的距离为2r 是判定最远点的条件．如图11—3-2．α粒子带正电，用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用r 表示轨道半径,有Bqv ＝m r v 2，解得67310m 0.10m 5.0100.6()v r q Bm⨯===⨯⨯，可见2r >l 〉r ． 因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切,则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点，为定出P 1的位置,可作平行与ab 的直线cd ,cd 到ab 的距离为r ＝0。
10m ．以S 为圆心,r 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1．由图中几何关系得：221)(r l r NP --=． 再考虑N 的右侧,任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2r ,以2r 为半径，S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，P 2即为α粒子在右侧能达到的最远点．由几何关系得：2224l r NP -=．所求长度为：P 1P 2=NP 1+NP 2=0。
最新高考回归复习—电磁学之带电粒子在磁场中运动求磁场面积模型 (含答案)
1 / 25高考回归复习—电磁场之带电粒子在磁场中运动求磁场面积问题模型1．如图，xoy 为平面直角坐标系，y>0的区域内有一个底边与x 轴重合的等腰直角三角形，在该等腰直角三角形区域内存在着垂直于坐标平面向里的匀强磁场，y<0的区域内存在着沿y 轴正方向的匀强电场。
一质量为m 、电荷量为+q(q >0)的带电粒子(不计重力)从电场中P(0，-h)点以速度0v 沿x 轴正方向运动，由Q(2h ，0)点进入磁场，经磁场偏转后再次射人电场，恰能以同样的速度0v 通过P 点并重复上述运动。
求：(1)电场强度的大小;(2)磁感应强度的大小;(3)粒子连续两次通过P 点的时间间隔;(4)等腰三角形磁场区域的最小面积。
2．在如图所示的平面直角坐标系中存在一个半径R ＝0.2 m 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B ＝1.0 T ，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O 相切．y 轴右侧存在电场强度大小为E ＝1.0×104N/C 的匀强电场，方向沿y 轴正方向，电场区域宽度L ＝0.1 m ．现从坐标为(－0.2 m ，－0.2 m)的P 点发射出质量m ＝2.0×10－9kg 、带电荷量q ＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．3．电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础。
如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处。
带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦和磁扩散)
θR O/
OM
x
图 (b)
(3)带电微粒在y轴右方(X> O)的区域离开磁场并做 匀速直线运动．靠近上端发射出来的带电微粒在穿出 磁场后会射向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射 出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以， 这束带电微粒与X轴相交的区域范围是X> 0．
装带 置点
微 粒 发 射
Pv Cr
(2)这束带电微粒都通过坐标原点。 如图（b)所示，从任一点P水平进入磁场的 带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，圆 心位于其正下方的Q点，设微粒从M 点离开磁 场．可证明四边形PO’ MQ是菱形，则M 点就是坐 标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点0．
y
v AC
R O/
O
x
图 (a)
y
Pv R
y
D
C
v0
O
x
A
B
S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区
域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感
应强度的大小与方向。
y
（2）请指出这束带电微粒与x轴相 带
交的区域，并说明理由。
点 微
粒
（3）在这束带电磁微粒初速度变为
发 射
角平分线找圆心和最小面积问题
O1
60°
E
h
v
30°x
解：(1) 反向延长vb交y 轴于O2 点，作∠bO2 O的角平分线
交x 轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1
=mv/qB，画出圆形轨迹交b O2于A点，如图虚线所示。
最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示： 3 m2v2 3 mv 2 Smin = r = OA = 2r = 4q2B2 qB (2) b到C 受电场力作用，做类平抛运动 qE 2 1 h cos 30º = · t m 2 得t=2mv/qE· tan 30º hsin 30º =vt
角平分线圆心 巧解磁场中最小面积问题
祁阳县第一中学
练、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形
区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开 始运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P
点，此时速度方向与y轴的夹角为30º ，P到O的距离为L。
不计重力。求磁感强度B和磁场区域的半径R。 y 解析： 基本思路： 1）定圆心画轨迹；
y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁
场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿
过x轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为30º ，同时进入场 强为 E、方向沿与与 x 轴负方向成60º 角斜向下的匀强电
场中，通过了 b点正下方的 C点。不计重力，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）C点到 b点的距离 h。
解 ：质点在磁场中圆周运动半径为
r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是 1/4 圆周，如图中M、N两点间的圆弧。
y
a
v0 M r 2R O
专项练习--磁场地最小面积求解
25题练习〔3〕--磁场的最小面积1.如以下图,第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1,E 的大小为1.5×103 V/m,B 1大小为0.5 T ；第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面的匀强磁场,磁场的下边界与x 轴重合.一质量m ＝1×10－14 kg,电荷量q ＝2×10－10 C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点射入,沿直线运动,经P 点后即进入处于第一象限内的磁场B 2区域.一段时间后,微粒经过y 轴上的N点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出.M 点的坐标为<0,－10>,N点的坐标为<0,30>,不计微粒重力,g 取10 m/s 2.如此求：<1>微粒运动速度v 的大小；<2>匀强磁场B 2的大小；<3>B 2磁场区域的最小面积.解析：<1>带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动,qE ＝qvB 1,解得v ＝E/B 1＝3×103 m/s.<2>画出微粒的运动轨迹如图,粒子做圆周运动的半径为R ＝错误! m.由qvB 2＝mv 2/R,解得B 2＝3错误!/4 T.<3>由图可知,磁场B 2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD 内,由几何关系易得PD ＝2Rsin 60°＝20 cm ＝0.2 m,PA ＝R<1－cos60°>＝错误!/30 m.所以,所求磁场的最小面积为S ＝PD ·PA ＝错误! m 2.答案：<1>3×103 m/s <2>错误! T<3>错误! m 22．如图甲所示,x 轴正方向水平向右,y 轴正方向竖直向上.在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场,在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场.在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有一样质量m 、电荷量q 〔0>q 〕和初速为0v 的带电粒子.重力加速度大小为g.〔1〕当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时,带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场,并继续沿x 轴正方向运动.求电场强度和磁场强度的大小和方向.〔2〕调节坐标原点0处的带电微粒发射装置,使其在xoy 平面内不断地以一样的速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限,如图乙所示.现要求带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动,如此在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下,应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积.解〔1〕由题目中"带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后,最终沿圆形磁场区 域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动〞可知,带电微粒所受重力与电场力平衡.设电场强度大小为E,由平衡条件得：qE mg =1分 N ∴q mg E =1分 电场方向沿y 轴正方向 带电微粒进入磁场后,做匀速圆周运动,且圆运动半径r=R.设匀强磁场的磁感应强度大小为B.由牛顿第二定律得：R mv B qv 200=1分 ∴qR mv B 0=1分 磁场方向垂直于纸面向外1分〔2〕设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ, 如此θ满足0≤2πθ<,由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动,故B 应垂直于xoy 平面向外,带电微粒在磁场内做半径为qBmv R 0=匀速圆周运动. 由于带电微粒的入射方向不同,假如磁场充满纸面,它们所对应的运动的轨迹如以下图.2分为使带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动.由图可知,它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场.这样磁场边界上P 点的坐标P 〔x,y 〕应满足方程：θsin R x =,)cos 1(θ-=R y ,所以磁场边界的方程为：222)(R R y x =-+2分由题中0≤2πθ<的条件可知, 以2πθ→的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹即为所求磁场的另一侧的边界.2分因此,符合题目要求的最小磁场的X 围应是圆222)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的交集局部〔图影局部〕.1分由几何关系,可以求得符合条件的磁场的最小面积为：22202min )12(B q v m S -=π1分 3.如以下图,在平面直角坐标系xOy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域〔图中未画出〕；在第二象限内存在沿x 轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x 轴上的A 点,A 点坐标为〔-L,0〕．粒子源沿y 轴正方向释放出速度大小为v 的电子,电子恰好能通过y 轴上的C 点,C 点坐标为〔0,2L 〕,电子经过磁场偏转后方向恰好垂直ON,ON 是与x 轴正方向成15°角的射线．〔电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．〕求：〔1〕第二象限内电场强度E 的大小．〔2〕电子离开电场时的速度方向与y 轴正方向的夹角θ．〔3〕圆形磁场的最小半径R min ．解：〔1〕22mv EeL〔2〕=45°〔3〕电子的运动轨迹如图,电子在磁场中做匀速圆周运动的半径电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出,如此磁场最小半径：由以上两式可得：4.〔某某适应性测试>在如右图所示的平面直角坐标系中,存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域,磁感应强度B＝1.0T,方向垂直纸面向外,该磁场区域的右边缘与坐标原点O 相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场,方向沿y轴正方向,电场区域宽度l＝0.1m．现从坐标为<－0.2m,－0.2m>的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子,沿y轴正方向射入匀强磁场,速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．<1>求该带电粒子射出电场时的位置坐标；<2>为了使该带电粒子能从坐标为<0.1m,－0.05m>的点回到电场后,可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场,试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．解析：<1>带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B＝m错误!解得r＝0.20m＝R根据几何关系可知,带电粒子恰从O点沿x轴进入电场,带电粒子做类平抛运动．设粒子到达电场边缘时,竖直方向的位移为y,有l＝v0t,y＝错误!·错误!t2联立解得y＝0.05m所以粒子射出电场时的位置坐标为<0.1m,0.05m>．<2>粒子飞离电场时,沿电场方向速度v y＝at＝5.0×103m/s＝v0粒子射出电场时速度v＝错误!v0由几何关系可知,粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径r′＝0.05错误!m由qvB′＝m错误!,解得B′＝4T正方形区域最小面积S＝<2r′>2解得S＝0.02m2.答案：<1><0.1m,0.05m> <2>0.02m25.如以下图,在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场,电场强度E＝1.0×103 V/m,方向未知,磁感应强度B＝1.0 T,方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′<图中未画出>．一质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝1×10－10 C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限,在第一象限内做直线运动,而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后,粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．A点坐标为<10,0>,C点坐标为<－30,0>,不计粒子重力．<1>判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v.<2>画出粒子在第二象限的运动轨迹,并求出磁感应强度B′.<3>求第二象限磁场B′区域的最小面积．解析<1>粒子在第一象限内做直线运动,速度的变化会引起洛伦兹力的变化,所以粒子必做匀速直线运动．这样,电场力和洛伦兹力大小相等,方向相反,电场E的方向与微粒运动的方向垂直,即与x轴正向成30°角斜向右上方．由平衡条件有Eq＝Bqv得v＝错误!＝错误! m/s＝103 m/s<2>粒子从B点进入第二象限的磁场B′中,轨迹如图粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系可知R＝错误! cm＝错误! cm由qvB′＝m错误!,解得B′＝错误!＝错误!,代入数据解得B′＝错误! T.<3>由图可知,B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点,磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm,即磁场圆的最小半径r＝10 cm,所以,所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×10－2 m2答案<1>与x轴正向成30°角斜向右上方103 m/s <2>运动轨迹见解析图错误! T <3>3.14×10－2 m26．如图甲所示,在xOy平面内有足够大的匀强电场,电场方向竖直向上,电场强度E＝40 N/C,在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场,磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示,15π s后磁场消失,选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场,分布在一个半径为r＝0.3 m的圆形区域<图中未画出>,且圆的左侧与y轴相切,磁感应强度B2＝0.8 T．t＝0时刻,一质量m＝8×10－4 kg、电荷量q＝2×10－4 C的微粒从x轴上x P＝－0.8 m处的P点以速度v＝0.12 m/s向x轴正方向入射．<g取10 m/s2,计算结果保存两位有效数字><1>求微粒在第二象限运动过程中离y轴、x轴的最大距离．<2>假如微粒穿过y轴右侧圆形磁场时,速度方向的偏转角度最大,求此圆形磁场的圆心坐标<xy>．解析<1>因为微粒射入电磁场后受到的电场力F＝Eq＝8×10－3 N,G＝mg＝8×10－3 N电F＝G,所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动电因为qvB1＝m错误!所以R1＝错误!＝0.6 mT＝错误!＝10π s从图乙可知在0～5 π s内微粒向左做匀速圆周运动在5π s～10π s内微粒向左匀速运动,运动位移x＝v错误!＝0.6π m1在10π s～15π s内,微粒又做匀速圆周运动,15π s以后向右匀速运动,之后穿过y轴．所以,离y轴的最大距离s＝0.8 m＋x＋R1＝1.4 m＋0.6π m≈3.3 m1离x轴的最大距离s′＝2R1×2＝4R1＝2.4 m<2>如图,微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大,〔因为R=2r〕入射点A与出射点B的连线必须为磁场圆的直径因为qvB2＝错误!所以R2＝错误!＝0.6 m＝2r所以最大偏转角θ＝60°所以圆心坐标x＝0.30 my＝s′－r cos 60°＝2.4 m－0.3 m×错误!≈2.3 m,即磁场的圆心坐标为<0.30,2.3>答案<1>3.3 m,2.4 m <2><0.30,2.3>7.如以下图,虚线MO与水平线PQ相较于O点,二者夹角θ=300,在MO右侧某个区域存在着磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,在MO左侧存在着垂直纸面向里的另一匀强磁场,磁感应强度为B’.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v〔0≤v≤EB〕垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时,速度方向均平行于PQ向左,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：〔1〕磁场区域的最小面积．〔2〕速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．。
确定磁场最小面积的方法(无答案)
求磁场区域最小面积的三类问题难点：磁场的区域未知，带电粒子运动轨迹只是部分圆弧，在运动过程中的临界点（如轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
求磁场区域最小面积问题中关于带电粒子运动的速度大小和方向变化的三类问题：类型一：速度大小和方向都不变这类问题，先根据题意确定好运动轨迹，再由几何知识找到矩形磁场面积最小时的边界点和轨迹的相切点，问题就迎刃而解了。
类型二：速度大小改变、方向不变这类问题，磁场的边界主要是根据粒子运动方向的限制，分析各个粒子的运动轨迹特点而找到。
这部分相对来说有一定的分析难度。
类型三：速度大小不变、方向改变。
这类问题，难点在于磁场区域边界的确定，其中一个边界根据物理规律可以分析找到，另一个边界则要结合数学方法即参数法可以找到。
这种类型对综合分析问题的能力要求较高。
总的来说，解决这三种类型问题的关键是，依据题意根据物理规律分析带电粒子的运动情形，适当地结合数学方法，认真加以分析，找到问题的突破口，那么关于求磁场区域最小面积的问题都可以得到解决。
确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。
近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。
一、几何法，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。
图1二、参数方法例2. 在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同沿不同方向射入第一象限，如图3所示。
现加一个垂直于xOy平面向里，磁感应的速率v强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。
2放缩圆,收缩圆带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（25C ），并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定．．．顺序．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
类型 已知参量类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦入射方向、出射方向类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向① ② ③ ④ ⑧ ⑨⑤⑥⑦⑩【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。
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带电粒子在磁场中运动最小面积问题例 1.在 xOy 平面有许多电子（质量为m, 电荷量为e） ,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限 ,如图所示 .现加上一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度为 B 的匀强磁场 ,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于 x 轴向运动 ,试求出符合条件的磁场最小面积 .例 2 ．一质量为m 、带电荷量为q 的粒子以速度v0 从 O 点沿 y 轴向射入磁感应强度为 B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过 x 轴，速度方向与x 轴向夹角30°，如图所示 (粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间．(3)b 点的坐标．例 3 ．一个质量为 m，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。
为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点图示 (CM ＝ CN)垂直于 AC 边飞出三角形 ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期 T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t ；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1． (09 年高考 )如图甲所示， ABCD 是边长为 a 的形．质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入形区域．在形适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（ 09 年卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m的 P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，磁感应强度大小 B=2.0 ×10-3现将一带正电荷的粒子以v=3.5 ×104m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为 q,不记其重力。
（ 1）求上述粒子的比荷q/m（ 2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限的磁场可以局限在一个矩形区域，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
3、（ 1994 年全国高考试题）如图 12 所示，一带电质点，质量为m ，电量为 q ，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求这圆形磁场区域的最小半径。
重力忽略不计。
4.[2010 · 模拟 ] 如图甲所示，水平放置的平行金属板A 和B 间的距离为 d ，板长 L ＝ 2 3d ， B 板的右侧边缘恰好是倾斜挡板 NM 上的一个小孔 K ， NM 与水平挡板 NP 成 60°角， K 与 N 间的距离 K N ＝ a.现有质量为 m 、带正电且电荷量为 q 的粒子组成的粒子束，从 AB 的中点 O 以平行于金属板方向OO ′的速度 v 0不断射入，不计粒子所受的重力．(1) 若在 A 、 B 板上加一恒定电压 U ＝ U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K ，求 U 0 的大小．2L (2) 若在 A 、B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A 板比B 板的电势高，其中T ＝v 0 ，且粒子只在 T K 的粒子在何时从 O 点射入？0～ 时间入射，则能打到小孔2 (3)在 NM 和 NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场， 使满足条件 (2)从小孔 K 飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP 上 (之前与挡板没有碰撞 )，求该磁场的磁感应强度的最小值．5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁 感应强度为 B 的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域 )，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场，电场强度大小为E ，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为 m ，电荷量为 q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝ 60°角．试回答：(1) 粒子带什么电？(2) 带电粒子在磁场中运动时速度多大？(3) 该最小的圆形磁场区域的面积为多大？参考答案例 1.在 xOy 平面有许多电子（质量为 m, 电荷量为 e ） ,从坐标原点 O 不断以相同大小的速度v 0 沿不同的方向射入第一象限 ,如图所示 .现加上一个垂直于xOy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场 ,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x 轴向运动 ,试求出符合条件的磁场最小面积 .解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R ＝ mv /Be 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O 1，它就是磁场的上边界。
其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心，以 R 为半径的圆弧 O O O 。
由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出12 n磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。
如对图中任一轨迹圆 O 2 而言，要使电 子能平行于 x 轴向右飞出磁场，过 O 2 作弦的垂线 O 2A ，则电子必将从点 A 飞出，相当于将此轨迹的圆心O 2 沿 y 方向平移了半径 R 即为此电子的出场位置。
由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O 1O 2O n 沿 y 方 向向上平移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧 OAP 示。
综上所述，要求的磁场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围。
利用形 OO 1PC 的面积减去扇形2 OO 1P 的面积即为 OBPC 的面积；即 R - π22 2）＝（π2R /4 。
根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S ＝ 2（ R - πR /4 /2 -1 ）（ mv 0/Be ） 。
例 2. 一质量为 m 、带电荷量为 q 的粒子以速度 v0 从 O 点沿 y 轴向射入磁感应强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过 x 轴，速度方向与x 轴向夹角 30°，如图所示 (粒子重力忽略不计 )．试求： (1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间．(3)b 点的坐标．mv 0解析： (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 R ＝ qB由图可知 ∠aO ′ b ＝ 60° 磁场区域最小半径3mv 0r＝ Rcos 30°＝2qB22磁场区域最小面积23π m v022S＝π r ＝4q B .12π m(2)由 O 到 a 过程所经历的时间 t ＝3Bq由几何关系得 ab＝ 3R＝3mv 0 Bq粒子由 a 到 b 所经历的时间ab3m 2＝v0Bq∴粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间m 2t ＝t 1＋ t2＝ ( π＋ 3)．Bq 3R(3)因为 sin 30°＝O′b，3mv 0∴ O′ b＝ 2R 得 Ob ＝ 3R＝Bq3mv 0故 b 点的坐标为 (qB， 0)．例 3 、一个质量为m，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。
为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点图示 (CM ＝ CN)垂直于 AC 边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期 T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t ；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．如图甲所示，ABCD 是边长为a 的形．质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于 BC 边射入形区域．在形适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场．不计重力，求：甲(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．mv0π － 2 2【答案】 (1) ea方向垂直纸面向外(2)2a2．（ 09 年卷） 22.(20 分 )图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域有垂直于纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度大小 B=2.0 ×10 -3 T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m 的 P 处为离子的入射口， 在 Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以4y 轴上距坐标原点 v=3.5 ×10 m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在 L=0.50m 的 M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为 m,电量为 q,不记其重力。
q（ 1）求上述粒子的比荷m；（ 2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻， 在第一象限再加一个匀强电场，就可以使其沿 y 轴向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（ 3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限的磁场可以局限在一个矩形区域，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
q答案（ 1） m =4.9 ×107C/kg （或 5.0×107C/kg ）；（ 2）t7.9 10 6 s ； （ 3） S 0.25m 2解析：第（ 1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。
第（ 2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3 ）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。
（ 1）设粒子在磁场中的运动半径为 r 。
如图甲，依题意 M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得2Lr2①由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得qvB mv 2r②qm =4.9 ×107 C/kg （或 5.0×107 C/kg ）③（ 2）设所加电场的场强大小为 E 。