高考理科数学复习题解析 充分条件与必要条件
高考数学复习第二节充分条件与必要条件[考纲传真] 1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件，必要条件的意义、理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)q 不是p 的必要条件时，“p q ”成立． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a ＝3时，A ＝{1,3}，显然A ⊆B . 但A ⊆B 时，a ＝2或3.∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B [x ＜3－1＜x ＜3，但－1＜x ＜3⇒x ＜3，因此p 是q 的必要不充分条件，故选B.]5．已知A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件，“x ∈B ”是“x ∈A ”的________条件．[答案] 充分 必要充分条件、必要条件的判断【例1】 ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“m ∉M ”是“m ∉N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A [(1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m ∈N ”是“m ∈M ”的什么条件．由NM知，“m ∈N ”是“m ∈M ”的充分不必要条件，从而“m ∉M ”是“m ∉N ”的充分不必要条件，故选A.][规律方法] 充分条件和必要条件的两种判断方法 1定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p 是什么，结论q 是什么； ②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ； ③确定条件p 和结论q 的关系.2集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ，而p 不能推出q ”.(1)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)D [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立， 由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立． 因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件，故选A.(2)∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.]充分条件、必要条件的探求及证明【例2】( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥αC [对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.] (2)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[证明] 法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －xxy＜0.因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0. 所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy＜0.由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －xxy＜0⇔xy ＞0. 所以1x ＜1y⇔xy ＞0，即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[规律方法] 充要条件的证明1证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)＜0得0＜x ＜2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)＜0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1. 由p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3.故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.] [规律方法] 利用充要条件求参数的关注点1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.2端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.围是( )A．[－1,1] B．[－1,0]C．[1,2] D．[－1,2](2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.(1)A(2)3或4[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝4±16－4n2＝2±4－n.又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]。
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设，则“”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】若，①，则，即成立；②，则显然成立；③，则，即，∴成立；若，①，，则；②，，则显然成立；③，，则，故综上所述，“”是“”的充要条件.【考点】1.不等式的性质；2.充分必要条件.2.在△中，“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故；当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C．【考点】充要条件．3.已知a∈R,且a≠0,则是“a>1”的( ).A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由或.所以是“a>1”的必要不充分条件.故选B【考点】1.分式不等式的解法.2.充要条件.4.“”是“函数(且)在区间上存在零点”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】令，得，若，则，所以充分性成立；若函数在区间上存在零点时，则有，显然存在，且由不能得出，所以必要性不成立.故正确答案为A.【考点】1.充分条件；必要条件；充要条件；2.函数零点.5.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，有，但当时，，故选A.【考点】充分与必要条件.6.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，选A.7.已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．8.设a,b∈R,则“a>1且0<b<1”是“a-b>0且>1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然a>1且0<b<1⇒a-b>0且>1;反之,a-b>0且>1⇒a>b且>0⇒a>b且b>0,推不出a>1且0<b<1.故“a>1且0<b<1”是“a-b>0且>1”的充分而不必要条件.9.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】命题①在c=0时不正确,即“a=b”只是“ac=bc”的充分而不必要条件;注意到无理数的概念与实数的加法运算,可知命题②是真命题;命题③在a,b至少有一个是负数时不一定正确,命题③为假命题;由不等式的性质,若a<3,必有a<5,命题④是真命题.综上所述,命题②④是真命题,选B.10.设，，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】即又，,，即成立,相反，代入特殊值，当时，满足,但不成立.所以是充分不必要条件,故选A.【考点】充分必要条件的判定11.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.12.己知实数满足,则“成立”是“成立”的（）.A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．既非充分又非必要条件．【答案】C【解析】这是考查不等式的性质，由于，因此不等式两边同乘以可得，即，同样在不等式两边同除以可得，即，因此应该选C．当然也可这样分析：说明同正同负，由于函数在和两个区间上都是减函数，因此“”与“”是等价的，即本题选C．【考点】不等式的性质，13.记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为则“t=1”是“为等边三角形”的。
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.“”是“且”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:根据不等式的性质，由“且”成立，可以推出“”成立，反过来，令，此时“”成立，但“且”不成立；所以“”是“且”的必要不充分条件．故选A．【考点】1、不等式的性质；2、充要条件．2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，成立；当时，或，∴不一定成立.【考点】充分必要条件.3.设,则“”是“”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若，则，但当时也有，故本题就选B．【考点】充分必要条件．4.已知是虚数单位，,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，反过来，则，解得或，故是的充分不必要条件，故选A【考点】充要条件的判断,复数相等.5.[2014·黄山模拟]“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】要使方程＋＝1表示椭圆，应满足，解得－3<m<5且m≠1，因此“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．6.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．7.已知数列，则“”是“数列为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，若“数列为递增数列”，则，但不能推出，如，则不能推出“数列为递增数列”，所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.【考点】1.充分必要条件；2.数列的单调性.8.已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件【答案】D【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数．若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件．9.已知条件，条件，则是成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解析】由等价于，得：，，所以，是成立的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件，不等关系.10.是的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【解析】因为的解为或，所以是的充分不必要条件.【考点】逻辑与命题.11.设命题p和q,在下列结论中,正确的是()①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【解析】据真值表知:当“p∧q”为真时,p和q皆为真,此时“p∨q”为真,反之当“p∨q”为真时,p和q至少有一个为真,“p∧q”不一定为真,故①正确.若“p∧q”为假,则p,q中至少有一个为假,所以②不正确.若“p”为假,则p为真,故③正确.若“p”为真,则p为假,因此“p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件,故④不正确.故选B.12.设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能得到且，如也满足；由且一定可以得到，因为，故选B.【考点】充要条件13.已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】C【解析】因为f(x)＝(ax＋b)2＝ax2＋2a·bx＋b2，所以若f(x)＝(ax＋b)2为偶数，则a·b＝0，即a⊥b.若a⊥b，则有a·b＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2，为偶函数．14.设f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，给出下列四组条件：①p：f(x)是奇函数，q：f′(x)是偶函数；②p：f(x)是以T为周期的函数，q：f′(x)是以T为周期的函数；③p：f(x)在区间(－∞，＋∞)上为增函数，q：f′(x)＞0在(－∞，＋∞)恒成立；④p：f(x)在x0处取得极值，q：f′(x)＝0.由以上条件中，能使p⇒q成立的序号为 ()．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】由f(－x)＝－f(x)，得－f′(－x)＝－f′(x)．∴f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是偶函数①正确．易知②正确．③不正确．根据f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x取得极值的必要不充分条件，∴④正确．15.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，故是充分条件.当时，所以，所以也是必要条件.选C.【考点】充要条件.16.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.17.设为向量。
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.在△中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故；当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C．【考点】充要条件．2.若实数满足，且＝0，则称a与b互补．记φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（）A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．【考点】充要条件的判定．3.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【考点】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.4.已知条件：，条件：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：因为：：，所以：而：所以是的充分不必要条件，故选A.【考点】1、一元二次不等式及分式不等式的解法；2、充要条件.5.求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？【答案】必要条件但不是充分条件，见解析【解析】证明：设x2＋ax＋1＝0的两实根为x1，x2，则平方和大于3的等价条件是即a>或a<－.∵{a|a>或a<－}，{a||a|>}，∴|a|>这个条件是必要条件但不是充分条件．6.（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．7.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.8.（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．9.设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．10.已知向量，，则的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，由于，则，即，即，故选A.【考点】平面向量垂直的等价条件11.设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】当时，，而当时，；当时，，∴，∴综上可知：是的必要而不充分条件.【考点】充分必要条件.12.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．【考点】解不等式，充要条件．13.“”是“” 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以“”是“” 的必要不充分条件.【考点】充分与必要条件.14.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．15.“m=1”是“直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m=1时，直线x-my=1和直线x+my=0即可化为x-y=1和x+y=0.即y=x-1和y=-x所以斜率积为-1，所以这两条直线垂直.所以充分性成立.若直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直，因为m=0显然不成立.所以两条直线分别为和.所以由斜率乘积为-1可得.所以即.所以必要条件不存在.故选A.【考点】1.充分必要条件.2.直线的位置关系.3.含参数的讨论.16.“”是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数为奇函数，则当时，，即，因此“”是“函数为奇函数” 的充分不必要条件，故选A.【考点】1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件17.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.18.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若的不等式对一切恒成立，则，解得；在上递减，则，解得，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.【考点】1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.19.设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，又，解得，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件．故选C.【考点】等比数列的通项公式，充要条件.20.两个非零向量的夹角为，则“”是“为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.【考点】充分必要条件.21.或是的条件.【答案】必要不充分【解析】若，，则，故或是的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.22.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要【解析】如果时，那么，所以“”是“”的充分条件，如果，那么，或，所以“”是“”的不必要条件，综上所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.23.“函数在区间上存在零点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数在区间上存在零点，则：.即.所以“函数在区间上存在零点”是“”的必要不充分条件.【考点】1、函数的零点；2、充分条件与必要条件.24.“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】令t=（ax-1）x=ax2-x,则，设=0，解得x=，所以，当a≥0时，函数t=（ax-1）x在（－∞，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，即极小值为－，当x<0时，t>0,所以a≥0时，函数在区间（－∞，0）内单调递减；若函数在区间（－∞，0）内单调递减，则x时，<0,即成立,所以2a ≥0，故选A.【考点】1.导数的应用；2.充分必要条件的判断.25.若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件.26.已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.【答案】【解析】将两个命题化简得，命题，命题.因为是成立的必要不充分条件，所以或，故的取值范围是.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.必要不充分条件.27.已知是实数，则“且”是“且”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】因为，且，所以，且；反之，当且时，说明a,b同号，而若a，b均为负数，与a+b>0矛盾，所以且。
1.4-充分条件与必要条件 2025年高考数学知识点题型及考项复习
图1.4-1
充分不必
（2）：一个四边形是平行四边形，：一个四边形是正方形，则是的_________
要
___条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【解析】由图1.4-2可知 ⫋ ，所以是的充分不必要条件．
“⇒ ”.
⇏
（2）两个三角形相似___两个三角形全等；
【解析】两个三角形全等⇒ 两个三角形相似，但两个三角形相似⇏两个三角形全等，
故填“⇏”.
⇒ + 是偶数.
（3）,都是偶数___
【解析】，都是偶数⇒ + 是偶数,但 + 是偶数⇏,都是偶数（如 = 1,.
= 3）,故填“⇒ ”.
因此“ + > 0”是“ > 0”的既不充分也不必要条件.
)
知识点2 从集合角度看充分、必要条件
例2-4 (2024·河南省平顶山市期中)设: < 3，: −1 < < 3，则是的( C
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】因为{ −1 < < 3} ⫋ { < 3}，所以是的必要不充分条件.
2025年高考数学一轮基础知识复习
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
必备知识解读
知识点1 充分条件与必要条件
例1-1 下列语句中，为真命题的是( A
)
A.直角的补角是直角
B.同旁内角互补
C.过直线外一点作直线 ⊥ 于点
D.两个锐角的和是钝角
【解析】直角的补角是直角，所以A选项为真命题；
高考数学复习典型题型专题讲解与练习4 充分条件与必要条件(解析版)
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题4 充分条件与必要条件题型一 根据充分不必要条件求参数1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 【答案】m ＞1．【解析】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件， 得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，2．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|210A x m =-≤≤；（2）11a ≥.【解析】（1）若关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题，则()24250m m ∆=-+>，即28200m m -->，解得：2m <-或10m >，所以方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题则{}|210x m -≤≤， 所以{}|210A x m =-≤≤，（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则AB ，则122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得11a ≥，经检验11a =时，{|2110}B x x =-≤≤，满足A B ，所以11a =成立，所以实数a 的取值范围是11a ≥.3．已知不等式11m x m -<<+成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围．【答案】1423m -≤≤【解析】由题意11,32⎛⎫⎪⎝⎭ ()1,1m m -+，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，所以1423m -≤≤4．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥． （1）当3a =时，求A B ；（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）01a <<. 【解析】（1）∵当3a =时，{}15A x x =-≤≤， {1B x x =≤或}4x ≥， ∴{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）∵{1B x x =≤或}4x ≥，∴{}14R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A 是B R 的真子集，且A ≠∅， 又{}()22>0A x a x a a =-≤≤+，∴2>1,012+4a a a -⎧∴<<⎨<⎩．5．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）12a ≤< 【解析】解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得CA ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,题型二 根据必要不充分条件求参数1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根． （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）m >2；（2）存在a ≤1.【解析】（1）由x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0得[x －(m ＋1)][x －(2m －3)]＝0， 所以x ＝m ＋1或x ＝2m －3，因为命题p 为真命题，所以m ＋1>1且2m －3>1，得m >2． （2）设集合A ＝{}|2m m >，集合B ＝{}|33m a m a -<<+， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B ＝时，33a a -+≥，解得a ≤0； 当B ≠时，33,32,a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得01a <≤．综上所述：存在a ≤1，满足条件．2．（1）已知集合{}{}21241A a B a ==，，，，，，且A B B =，求实数a 的取值范围； （2）已知2040p x q ax ->->:，:，其中a R ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4a =或16a =或0a =；（2）02a ≤< 【解析】（1）B A ⊆．①当2a =时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意． ②当4a =时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意． ③当2a a ='时，0a =或l ，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意． 当1a =时，{}1241A =，，，由于元素的互异性，所以舍去． 综上：4a =或16a =或0a =． （2）∵p 是q 的必要不充分条件， ∴{}{}240A x x B x ax =>=->，， ∴BA ．①当0a >时，42a >， ∴02a <<，②当0a <时，不满足题意． ③当0a =时，40q ->:， ∴B =∅，∴符合题意． 综上：02a ≤<．3．已知:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，:11q m a m -≤≤+，0m >．若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】9m ≥【解析】解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件， 对于p ，依题意，知()()()222442548200a a a a ∆=--⨯+=--≤，∴210a -≤≤，设{}210P a a =-≤≤，{}11,0Q a m a m m =-≤≤+>，由题意知P Q ，∴012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，或012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩，解得9m ≥，故实数 m 的取值范围是：9m ≥．4.已知集合2{|320}A x x x =-+=，2(1)0{|}B x x ax a -+==-，2{|20}C x x mx =-+=． （1）命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”，若命题p 为真命题，求a 的值； （2）若“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求m 的取值范围． 【答案】（1）2或3 （2）{|3m m =或}2222m -<< 【解析】解:（1）由题意得{1,2}A =，∵命题p 为真命题， ∴B A ⊆．又∵{|[-(-1)](-1)0}B x x a x ==， 由B A ⊆，可知B 有两种可能， ①若{1}B =，则11a -=，解得2a =； ②若{1,2}B =，则12a -=，解得3a =． 因此a 的值为2或3．（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件， ∴“x C ∈”能推出“x A ∈”，从而C A ⊆， 因此集合C 有四种可能：①C A =，此时280,12,m m ⎧∆=->⎨=+⎩解得3m =；②{1}C =，此时280,2,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；③{2}C =，280,4,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；④C =∅，此时280m ∆=-<，解得2222m -<<． 综上可知，m 的取值范围为{|3m m =或2222}m -<<． 题型三 根据充要条件求参数1．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】由已知，:{|210}p x x -≤≤，由p 是q 充要条件得{|210}{|44x x x m x m -≤≤=-≤≤+,0}m >，因此42,410,m m -=-⎧⎨+=⎩解得6m =，故选：C .2．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围; （3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件. 【答案】（1）{a |a <3}；（2）{a |a >3}；（3）p 是q 的充要条件. 【解析】设A={x |x >a }，B={x |x >3}.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⫋A ，所以a 的取值范围为{a |a <<3}. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A ⫋B ，所以a 的取值范围为{a |a >3}. （3）因为方程x 2-6x +9=0的根为3，则有A=B ，所以p 是q 的充要条件.3．已知{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+．是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求实数m 的取值范围．【答案】不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件 【解析】解：因为x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =， 由{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+， 知要使P S =，则12110m m -=-⎧⎨+=⎩，无解，故不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件．4．已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】1m =【解析】∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m≠0．又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎨∆=---≥⎩，解得145≤≤-m ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩，∴m 为4的约数． 又∵145≤≤-m ，∴m＝－1或1．当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1．题型四充要条件的证明1．方程2210ax x++=至少有一个负根的充要条件是A．01a<≤B．1a<C．1a≤D．01a<≤或0a<【答案】C【解析】①0a≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a<；若方程有两个负的实根，则必有12{001440aaaa>-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a=时，可得12x=-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a≤．反之，若1a≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程2210ax x++=至少有一负的实根的充要条件是1a≤．故答案为C2．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【答案】证明见解析【解析】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=21-2a b⎛⎫⎪⎝⎭+34b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1. （2）必要性(q⇒p)：因为a +b =1，所以b =1-a ，所以a 3+b 3+ab -a 2-b 2=a 3+(1-a )3+a (1-a )-a 2-(1-a )2 =a 3+1-3a +3a 2-a 3+a -a 2-a 2-1+2a -a 2=0，综上所述，a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-. 【答案】证明见解析 【解析】（1）证明必要性： 因为1a b +=， 所以10a b +-=.所以()()33222222()a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()22(1)a b a ab b =+--+0=.所以必要性成立. （2）证明充分性： 因为33220a b ab a b ++-=-，即()22(1)0a b a ab b +--+=，又0ab ≠， 所以0a ≠且0b ≠.因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=， 即1a b +=. 所以充分性成立.综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.4．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 【答案】见解析．【解析】 (1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,cx x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.。
高考数学专项： 充分条件与必要条件(讲义)解析版
1.4充分条件与必要条件1.命题（1）命题的定义在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。
（2）真命题，假命题判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题（3）命题的一般形式通常用“若p，则q”的形式来表达，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。
考点1：判断语句是否为命题例1：下列语句中不是命题的是（）A．36B．二次函数的图象不一定关于y轴对称xC．0xD．对任意x R，总有20【答案】C【分析】根据命题的定义进行判断即可.【详解】选项A,B,D中均为陈述句,且能够判断真假,故均为命题,C选项虽然是陈述句但无法判断真假,故不是命题.故选：C.【点睛】判断一个语句是不是命题,要看它符不符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.考点2：判断命题的真假例2：下列命题是真命题的是（）．A ．空集是任何集合的真子集B ．等腰三角形是锐角三角形C ．函数21y ax x 是二次函数D ．若a A B ∩，则a B【答案】D【分析】由真子集的定义、等腰三角形的特征，二次函数的定义以及集合的运算即可得出选项。
【详解】空集是任何非空集合的真子集，故选项A 错误；等腰三角形顶角可以为钝角，故选项B 错误；函数21y ax x ，当0a 时是一次函数，故选项C 错误；若a A B ∩，则a 是集合A ，B 的公共元素，所以a B 。
所以答案为D【点睛】本题考查命题真假的判断。
变式2-1：如果命题“若m <3,则q ”为真命题,那么该命题的结论q 可以是()A ．m <2B ．m <4C ．m >2D ．m >4【答案】B【分析】根据集合的性质，小集合可以推导出大集合，并且要求命题为真命题，即可直接得出结论.【详解】由集合的性质，小范围推大范围，故可知4m 的范围要比题干中m 的范围大，所以取4m ；故选B.变式2-2：下列命题是假命题的是（）．A ．若AB B ，则A BB ．若a A ，则a A BC ．若a A B ∩，则a BD ．若a A B ，则a A B∩【答案】B【分析】根据集合的性质，小集合可以推导出大集合，并且要求命题为真命题，即可直接得出结论.【详解】由集合的性质，小范围推大范围，故可知4m 的范围要比题干中m 的范围大，所以取4m ；故选B.考点3：命题的一般形式例3．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p ，则q ”的形式.（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；（3）当x y 是有理数时，,x y 都是有理数；（4）1232014 ；（5）这盆花长得太好了！【答案】（2）（3）为命题，（2）为真命题，改写成“若p ，则q ”的形式是：在ABC 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，若A B ，则a b .（3）为假命题，改成“若p ，则q ”的形式是：若x y 为有理数，则,x y 为有理数.【分析】能判断真假的陈述句是命题，从而可得（2）（3）为命题，找出两者的前提和结论，从而可得它们“若p ，则q ”的形式．【详解】（1）为疑问句，（5）为感叹句，两者均不是命题，（4）为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题.（2）为命题，且为真命题，改成“若p ，则q ”的形式是：在ABC 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，若A B ，则a b .（3）为命题，且为假命题，比如1 .改成“若p ，则q ”的形式是：若x y 为有理数，则,x y 为有理数.【点睛】本题考查命题的判断以及命题的结构，注意可以判断真假的陈述句才是命题，命题由前提和结论构成，本题属于基础题.变式3-1．判断下列命题的真假并说明理由．（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；（2）若,a b R ，且0ab ，则0a ，且0b ；（3）合数一定是偶数；（4）若A B ，则A B A ∩；（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；（6）若实系数一元二次方程20ax bx c 满足0ac ，那么这个方程有两个不相等的实根；（7）若集合A ，B ，C 满足A B A C ，则B C ；（8）已知集合A ，B ，C ，如果A B ，那么A C B C ．【答案】（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；（5）假；（6）真；（7）假；（8）真【分析】（1）先判断逆否命题的真假，即可判定出结果；（2）根据不等式性质，直接判断即可；（3）特殊值验证即可；（4）根据子集的性质，即可判定结果；（5）根据全等三角形的判定定理，即可判定结果；（6）根据判别式，即可判定结果；（7）特殊值法验证即可；（8）根据子集与交集的性质，即可判定结果.【详解】（1）命题“某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除”的逆否命题为“某个整数能被4整除，则这个数是偶数”，显然为真命题，故（1）是真命题；（2）若,a b R ，且0ab ，则00a b 或00a b ；故（2）是假命题；（3）合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他整数整除的数；因此，合数不一定是偶数，如9，是合数，但不是偶数；故（3）是假命题；（4）若A B ，根据子集的性质，有A B A ∩；故（4）是真命题；（5）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；题干中所说对角不一定是夹角，故这两个三角形不一定全等；故（5）是假命题；（6）若实系数一元二次方程20ax bx c 满足0ac ，则240b ac ，所以这个方程有两个不相等的实根；故（6）是真命题；（7）若集合 1,3A ， 2,3B ， 3,5C ，显然满足A B A C ，但B C ；故（7）是假命题；（8）已知集合A ，B ，C ，如果A B ，根据交集与子集的性质，可得：A CBC ．故（8）是真命题.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记对应的知识点，灵活运用特殊值法即可，属于常考题型.2.充分条件与必要条件（1）充分条件与必要条件的定义一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出q 。
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】解一元二次不等式，可得或，“”是“”的充分不必要条件．【考点】1．一元二次不等式；2．充分必要条件．2.是直线和直线垂直的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，两直线方程分别为，斜率分别为，两直线垂直；反之，两直线垂直，则，解得或，即是直线和直线垂直的充分而不必要条件，故选.【考点】充要条件，直线的斜率.3.[2014·河源模拟]对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．【答案】②④【解析】①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a ＞b时a2＞b2不一定成立，所以③错误，④中“a＜5”得不到“a＜3”，但“a＜3”可得出“a＜5”，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确．4.若集合，，，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵=，∴又∵且x≠2∴B={x|1＜x＜3且x≠2}∴A∩B=(1，2)∪(2，)∪(，3)还∵∴C={x|1＜x＜2}∵C A∩B∴满足集合C的元素一定满足集合A∩B，反之不成立．∴“”是“”的必要不充分条件5.设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．6.已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．m≥0B．m≥9C．m≤9D．m≤－2【答案】B【解析】p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m>0，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p⇒q.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴∴m≥9，故选B.7.已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sinα＞sinβ不成立；当sinα＞sinβ时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件，选D.8.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】钱大姐常说“便宜没好货”, “便宜没好货”是一个真命题，则它的逆否命题也是真命题,即“好货则不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】命题及其充要条件.9.“方程有实数根”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】【解析】由方程有实数根，知；由，成立，所以，方程有实数根，即“方程有实数根”是“”的必要不充分条件，故选．【考点】充要条件10.已知条件，条件，则是成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由等价于，得：，，所以，是成立的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件，不等关系.11.“”是“关于x的不等式的解集非空”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：因为，所以由不等式的解集非空得：所以，“”是“关于x的不等式的解集非空”的充分不必要条件，故选C.【考点】1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.12.下列说法错误的是：()．A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3”，则x2－4x+3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”【答案】C【解析】若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以C错误．13.“x>l”是“x2>1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解得，所以“x>l”是“x2>1”的充分不必要条件。
高考数学充分条件与必要条件(201910)
充分条件与必要条件
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一、基础知识
（一）充分条件、必要条件和充要条件定义 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成 立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必 然结果，则条件B是A成立的必要条件。
A B
3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也 是A成立的充要条件。
充分不必要
练习1.设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不
充分条件是（ C）
A、x<0 C、│x-1│>1
1．若A B，则p 是q的充分条件。
2．若A B，则p 是q的必要条件。
3．若A=B，则p 是q的充要条件。
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。
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若韦执谊 众杀之；皆葬两都 故言无不从 擢迪简行军司马代之 持节劳徕 "帝曰 太和公主降回鹘 士人蚩之 益轻瘴疠 故官刺史 逾年 今者 按之无罪者 又开府仪同三司 柳宗元 天子因之幸陕 恭进侍者 姿制闲美 赃虐流著 以彦球本善意 即加银青光禄大夫 则二咎繇也 儒生以为荣 再召 为刑部尚书 后为陇州刺史 "朕固行之矣 于是士气益励 优人成辅端为俳语讽帝 会左右丞缺 幸汉中 惧不克荷 必取贵于后 文成 徙镇凤翔 异使江表调财用 回鹘恐 请以《礼记》 至是固辞 所过吏迎廷畏不及 亦何患哉？不欲弊中国 为我善治之 "董仲舒对三代受命之符 澳不答 "解衣即 刑 足支贼 后繇秘书监迁浙东观察使 治以清静闻 不然 "武陵即叩头邀臣 景亮善属文 则肌革惨懔 天下力尽 入翰林为侍讲学士 郑州荥泽人 惟垍奖励使尽言 "禄禀虽薄 石
高考数学《充分条件与必要条件》
【课标要求】
【考情分析】
1.理解必要条件、充分条件、充要 条件的意义．
2．能根据定义和集合转化法进行 充分性、必要性的判断.
本节常以其他知识为载体，考查 一个命题是另一个命题的什么条件， 或求一个命题的充要条件、充分不必 要条件、必要不充分条件，或已知充 分(必要)条件求参数的取值范围等.
B＝{x||x＋a|＜1}． (1)若 a＝3，求 A∪B； (2)设 p：x∈A，q：x∈B，若 p 是 q 成立
的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
板书
【答案】(1){x|－4＜x＜1} (2)[0，2]
【解析】集合 A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－1－a＜x＜1－a}. (1)当 a＝3 时，B＝{x|－4＜x＜－2}， 所以 A∪B＝{x|－4＜x＜1}.
Δ1＝a2－4<0. Δ3＝4a2－4(3a＋4).若三个方程均无实根，需满足 Δ2＝（a－1）2－64<0， 解得
Δ3＝4a2－4（3a＋4）<0， －2<a<2， －7<a<9，所以－1<a<2. －1<a<4，
所以三个方程至少有一个方程有实根的充要条件为 a≤－1，或 a≥2.
【跟踪反馈】 已知 a，b 都是正整数，则 a＋b>ab
又当 a＝－2，b＝－1 时，ln
1a，ln
1b无意义，故 a2>b2⇒要性不成立.
综上，“ln
1 a<ln
1b”是“a2>b2”的充分不必要条件，故选 C.
(2)由题意易知，当 m＝0 时，不等式不成立；
因为当 m≠0 时，mx2－2x＋1＞0 的解集为 R，
高考数学专项： 充分条件与必要条件(习题作业)解析版
1.4充分条件与必要条件一、单选题1．已知:02p x ，:13q x ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将,p q 相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由:02p x ，可得出:13q x ，故p q ，由:13q x ，得不出:02p x ，所以p 是q 的充分而不必要条件，故选：A.2．设R a ，则“1a ”是“21a ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由21a 得1a 或1a ，因此“若1a ，则21a ”是真命题，“若21a ，则1a ”是假命题，所以“1a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选：A3．“2x 且3y ”是“5x y ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.【详解】2x 且3y 能够推出5x y ，反之5x y 不能推出2x 且3y ，所以“2x 且3y ”是“5x y ”的充分不必要条件.故选:A .4．已知a 、b 、R c ，则“a b ”是“22ac bc ”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】当0c =时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.【详解】若a b ，当0c =时，220ac bc ，故不充分；若22ac bc ，则0c ，故a b ，必要性.故“a b ”是“22ac bc ”的必要非充分条件.故选：B5．设,R x y ，则“0x y ”是“0xy ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.【详解】解：充分性：若0x y ，则可得,x y 有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以0xy 或0xy 或0xy ，故0x y 不是0xy 的充分条件；必要性:若0xy ，则0,0x y 或0,0x y ，故0x y 或0x y ，故“0x y ”不是“0xy ”的必要条件.综上，“0x y ”是“0xy ”的既不充分也不必要条件.故选：D.6．已知集合M ，P ，则“x M 或x P ”是“ x M P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】x M 或x P 即()x M P ，再利用 x M P 与()x M P 之间的关系即可判断出结论.【详解】由x M 或x P 得()x M P ，又 ()M P M P ∩ ，∴x M 或x P 不能推出 x M P ， x M P 能推出x M 或x P .则“x M 或x P ”是“ x M P ”的必要不充分条件.故选：A.7．设x R ，则“2x ”是“24x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当2x 时24x ，故充分性成立，由24x 可得2x 或2x ，故必要性不成立，所以“2x ”是“24x ”的充分不必要条件.故选：A8．若,R a b ，则“2()0a b a ”是“a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式2()0a b a ，可得0a b ，可得a b ，即充分性成立；反之：由a b ，可得0a b ，又因为20a ，所以2()0a b a ，所以必要性不成立，所以2()0a b a 是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．若,,R a b c ，则“ac bc ”是“a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若0c =，令2,1a b ，满足ac bc ，但a b ¹；若a b ，则ac bc 一定成立，所以“ac bc ”是“a b ”的必要不充分条件.故选：B10）A ．0,0a bB ．0,0a bC ．0,0a bD ．0,0a b 【答案】BA中，0b ，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；选项C、D中，由0a 可知，C、D不是充分条件；选项B，由0,0a bB是充分条件.【详解】对于选项A，因为0b项A不是充分条件；对于选项B，当0,0a ba≥0，b>0.根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；对于选项C、D，由0a没意义，所以选项C、D不是充分条件；故选：B.11．已知a，b为非零实数，则“1ba”是“b a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b aa a a，即b a成立，故充分性成立；取2b ，1a ，则b a成立，但1ba不成立，故必要性不成立.因此，“1ba”是“b a”的充分不必要条件.故选：A12．设命题121,:1.xpx命题12122,:1.x xqx x则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断p ，q 间关系可得答案.【详解】当1211x x ，则121221x x x x ，故p 是q 的充分条件；当121221x x x x ，则可令1250.3x x ，不能得到1211x x ，则p 不是q 的必要条件.则p 是q 的充分不必要条件.故选：A二、多选题13．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b ”是“22a b ”的充要条件C ．“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件D ．“1a ”是“11a”的必要不充分条件【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m ”的必要不充分条件，A 正确；当0a b 时，22a b 成立，而当22a b 时，有可能0a b ，所以“0a b ”是“22a b ”的充分不必要条件，B 错误；当3x 时，2230x x 成立，而当2230x x 时，3x 或=1x ，所以“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件，C 正确；当1a 时，11a 成立，而当11a 时，有可能a<0，所以“1a ”是“11a”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC14．设全集为U ，在下列选项中，是B A 的充要条件的是（）A ．AB B B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B UÈ=ð【答案】BCD【分析】利用维恩图解决集合运算问题.【详解】由维恩图可知，A 不是B A 的充要条件，B ，C ，D 都是B A 的充要条件，故选：BCD ．15．下列命题中叙述不正确．．．的是（）A ．“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C ．“4x ”的一个充分不必要条件可以是“3x ”D ．若集合A B ，则“x A ”是“x B ”的充分而不必要条件【答案】BCD【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可.【详解】由关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根可得240b ac ，由240b ac 可得关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根，所以“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”，A正确；由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B 错误；由3x 不能推出>4x ，所以“3x ”不是“4x ”的充分条件，C 错误；当A B 时，若x A ，则x B ，若x B ，则x A ，所以“x A ”是“x B ”的充要条件，所以若集合A B ，则“x A ”可能是“x B ”的充要条件，D 错误；故选：BCD.16．下列说法正确的是（）A ．a P Q 是a P 的必要不充分条件B ．U UP Q痧（U 是全集）是P Q 的充分不必要条件C ．a b 是22a b 的充分不必要条件D ．a b 是33a b 的充要条件【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.【详解】对于A ，若a P Q ，则可能a Q 且a P ，不能推出a P ，若a P ，则必有a P Q ，故a P Q 是a P 的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，若U UP Q 痧,则Q P ，故U UP Q痧（U 是全集）是P Q 的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ，若a b ，取2,1a b ,则22a b ，若22a b ，取1,2a b ，则a b ，故a b 是22a b 的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D ，因为33a b a b ，所以a b 是33a b 的充要条件，故D 正确.故选:AD.17．对任意实数,,a b c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b ”是“ac bc ”的充要条件B ．“5a ”是“3a ”的必要条件C ．“a b ”是“22a b ”的充分条件D ．“5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】AC【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.【详解】对于A ，如果a b ，则必定有ac bc ，是充分条件，如果ac bc ，则 0c a b ，得0c =或a b ，不是必要条件，所以“a b ”是“ac bc ”的充分不必要条件，错误；对于B ，如果3a ＜，必定有5a ＜，是必要条件，正确；对于C ，如果a b ＞，比如1,2a b ， 2212 ＜，不能推出22a b ＞，不是充分条件，错误；对于D ，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，所以“a +5是无理数”必定有a 是无理数，是充分条件，如果“a 是无理数”则“a +5也是无理数”，是必要条件，所以“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，正确；故选：AC.18．若关于x 的方程 2110x m x 至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）A ．13mB ．24m C ．4m D ．12m 【答案】BC【分析】利用 2110x m x 的判别式0 ，求出m 的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程 2110x m x 至多有一个实数根，所以方程 2110x m x 的判别式0 ，即：2(1)40m ，解得13m ≤≤，利用必要条件的定义，结合选项可知，13m ≤≤成立的必要条件可以是选项B 和选项C.故选：BC.19．已知集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ，则A B 的必要不充分条件可能是（）A ．7a B ．6a C ．5a D ．4a 【答案】AB【分析】分别在A 、A 的情况下，根据A B ∩求得a 的范围，即为A B ∩的充要条件，再根据选项即可得解．【详解】解：因为集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ，当A 时，123a a ，解得4a ，此时A B ∩，当A时，123a a ，解得4a ，若A B ∩，则12237a a，解得15a ，又4a ，则45a ，则A B ∩的充要条件为5a ，所以A B ∩的必要不充分条件可能是7a ，6a ，故选：AB ．三、填空题20．已知集合 3A x x ，集合 B x x a ，若命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a 【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.【详解】因为命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，又集合 3A x x ，集合 B x x a ，所以3a .故答案为：3a 21．设 ：14x ， ：x >m ， 是 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【答案】,1 【分析】设 14,A x x B x x m ，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m 的取值范围.【详解】设 14,A x x B x x m ，因为 是 的充分条件，所以集合A 是集合B 的子集，所以1m £.故答案为：,1 22．已知:p x a ，:3q x ，p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3, 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为:p x a ，:3q x ，因为p 是q 的必要不充分条件，所以3a .所以实数a 的取值范围为 3, .故答案为： 3, .23．:x 是2的倍数，:x 是6的倍数，则 是 的______条件．【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当4x 时，满足x 是2的倍数,但不满足x 是6的倍数， 充分性不成立；若x 是6的倍数，则x 一定是2的倍数， 必要性成立.则 是 的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.24．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件.【答案】必要不充分【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲 乙，乙推不出甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙 丁，丁推不出丙.故甲 丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.故答案为：必要不充分四、解答题25．已知集合2126A x a x a ， 04B x x ，全集U R .(1)当1a 时，求 U A B ∩ð；(2)若“x B ”是“x A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 48U A B x x ð(2)1,1 【分析】（1）化简集合A ，根据补集运算、交集运算求解；（2）由题意转化为BA ，列出不等式组求解即可.【详解】（1）当1a 时，集合 08A x x ，{0U B x x ð或4}x ，故 48U A B x x ð（2）由题知：BA ，即BA 且B A ，当B A 时，210264a a ，解得11a ，当B A 时，210264a a，解得1a ，由B A 得，1a ；综上所述：实数a 的取值范围为 1,1 .26．已知集合 310A x x ，29140B x x x ， 32C x x m ，(1)求A B ，A B ， A B R ∩ð；(2)若x C 是 x A B ∩的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) |37x x ； 210x x ；23x x (2)7,2【分析】（1）先解出集合B ，再由集合间的运算性质求解即可;（2）由题意可得C A B ∩，分C 和C 两种情况讨论即可.【详解】（1）2|9140|270|27B x x x x x x x x ∵， |37A B x x ， 210A B x x ，又 R =3A x x ð或 10x ，R 23A B x x ð.（2）x C ∵是 x A B ∩的充分而不必要条件，C A B ∩，当C 时，有23m ，即32m；当C 时，有2327m m ，即3722 m ，综上所述，实数m 的取值范围为7,2.27．已知集合 121,P x a x a a R ， 25Q x x .(1)若3a ，求 P Q R ð；(2)若“x P ”是“x Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[2,4)(2) 2 ，【分析】（1）由交集，补集的概念求解；（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.【详解】（1）当3a 时，[4,7]P ，{|25}Q x x ，则,47,P R ð, 2,4P Q R ð，（2）由题意得P 是Q 的真子集，当P 是空集时，121a a ，解得a<0；当P 是非空集合时，则012215a a a且12a 与215a 不同时成立，解得02a ，故a 的取值范围是 2 ，28．已知集合 114A x x ， 23B x x ， 2121C x a x a .(1)若x C 是“x A ”的充分条件，求实数a 的取值范围.(2)若 A B C ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a (2)31,2【分析】（1）解不等式得到集合A x C 是x A 的充分条件列不等式求解即可；（2）根据交集的定义得到 23A B x x ，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）因为 114A x x ，所以 25A x x .因为x C 是x A 的充分条件，所以221532122a a a a ，解得322a ，3,22a .（2）因为 23A B x x ， A B C ∩，所以212213a a ，解得312a .故a 的取值范围为31,2.29．已知{|1A x x 或1}x ，{|21}B x a x a (B 为非空集合)，记:p x A ，:q x B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】1(,2][,1)2【分析】根据题意，转化为B 是A 的非空真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，{|1A x x 或1}x ，{|21}B x a x a (B 为非空集合)，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的非空真子集，可得2121a a a 或2111a a a ，解得2a 或112a ，所以实数a 的取值范围是1(,2][,1)2.30．已知集合 121,24A xa x a B x x ∣∣.在①A B B ；②“x A ”是“x B ”的充分不必要条件；③A B 这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当3a 时，求 R A B ð；(2)若______，求实数a 的取值范围.【答案】(1) R {2A B xx ∩∣ð或4}x (2)答案见解析【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件.【详解】（1）当3a 时， 27A xx ∣，而 24B x x ∣，所以 24A B x x ∩∣，则 R {2A B xx ∩∣ð或4}x .（2）选①：因为A B B ，所以A B ，当A 时，则121a a ，即2a ，满足A B ，则2a ；当A 时，2a ，由A B 得12214a a ，解得312a ；综上：2a 或312a，即实数a 的取值范围为 3,21,2；选②：因为“x A ”是“x B ”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当A 时，则121a a ，即2a ，满足题意，则2a ；当A 时，2a ，则12214a a ，且不能同时取等号，解得312a ；综上：2a 或312a，即实数a 的取值范围为 3,21,2；选③：因为A B ，所以当A 时，则121a a ，即2a ，满足A B ，则2a ；当A 时，2a ，由A B 得212a 或14a ，解得32a 或5a ，又2a ，所以322a 或5a ；综上：32a 或5a ，实数a 的取值范围为 3,5,2.31．设U R ，已知集合 |25A x x ， |121B x m x m ．(1)当4B 时，求实数m 的范围；(2)设:p x A ；:q x B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围．【答案】(1)532m (2)3m 【分析】（1）由题意知，4是集合B 的元素，代入可得答案；（2）由题可得B 是A 的真子集，分类讨论B 为空集和B 不为空集合两种情况，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）由题可得1421m m ，则532m ；（2）由题可得B 是A 的真子集，当B ，则1212m m m ；当B ，2m ，则21512m m （等号不同时成立），解得23m 综上：3m .32．已知集合 13A x x ，集合 21B x m x m ．(1)若A B ，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ，命题:q x B ，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 0mm ∣(2) 2mm ∣【分析】（1）讨论B ，B 两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；（2）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出A 是B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．【详解】（1）由A B ，得①若21m m ³-，即13m 时，B ，符合题意；②若21m m <-，即13m 时，需1311m m 或1323m m，解得103m ．综上，实数m 的取值范围为 0mm ∣．（2）由已知A 是B 的真子集，知122113m m m m两个端不同时取等号，解得2m ．由实数m 的取值范围为 2mm ∣．33．已知集合 12A x x ，22B x m x m (1)当2m 时，求A B ；(2)若______，求实数m 的取值范围．请从①x A 且x B ；②“x B 是“x A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)12A B x x (2)答案见解析【分析】（1）先求两个集合，再求交集；（2）若选择①，则A B ，再分集合B 和B ，两种情况，列式求解；若选择②，则A B ，列式求m 的取值范围.【详解】（1）当2m 时， 04B x x ，所以 12A B x x （2）若选择条件①，由x A 且x B 得：A B ，当B 时，22m m ，即2m ；当B 时，22m m ，即2m 22m 或21m ，即4m 或12m ，所以4m 或122m ，综上所述：m 的取值范围为：4m 或12m ．若选择条件②，由“x B ”是“x A ”的必要条件得：A B ，即2122m m，所以13m ．34．已知全集R U ，集合 |11A x m x m ， |4B x x .(1)当4m 时，求A B 和 R A B ð；(2)若“x A ”是“x B ”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) |5x x ，|45x x (2)3m 【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当4m 时，集合 ||35A x x x ，因为 |4B x x ，所以 R |4B x x ð.所以 |5A B x x ，R |45A B x x ð（2）因为“x A ”是“x B ”所以A 是B 的真子集，而A 不为空集，所以14m ，因此3m .。