高考理科数学复习题解析 充分条件与必要条件

高考数学复习第二节充分条件与必要条件[考纲传真] 1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件，必要条件的意义、理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)q 不是p 的必要条件时，“p q ”成立． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a ＝3时，A ＝{1,3}，显然A ⊆B . 但A ⊆B 时，a ＝2或3.∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B [x ＜3－1＜x ＜3，但－1＜x ＜3⇒x ＜3，因此p 是q 的必要不充分条件，故选B.]5．已知A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件，“x ∈B ”是“x ∈A ”的________条件．[答案] 充分 必要充分条件、必要条件的判断【例1】 ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“m ∉M ”是“m ∉N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A [(1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m ∈N ”是“m ∈M ”的什么条件．由NM知，“m ∈N ”是“m ∈M ”的充分不必要条件，从而“m ∉M ”是“m ∉N ”的充分不必要条件，故选A.][规律方法] 充分条件和必要条件的两种判断方法 1定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p 是什么，结论q 是什么； ②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ； ③确定条件p 和结论q 的关系.2集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ，而p 不能推出q ”.(1)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)D [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立， 由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立． 因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件，故选A.(2)∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.]充分条件、必要条件的探求及证明【例2】( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥αC [对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.] (2)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[证明] 法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －xxy＜0.因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0. 所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy＜0.由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －xxy＜0⇔xy ＞0. 所以1x ＜1y⇔xy ＞0，即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[规律方法] 充要条件的证明1证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)＜0得0＜x ＜2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)＜0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1. 由p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3.故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.] [规律方法] 利用充要条件求参数的关注点1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.2端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.围是( )A．[－1,1] B．[－1,0]C．[1,2] D．[－1,2](2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.(1)A(2)3或4[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝4±16－4n2＝2±4－n.又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]。