数学随机变量及其分布
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
随机变量及其分布
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
表4-2
由概率的定义可知，分布列中的pk 满足下列性质：
（1）pk 0 k 1，2 ，… 。
∞
（2） pk 1 。 k 1
下面介绍几种常见的离散型随机变量的分布。
1．两点分布（又称0–1分布）
引例3 一批产品共100件，其中有3件次品。从这批产品中任
取一件，考察取出的产品是正品还是次品，试用随机变量 描述试验的结果，并写出其概率分布。
特别地，当n 1时的二项分布就是0-1分布。
例1 某射手射击一次，命中靶心的概率为0.7，现该射手向靶心 射击5次，试求： （1）命中靶心的概率；（2）有3次命中靶心的概率。
解 设该射手命中靶心的次数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，
4，5。根据二项分布的定义X ～B(n，p) ，这里n 5， p 0.7 。 （1）可用{X 0} 表示事件{命中靶心}，由互逆事件的概率公 式及二项概率公式得
1.2 离散型随机变量及其分布
定义2 设X是一个随机变量，如果X的所有可能取值是可数的， 则称X为离散型随机变量。
定义3 设X是一个离散型随机变量，其可能取的值为 xk ( k 1，2 ， ) ，则称
P X xk pk k 1，2 ，
为X的概率分布，简称分布列或分布。
离散型随机变量X的概率分布也可以用表4-2的形式来表示。
pk P{X k} Ckn pk qnk (k 0 ，1，2 ， ，n)
n
n
显然 pk 0 ，且 pk Ckn pk qnk p qn 1 。
k 0
k 0
如果随机变量X的概率分布为 P{X k} Ckn pk qnk (k 0 ，1，2 ， ，n) ，其中 0 p 1，q 1 p，则称X服从参数为 的二项分布，记作 X ～B(n，p)。
第二章 随机变量及其分布
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为 的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律 为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布 律两性质。
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可 以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出 现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它 们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样 本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第 二次取到球的号码。 以X表示两球号码之 和，得到样本空间 的每一个样本点e， X都有一值与之对 应，如图2-1。
高中数学必修知识点随机变量及其分布
高中数学必修知识点随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x nX 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
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P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18
P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
下面给出几种常见的离散型随机变量的概率分布。
(1) 0-1分布
背景：一次试验的成功次数X所服从的分布.
分布律为 或用ห้องสมุดไป่ตู้式表示
显然，该试验有两个可能的结果： H ,T
我们引入记号：
X
X (e)
1, 0,
e H， e T
于是我们就可以用 {X 1}表示出现的是正面，
而用 {X 0}表示出现的是反面。
X就是一个随机变量。
又如： 将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; 若记X为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间S={e}中
e.
s
X(e) R
随机变量X 是 S R 上的映射
随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各个结 果出现有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的 概率. 例如, 在例2中X取值为2, 记成{X=2}, 对应于样 本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当 且仅当事件A发生时有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为{X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8.
例4 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
（2）二项分布(Binomial Distribution)
背景： n重伯努利试验中的成功次数X所服从的分布.
的每一个样本点e，X都有一个数与之对应。X是定义在样本
空间S上的一个实值单值函数。它的定义域是样本空间S， 值域是集合{0，1，2，3}.使用函数记号可以写成：
3 e HHH
X
X
e
2 1
e HHT , HTH ,THH e HTT ,THT ,TTH
0 e TTT
定义 设随机试验E的样本空间是S，若对于每 一个e∈S, 有一个实数X(e)与之对应, 即X=X(e)是定 义在S上的单值实函数，称它为随机变量(random variable, 简记为r.v.)。
456 345 234
123 i
试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j 分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对 于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如右上 图所示.
在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无关， 仍然可以将结果数值化。
例2 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.
第二章 随机变量及其分布
主要内容
一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布律 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机 现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数 对应起来, 即将随机试验的结果数量化, 引入 随机变量的概念.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.
离散型随机变量分布律的定义 离散型随机变量表示方法 三种常见分布
如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值， 则称X为离散型随机变量. 对于离散型随机变量，关键是要确定：
1）所有可能的取值是什么？ 2）取每个可能值的概率是多少？
设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 x1, x2, ， 而 P{X xk } pk , k 1,2,
随机变量与普通函数的区别:
(1) 随机变量是一个函数 , 但普通函数是定义 在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).
(2) 随机变量X 的可能取值不止一个, 试验前只 能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值．
(3) X 以一定的概率取某个值.
第二节 离散型随机变量 及其分布律
若随机变量 X的分布律为：
P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2, , n
则称随机变量 X服从参数为n ,p的二项分布，
记为 X ~ B(n, p) 或 X ~ b(n, p)
注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。
例5 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率.
称之为离散型随机变量X的分布律。
P{X xk } pk , k 1,2,
或写成如下的表格形式：
X x1 x2 P p1 p2
xk pk
显然，其中 pi 必须满足以下两个条件：
（ 1 ） 非 负 性 pi 0 ；
（ 2 ） 规 范 性
pi 1 。
i
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独 立投篮投中次数X的概率分布.
X0 1
P 1 p p
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1.
如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功
的概率为p，则成功的次数X服从参数为p的0-1分布。
说明
0-1分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种 可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明 天是否下雨、种籽是否发芽等, 都可以用服从两点分 布的随机变量来描述.
一般, 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成{XL}. 它表示事件B={e|X(e)L}, 即B是由S中使得X(e)L的 所有样本点e所组成的事件. 此时有
P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L}, 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能 预知它取什么值, 且它的取值有一定的概率. 此性质说 明随机变量与普通函数有本质的差异.
在随机试验完成时, 人们常常不是关 心试验结果本身, 而是对于试验结果联 系着的某个数感兴趣.这样，我们可以 引进一个变量来表示它的各种结果.也 就是说，把试验结果数值化.
j
例1 在一袋中装有编号分别为 3 1,2,3的3只球. 在袋中任取一只 球, 放回. 再取一只球, 记录它们 2 的编号. 计算两只球的号码之和. 1