1.2.1常见随机变量分布
随机信号第一章2014
… …
离散型随机变量
对于离散随机变量，其分布函数为:
F ( x) pi u ( x xi )
i
其概率密度函数为:
dF ( x) p ( x) pi ( x xi ) dx i
离散型随机变量
例:均匀掷色子实验:取值为{1,2,3,4,5,6}
连续型随机变量
连续型随机变量（X取连续值）
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
2 方差
方差是用来度量随机变量偏离其数学期望的程度的量。 定义为
D[ X ] E{( X E[ X ]) }
2 X 2
( x E[ X ]) p X ( x)dx
2
方差开方后称为均方差或标准差 由均值的性质知：
X D[ X ]
问题:连续型随机变量X取某个值的概率?
概率密度函数
如均匀分布随机变量通过限幅器的输出.
总结
随机变量不同于普通变量表现在两点上： (1) 变量可以有多个取值，并且不能预知它到 底会取哪个值； (2) 变量取值是有规律的，这种规律用概率特 性来明确表述；
因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它 的取值范围与概率特性。
§ 1.1随机变量的概念
一.概率论的几个基本概念: 1． 随机试验 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 例2 从一批产品中任取10件，抽到的废品数 可能是0,1,2,…,10中的一个数； 例3 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 满足下列三个条件的试验被称为随机试验E，简称试验: 1) 在相同条件下可以重复进行; 2) 试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确 ; 3) 每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
F ( x ) F ( x)
随机变量
• 例1：“抛硬币”实验 • 样本空间S={正面，反面}={e}
令X=X(e)=
1 0 当e=正面 当e=反面
• 则X=X(e)为一离散型随机变量。 • 例2：“掷骰子”实验 • 样本空间S={e}={1,2,3,4,5,6} • 令X=X(e)=e， • 则X=X(e)=e为一离散型随机变量。
• 5、多维随机变量 • 二维随机变量： • 定义：设随机实验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则称(X,Y)为二维 随机变量。
x1 <x 2
• 二维随机变量的分布函数（联合分布函数） • 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实 数，x,y的二元函数 • F(x,y)=P(X<=x,Y<=y) • 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数（联合分 布函数）。其中P(X<=x,Y<=y)表示随机变量 X<=x,Y<=y的概率。 • 二维随机变量的联合概率密度函数 • 定义：若存在分布函数F(x,y)连续，且存在 二阶混合偏导数。
第1章 随机变量（复习）
复习一下随机变量，为后面学随机过程打 基础
§1.1 随机变量及其分布
• 1、随机变量的概念 定义：设E为一个随机实验，其样本空间为S={e}， 若对每一个 e S 都有一个实数X(e)与之对应，而 且对于任何实数x，X(e)<=x有确定的概率，则称 X(e)为随机变量。
xi x
F(x)= p (t ) 连续型：
x
F ( x)是p(x)的一个原函数, 则：
dF ( x) p ( x) dx F ( x2 ) F ( x1 ) p( x)dx
概率论与数理统计教案随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教学目标：1. 理解随机变量的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的概率分布及其性质。
3. 学会计算随机变量的期望值和方差。
教学内容：第一章：随机变量的概念1.1 随机试验与样本空间1.2 随机变量及其定义1.3 随机变量的分类第二章：随机变量的概率分布2.1 离散型随机变量的概率分布2.2 连续型随机变量的概率分布2.3 随机变量概率分布的性质第三章：随机变量的期望值3.1 离散型随机变量的期望值3.2 连续型随机变量的期望值3.3 期望值的性质及其计算方法第四章：随机变量的方差4.1 离散型随机变量的方差4.2 连续型随机变量的方差4.3 方差的性质及其计算方法第五章：随机变量的不确定性度量5.1 标准差与协方差5.2 变异系数与相关系数5.3 不确定性度量在实际应用中的意义教学方法：1. 采用讲授法，系统讲解随机变量及其分布的基本概念、性质和计算方法。
2. 利用案例分析，让学生更好地理解随机变量在实际问题中的应用。
3. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对随机变量及其分布的理解程度。
2. 课后作业，检验学生对随机变量期望值和方差的计算能力。
3. 课程报告，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
教学资源：1. 教材：《概率论与数理统计》2. 课件：随机变量及其分布的相关内容3. 案例资料：用于分析随机变量在实际问题中的应用4. 练习题及答案：用于巩固所学知识教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时总结：通过本章的学习，学生应掌握随机变量及其分布的基本概念、性质和计算方法，并能运用所学知识解决实际问题。
第六章：随机变量的函数6.1 离散型随机变量的函数6.2 连续型随机变量的函数6.3 函数随机变量的性质教学内容：本章主要介绍随机变量的函数，包括离散型随机变量的函数和连续型随机变量的函数。
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
概率统计中几种重要分布及关系
附件6编号（注：此处编号作者不填，由论文收藏单位填写.正式论文此行提示信息删除并保留2空行.）学士学位论文概率统计中几种重要分布及关系学院名称：专业班级：学生姓名：学号：指导教师：完成日期：年月日摘要概率统计作为数学知识理论中的重要内容，对于数学学习有重要的作用.随机变量的分布是概率统计中的重要内容，对随机变量分布的学习，有利于全面掌握概率统计的相关内容.本文主要是对概率统计中几种重要分布及关系的研究，采用文献总结法和分析归纳法，通过对概率统计中二项分布、泊松分布、正态分布的概念进行阐述，对三种分布之间的联系进行分析研究，对三种分布在实际中的具体应用进行系统的表述，最终得出二项分布与泊松分布之间之间，当n的数值越大时，二者的相似度越高；二项分布与正态分布之间存在二项分布收敛于正态分布的关系；泊松分布与正态分布存在某种固定的内在联系。
通过对概率统计中几种重要分布及关系的研究，有利于旨在建立系统全面的概率统计的知识架构，加强学生对概率统计相关知识的掌握和学习.关键词：概率统计；分布；关系；应用Several important distributions and relations in probability andstatisticsAbstractProbability and statistics, as an important part of mathematical knowledge theory, plays an important role in mathematics learning. The distribution of random variables is an important part of probability and statistics. Learning the distribution of random variables is conducive to a comprehensive grasp of the relevant content of probability and statistics. This paper mainly studies several important distributions and relationships in probability and statistics, using the methods of literature summary and analysis induction, This paper expounds the concepts of binomial distribution, Poisson distribution and normal distribution in probability and statistics, analyzes the relationship between the three distributions, and systematically describes the specific application of the three distributions in practice. Finally, it comes to the conclusion that the greater the value of binomial distribution and Poisson distribution, the higher the similarity between them; there is a gap between binomial distribution and normal distribution In the relationship of binomial distribution converging to normal distribution, Poisson distribution and normal distribution have some fixed internal relations. Through the study of several important distributions and relationships in probability and statistics, it is helpful to establish a systematic and comprehensive knowledge framework of probability and statistics, and strengthen students' mastery and learning of probability and statistics related knowledge.Key words: probability and statistics; distribution; relation; application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.1.1研究背景 (1)1.1.2研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.2.1国内研究现状 (1)1.2.2国外研究现状 (2)1.3研究主要内容 (2)2相关概念 (4)2.1二项分布 (4)2.2泊松分布 (4)2.3正态分布 (5)3.三种分布间的联系 (7)3.1二项分布与泊松分布之间的联系 (7)3.2二项分布与正态分布之间的联系 (8)3.3泊松分布与正态分布之间的联系 (9)4.三种分布在实际中的应用 (11)4.1二项分布的具体应用 (11)4.2泊松分布的具体应用 (12)4.3正态分布的具体应用 (13)结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)1绪论1.1研究背景及意义1.1.1研究背景概率统计是数学课程中较为重要的数学知识点，二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布是数学概率论中最为基础的数学知识点，也是日常练习过程中较为常见的概率分布。
12随机变量及其分布
xi pi，X是离散分布 xp( x)dx，X是连续分布
※ 方差：用来表示分布的散布大小，用Var(X) 表示。
Var（X）=
i
xi E( X )2 pi , X是离散分布
b x
a
E（X）2
p（x）dx，X是连续分布
※ 标准差： =（X）= Var( X )
【例2-4】
甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为X与Y （单位：秒），已知X与Y分别有以下分布列（概率函数）：
2020/8/4
24
2．泊松分布 泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布，如： 一定时间内，电话交换机接错电话的次数； 一定时间内，某操作系统发生的故障数； 一个铸件上的缺陷数； 一平方米玻璃上气泡的个数； 一件产品被擦伤留下的痕迹个数； 一页书上的错字个数。
2020/8/4
25
若λ（λ ＞0）表示某特定单位的平均 点数，则某特定单位内出现的点数 X 取 x 值的 概率为：
（2）”掷两颗骰子，点数之和”的分布为
Y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
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9
【例2-3】设X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
p1
p2
p3
p4
p5
概率P（2≤X＜5）=（ ）。 A. p2 + p3 + p4 + p5 B. p2 + p3 + p4
※ X超出上规范限的概率，记为pu=P(X>USL) ※ X低于下规范限的概率，记为pL=P(X<LSL) X 的不合格品率 p=pL+pu
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3