表面涂色的正方体
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表面涂色的正方体
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2) 2 个 1面涂色的小正方体。
6个面有 1面涂色的小正方体。
(n－2) 2 ×6 个
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
13
棱平均分的份数 没有涂色的个数
23
3 4
33
5
131 =1
238 =8
3327 =27
每条棱被平均分成n份 棱平均分的份数 没有涂色的个数
表面涂色的正方体
棱平均分的份数 小正方体的个数
3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
2
8 8 0 0
3面涂色 ?个
2面涂色?个
1面涂色 ?个
活动一：
仔细观察，找一找，3面涂色的小正方体
有多少个？它们在原正方体的什么位置?
3面涂色
顶点
பைடு நூலகம் 活动二：
2面涂色的是多少个？它们在原正方体的 什么位置？
3
4
5
n (n－2)3
13
23
33
棱平均分的份数 小正方体的个数 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
4
64 8
棱平均分的份数 小正方体的个数 3面涂色的个数
4
64 8
2面涂色的个数 2×12=24 1面涂色的个数
棱平均分的份数 小正方体的个数 3面涂色的个数
4
64 8
2面涂色的个数 2×12=24 1面涂色的个数
4×6=24
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数 小正方体个数 3面涂色的个数 2面涂色的个数
2 8 8
3 27 8
4 64 8
5 125 8
……
探索规律表面涂色的正方体
涂色技巧：在涂色 时，可以采用“跳 步涂色法”，即先 涂一个面，再跳过 一个面涂下一个面， 以此类推，直至涂 完所有的面。
涂色顺序：在涂色 时，可以采用“从 上到下”、“从左 到右”、“从外到 内”等顺序进行涂 色，以保证每个面 都有一个不同的颜 色。
正方体的表面涂色问题实例解析
3面涂色：只在棱 上出现，代表顶 点
涂色规律在其他形状上的推广：可添加标题
添加标题
添加标题
涂色规律在不同维度上的推广：可 以应用于三维、四维等更高维度的 正方体表面涂色问题。
涂色规律在其他领域的应用：可以 应用于计算机图形学、建筑学等领 域。
正方体的表面涂 色问题
正方体的表面涂色问题概述
感谢您的观看
汇报人：XX
计算机图形学： 涂色规律可以应 用于计算机图形 学中，实现更逼 真的三维模型渲 染效果。
物理学模拟：涂 色规律可以应用 于物理模拟中， 如量子力学和分 子动力学的模拟。
游戏开发：涂色 规律可以应用于 游戏开发中，如 角色皮肤和场景 的渲染。
涂色规律的推广
涂色规律的应用范围：适用于所有 正方体表面涂色问题，包括大、中、 小正方体。
涂色方法：可以采用递归、数学归纳法等方法证明涂色规律，并给出具体的涂色方案。
应用领域：表面涂色问题在计算机图形学、组合数学等领域有广泛应用，可以用于设 计图案、解决几何问题等。
对未来研究的展望
深入研究不同涂色方式对正方体表面涂色问题的影响 探索更高效的算法和计算模型，以解决大规模正方体表面涂色问题 结合其他领域的知识，如计算机图形学、统计学等，对正方体表面涂色问题进行多角度研究 拓展正方体表面涂色问题的应用场景，将其应用于实际问题的解决中
2面涂色：在棱上 出现，代表棱上 非顶点
【苏教版】数学六上：.《表面涂色的正方体》
三面涂色的小正方体个数
8
两面涂色的小正方体个数
一面涂色的小正方体个数
棱长平均分成 4份
三面涂色的小正方体个 数
8
两面涂色的小正方体个 数
(4-2)×12=24
一面涂色的小正方体个 数
三面涂色的小正方体个数
棱长平均分成 4份
8
两面涂色的小正方体个数 (4-2)×12=24
一面涂色的小正方体个数 (4-2）2 ×2×66==2244
份
份
3-2）3
（
4-2）3（
5-2）3（
n
-2）3
棱长平均分成
6份
各面无涂色的小正方体个 数
（6-2）3 =64
如果把每条棱平均分成6份，你能很快 算出各面无涂色的小正方体有多少个吗 ？
分类探究
面对复杂问题，怎么办？ —— 从简单问题入手研究
3面涂色的的小正方体的个数 2面涂色的的小正方体的个数 1面涂色的的小正方体的个数 各面无涂色的的小正方体的个数
棱长平均分成3份
棱长平均分成4份
棱长平均分成5份
三面涂色 两面涂色 一面涂色
8
8
8
（3-2）×12 （4-2）×12 （5-2）×12
（3-2）2×6 （4-2）2×6 （5-2）2×6
三面涂色的小正方体个数
棱长平均分成
6份
8
两面涂色的小正方体个数 (6-2)×12=48
如果把每条棱平均分成6份，你能很快算 出3面涂色和2面涂色的小正方体各有多 少个吗？
2面涂色的小正方体个数 1面涂色的小正方体个数
88个个
三面涂色
1212个个
两面涂色
66个个
一面涂色
表面涂色的正方体
3面涂色
顶点
活动二：
2面涂色的是多少个？它们在原正方体的 什么位置？
2面涂色
棱的中间
活动三：
1面涂色的是多少个？它们在原正方体的 什么位置？
1面涂色
面的中间
3面涂色
2面涂色 1面涂色
顶点
棱的中间 面的中间
若正方体的棱长被平均分成4份、5 份，其中3面、2面、1面涂色的小正 方体各有多少个？
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2)2 个 1面涂色的小正方体。 6个面有 (n－2) 2×6 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
13
23
33
棱平均分的份数
3
没有涂色的个数 131=1
4
5
238=8 332=727
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数
棱平均分的份数 4 小正方体的个数 64 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
棱平均分的份数 4
小正方体的个数 64
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数
1面涂色的个数
棱平均分的份数 4
小正方体的个数 64
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数 2×12=24
1面涂色的个数
棱平均分的份数 4
小正方体的个数 64
8
2面涂色的个数 3×12=36
1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
小正方体的个数 125
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数 3×12=36
1面涂色的个数 9×6=54
如果棱长被平均分成6份呢？
棱平均分的份数 2
小正方体个数
探索图形表面涂色的正方体课件
活动二：想一想，算一算，大正方体的棱长平均分 成5份时，每类小正方体各有多少个？把算式和结果 填入表格中。
棱平均分的份数 5 小正方体的个数 125 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
小正方体的个数 125
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数
1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
1面涂色的个数 1×6=6
2
4×6=24 9×6=54 (n－2)×6
1×1
2×2
39×个3
每个面有 (n－2)×(n－2) 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2)2 个 1面涂色的小正方体。 6个面有 (n－2) 2×6 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
8
88
2面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36
1面涂色的个数 1×6=6 4×6=24 9×6=54
棱平均分的份数 3 小正方体个数 27 3面涂色的个数 8
4
5n
64 125 n 3
8
88
2面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36（n－2）×12
1面涂色的个数 1×6=6 4×6=24 9×6=54
13
23
33
原正方体棱等分的份数 现正方体棱等分的份数（列式） 没涂色的正方体个数（列式）
3
3-2=1
1x1x1=1³
4
4-2=2
2x2x2=2³
5
5-2=3
3x3x3=3³
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数
3
数学_表面涂色的正方体_课件
……
8
六年级数学名师课程
……
大正方体的棱平均分的份数 2 3 4 5 …
切成小正方体的总个数
8 27 64 125
3面涂色的小正方体个数
8 8 88
2面涂色的小正方体个数
0 12 24 36
1面涂色的小正方体个数
0 6 24 54
六年级数学名师课程
12
2面涂色的小正方体 的个数都是12的倍数。
……
六年级数学名师课程
4×4×4=64（个）
大正方体的棱平均分的份数 4
切成小正方体的总个数
64
3面涂色的小正方体个数
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
顶点的位置
大正方体的棱平均分的份数 4
切成小正方体的总个数
64
3面涂色的小正方体个数
8
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
大正方体的棱平均分的份数 3
切成小正方体的总个数
27
3面涂色的小正方体个数
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
3面涂色
顶点的位置
大正方体的棱平均分的份数 3
切成小正方体的总个数
27
3面涂色的小正方体个数
2面涂色的小正方体个数
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
2面涂色
棱的中间
大正方体的棱平均分的份数 3
切成小正方体的总个数
27
3面涂色的小正方体个数
8
2面涂色的小正方体个数
12
1面涂色的小正方体个数
六年级数学名师课程
1公开课《表面涂色的正方体》PPT
与感。
小游戏环节
设计一些与正方体相关的小游戏， 如“找出涂色面数最多的正方体” 等，让观众在游戏中学习和巩固知 识。
现场实践
提供绘画材料和纸张，让观众尝试 自己制作表面涂色的正方体，加深 对正方体结构和涂色方式的理解。
05 表面涂色正方体 在数学中的应用
几何图形认知
正方体的基本性质
通过表面涂色的正方体，学生可以 直观地了解到正方体的面、棱、顶 点等基本元素，以及它们之间的关 系和性质。
06 课程总结与拓展
课程知识点回顾
01
02
03
04
正方体的基本性质与特点
表面涂色的基本概念与技巧
正方体表面涂色的方法与步骤
涂色正方体的视觉效果与美感
学生作品欣赏与点评
01
02
03
04
作品1
色彩搭配和谐，涂色技巧熟练， 展现出强烈的视觉冲击力。
作品2
创意独特，将正方体表面涂色 与图案设计相结合，极具艺术
学生发展的需要
通过解决正方体表面涂色问题，可以培 养学生的空间想象能力、观察能力和解 决问题的能力，为后续的数学学习打下 基础。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
使学生掌握正方体表面涂色的基本方 法，理解涂色与正方体面、棱、顶点 之间的关系，能够运用所学知识解决 简单的实际问题。
培养学生学习数学的兴趣和自信心， 感受数学与生活的密切联系，体会数 学的应用价值。
数学问题解决策略
数学建模
表面涂色的正方体可以作为数学 建模的工具，帮助学生将实际问 题抽象为数学模型，进而利用数
学方法解决问题。
逻辑推理
通过观察表面涂色的正方体，学 生可以锻炼自己的逻辑推理能力， 学会从已知条件出发，推导出未
小游戏环节
设计一些与正方体相关的小游戏， 如“找出涂色面数最多的正方体” 等，让观众在游戏中学习和巩固知 识。
现场实践
提供绘画材料和纸张，让观众尝试 自己制作表面涂色的正方体，加深 对正方体结构和涂色方式的理解。
05 表面涂色正方体 在数学中的应用
几何图形认知
正方体的基本性质
通过表面涂色的正方体，学生可以 直观地了解到正方体的面、棱、顶 点等基本元素，以及它们之间的关 系和性质。
06 课程总结与拓展
课程知识点回顾
01
02
03
04
正方体的基本性质与特点
表面涂色的基本概念与技巧
正方体表面涂色的方法与步骤
涂色正方体的视觉效果与美感
学生作品欣赏与点评
01
02
03
04
作品1
色彩搭配和谐，涂色技巧熟练， 展现出强烈的视觉冲击力。
作品2
创意独特，将正方体表面涂色 与图案设计相结合，极具艺术
学生发展的需要
通过解决正方体表面涂色问题，可以培 养学生的空间想象能力、观察能力和解 决问题的能力，为后续的数学学习打下 基础。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
使学生掌握正方体表面涂色的基本方 法，理解涂色与正方体面、棱、顶点 之间的关系，能够运用所学知识解决 简单的实际问题。
培养学生学习数学的兴趣和自信心， 感受数学与生活的密切联系，体会数 学的应用价值。
数学问题解决策略
数学建模
表面涂色的正方体可以作为数学 建模的工具，帮助学生将实际问 题抽象为数学模型，进而利用数
学方法解决问题。
逻辑推理
通过观察表面涂色的正方体，学 生可以锻炼自己的逻辑推理能力， 学会从已知条件出发，推导出未
表面涂色的正方体规律1
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 有6×1=6个。
一面涂红色的：在每个面的中间位置处， 每面有4个，共有6×4=24 。
一面涂红色的： 3×3=9 6×9=54
一面涂红色的：8×8=64 6×64=384
一面涂色的 (n-2) 的平方× 6
3
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
表面涂色的正方体
正方体有哪些特征？
3
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
4
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
5
棱 长 厘 米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
10
棱 长 厘 米
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
共有12×3=36个
两面涂红色的还是在每条棱的中间位置处， 共有12×8=96个
两面涂色的 (n-2) ×12
合作要求
1.看一看，想一想，说一说，一面 涂色的小正方体都在原正方体的什 么位置？有几个？怎样列式？
2.你们能得出怎样的规律？
4
棱 长 厘 米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
5
棱 长 厘 米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
10
棱 长 厘 米
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处， 共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，
每条有2个， 共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
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2. 分小组实验，填写实验记录单，老师分组进行实验指导。
正方体 每条棱平均分成 3 份
实验记录单
涂色的小正方体的个数
3 面涂色的有（）个
2 面涂色的有（
）个
1 面涂色的有（ ）个
它们在原正方体的位置
3.分析数据，验证猜想。 交流：能切成多少个小正方体切成的小正方体中，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的各有多
三、 回顾 交流 收获 提升
大正方体的平均分的份数
23
4
5
…
切成小正方体的总个数
23 33
43
53
3 面涂色的小正方体个数
88
8
8
2 面涂色的小正方体个数
0 1×12 2×12 3×12
1 面涂色的小正方体个数
0 13×6 23×6 33×6
都不涂色的小正方体个数
0 13
23
33
（1）引导学生对比，重点讨论：
实验步骤和方法
一、提出实验猜想 1.师：将一个正方体的表面涂色，将它的每条棱平均分成 3 份。 （1）那这个时候分割后的小正方体，都有什么特点呢 （2）你能提出哪些问题
①能切成多少个小正方体 ②3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的各有几个分别在什么位置
（3）制定研究方案。对于这个问题，你们打算怎样研究 二、开展操作实验 1. 教师出示实验分工及要求。 小组实验要求 4 人一小组，选出组长一名。 组长：把正方体每条棱平均分成 3 份，并用小刀切开。 组员：观察分析实验数据，说说 3 面涂色的、2 面涂色的、1 面涂色的各有几个，怎 么得到的分别在什么位置在实验记录单上作好记录。 组员：摸球，记得每次摸之前将球袋抖一抖，摸后放回。
面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个
三面涂色：在顶点，共 8 个。
两面涂色：在棱的中间，（n-2）×12。
一面涂色：在面的中间，（n-2）2×6
都不涂色：（n-2）3
1.回顾刚才的探索与发现的过程，你有什么体会
2.名人名言：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而 想象力概括世界上的一切，推动着进步，并且是知识 进化的源泉。——爱因斯坦
师：一共应该是 64 个小正方体，可是少了 8 个，为什么
生：这 8 个小正方体一个面都不涂色。
（3）与棱长三等分的进行比较。
3.独立思考，展开想象，理解规律（把正方体棱长五等分）
（1）师：想一想如果把大正方体的棱长平均分成 5 份，分成
的小正方体又有多少个其中三面、两面、一面涂色的小正方
体又在分别在什么位置各有多少个（学生先根据前面的经验
谈话：怎样研究表面涂色的正方体的规律呢我们首先从最 简单的情况入手。
动态呈现：把每条棱平均分成两份的情况。 提问：把每条棱都平均分成 2 份，能分割出多少个同样大 的小正方体你是怎样想的 小结：切成的小正方体的个数是 2×2×2=8（个） 思考：每个小正方体有几个面涂色
（1）学生想；（2）动手将涂色的面做个记号。（3）学生交流。
学生交流后课件动态演示：每个小正方体都有 3 个面涂
色。
2. 探究切成 27 个小正方体的涂色情况。
师：同学们都比较聪明，这个问题难不住大家，那么如果将
这个大正方体的每条棱长平均分成 3 份呢
3.借助图形，展开想
实验：切成 27 个小正方体的涂 象，感悟规律
色情况研究
（1）师：同学们通过
认真观察，大胆猜测，
数学思想方法，发展数学思维能力和空间观念。
3.使学生感受数学的结构美，获得成功发现数学规律的愉悦体验，增强学好数学
的自信心。
探索表面涂有颜色的小正方体的各种情况以及其中隐含的简单规律。
教具 学具
教师准备：课件 学生准备：正方体，水笔（现由于缺少成型教具，可以组织学生摆出后用水笔在 有颜色的面上做记号）、实验记录单
进行估测）
（2）交流、汇报学习结果。
三面涂色：在顶点，共 8 个。
两面涂色：在棱的中间，（5-2）×12=36（个）。
一面涂色：在面的中间，（5-2）2×6=54（个）。
都不涂色：=27（个）或（5-2）3=27（个）
（一个面都不涂色的可以结合课件直观演示，帮助理解）
4. 发现并总结规律。
结合课件：
①推算两面涂色的小正方体的个数时，该如何确定每条棱的
位置有几个小正方体两面涂色
②推算一面涂色的小正方体的个数时，该如何确定每个面的
位置有几个小正方体一面涂色
③都不涂色的小正方体个数呢
（2）师生交流，总结规律。
三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。不论
棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是 8 个。
邗江区数学实验校际联盟学校集体备课预案
主备人: 殷丽萍 主备学校：梅岭小学西区校 总第 课时
课题 内容
教学 目标
重点 难点
表面涂色的正方体
授课时间
教材 P26—P27《探索规律》。
1.使学生根据正方体特征，通过实验操作探索表面涂有颜色的小正方体的各种情
况以及其中隐含的简单规律。
2.使学生在探索数学规律的过程中，进一步积累探索简单数学规律的经验，感悟
四、 延伸 拓展 实践 应用
板书 设计
补充：
1．棱长是 10 厘米的正方体，三面涂色、两面涂色和一面涂 色的小正方体各有几个
2、一个正方体，在它的每个面上都涂上红色。再把它切成棱 长是 1 厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有 48 个，大正方体的棱长是几厘米
大正方体的平均分的份数
23
4
5
…
切成小正方体的总个数
少个，分别在原正方体的什么位置 得出：三面涂色的小正方体在原正方体的顶点，因为有 8 个顶点，所以有 8 个；
两面涂色的小正方体在棱的中间，棱中间有 1 个小正方体，有 12 条棱所以有 12 个； 一面涂色的小正方体在面的中间，面中间就有 1 个小正方体，6 个面就有 6 个 师：我们通过计算应该是 27 个小正方体，可是少了一个，为什么 生：是中间一个，它一个面都没有涂色的。 三、总结实验结论 小结：看来 3 面涂色的小正方体个数与顶点有关；2 面涂色小正方体的个数与棱有关；1 面涂色的小正方体个数与面有关。
23 33
43
53
3 面涂色的小正方体个数
88
8
8
2 面涂色的小正方体个数
0 1×12 2×12 3×12
1 面涂色的小正方体个数
0 13×6 23×6 33×6
都不涂色的小正方体个数
0 13
23
33
教后 记
附件 1：实验一教学设计
实验名称 切成 27 个小正方体的涂色情况研究
实验目的 实验工具 设计思路
实验操作，共同探究了大正方体棱长三等分时小正方体表面
涂色问题。如果把大正方体的棱长平均分成 4 份，分成的小
正方体又有多少个其中三面、两面、一面涂色的小正方体又
在分别在什么位置各有多少个
（2）观察、交流、汇报学习结果。
三面涂色：在顶点，共 8 个。
两面涂色：在棱的中间，2×12=24（个）。
一面涂色：在面的中间，4×6=24（个）。
1．通过实验、操作、抽象等实验活动，激发学生探索规律的欲望。 2．经历特殊到一般的过程，体会数学与生活的联系，感受归纳数学思想，
掌握找规律的方法和步骤。
正方体学具，水笔 实验记录单
首先引导学生通过观察实验条件，提出实验猜想。接着通过分组实验操作， 引导学生观察分析实验数据，从而发现实验规律，得到实验结论，体验实验 的价值。
两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置，只要用
每条棱中间两面涂色的小正方体的个数乘 12，就得出两面涂
色的小正方体的总个数。
一面涂色的小正方体都在大正方体的面的位置，只要用
每个面上一面涂色的小正方体的个数乘 6，就得出一面涂色
的小正方体的总个数。
（3）符号公式，提炼规律
师：如果把棱长为 n 的大正方体涂色切割，三面涂色，两
教学过程设计
教学流程
个性化修改
一、 创设 情境 激发 兴趣
二、 自主 探究 体验 感悟
1.课件出示一个正方体。提问：你对正方体有哪些认识 小结：我们从顶点、棱、面这三个方面研究了正方体的
特征，知道正方体有完全相同的 6 个面，12 条棱和 8 个顶点。 2.媒体演示将这个正方体的表面涂上一层红色。
谈话：如果将这个正方体切成完全一样的小正方体，有 哪些小正方体表面有涂色呢涂色面的个数又有哪些情况呢这 节课我们要对表面涂色正方体切成小正方体的情况进行研 究。（出示课题：表面涂色的正方体） 1. 探究切成 8 个小正方体的涂色情况。
正方体 每条棱平均分成 3 份
实验记录单
涂色的小正方体的个数
3 面涂色的有（）个
2 面涂色的有（
）个
1 面涂色的有（ ）个
它们在原正方体的位置
3.分析数据，验证猜想。 交流：能切成多少个小正方体切成的小正方体中，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的各有多
三、 回顾 交流 收获 提升
大正方体的平均分的份数
23
4
5
…
切成小正方体的总个数
23 33
43
53
3 面涂色的小正方体个数
88
8
8
2 面涂色的小正方体个数
0 1×12 2×12 3×12
1 面涂色的小正方体个数
0 13×6 23×6 33×6
都不涂色的小正方体个数
0 13
23
33
（1）引导学生对比，重点讨论：
实验步骤和方法
一、提出实验猜想 1.师：将一个正方体的表面涂色，将它的每条棱平均分成 3 份。 （1）那这个时候分割后的小正方体，都有什么特点呢 （2）你能提出哪些问题
①能切成多少个小正方体 ②3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的各有几个分别在什么位置
（3）制定研究方案。对于这个问题，你们打算怎样研究 二、开展操作实验 1. 教师出示实验分工及要求。 小组实验要求 4 人一小组，选出组长一名。 组长：把正方体每条棱平均分成 3 份，并用小刀切开。 组员：观察分析实验数据，说说 3 面涂色的、2 面涂色的、1 面涂色的各有几个，怎 么得到的分别在什么位置在实验记录单上作好记录。 组员：摸球，记得每次摸之前将球袋抖一抖，摸后放回。
面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个
三面涂色：在顶点，共 8 个。
两面涂色：在棱的中间，（n-2）×12。
一面涂色：在面的中间，（n-2）2×6
都不涂色：（n-2）3
1.回顾刚才的探索与发现的过程，你有什么体会
2.名人名言：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而 想象力概括世界上的一切，推动着进步，并且是知识 进化的源泉。——爱因斯坦
师：一共应该是 64 个小正方体，可是少了 8 个，为什么
生：这 8 个小正方体一个面都不涂色。
（3）与棱长三等分的进行比较。
3.独立思考，展开想象，理解规律（把正方体棱长五等分）
（1）师：想一想如果把大正方体的棱长平均分成 5 份，分成
的小正方体又有多少个其中三面、两面、一面涂色的小正方
体又在分别在什么位置各有多少个（学生先根据前面的经验
谈话：怎样研究表面涂色的正方体的规律呢我们首先从最 简单的情况入手。
动态呈现：把每条棱平均分成两份的情况。 提问：把每条棱都平均分成 2 份，能分割出多少个同样大 的小正方体你是怎样想的 小结：切成的小正方体的个数是 2×2×2=8（个） 思考：每个小正方体有几个面涂色
（1）学生想；（2）动手将涂色的面做个记号。（3）学生交流。
学生交流后课件动态演示：每个小正方体都有 3 个面涂
色。
2. 探究切成 27 个小正方体的涂色情况。
师：同学们都比较聪明，这个问题难不住大家，那么如果将
这个大正方体的每条棱长平均分成 3 份呢
3.借助图形，展开想
实验：切成 27 个小正方体的涂 象，感悟规律
色情况研究
（1）师：同学们通过
认真观察，大胆猜测，
数学思想方法，发展数学思维能力和空间观念。
3.使学生感受数学的结构美，获得成功发现数学规律的愉悦体验，增强学好数学
的自信心。
探索表面涂有颜色的小正方体的各种情况以及其中隐含的简单规律。
教具 学具
教师准备：课件 学生准备：正方体，水笔（现由于缺少成型教具，可以组织学生摆出后用水笔在 有颜色的面上做记号）、实验记录单
进行估测）
（2）交流、汇报学习结果。
三面涂色：在顶点，共 8 个。
两面涂色：在棱的中间，（5-2）×12=36（个）。
一面涂色：在面的中间，（5-2）2×6=54（个）。
都不涂色：=27（个）或（5-2）3=27（个）
（一个面都不涂色的可以结合课件直观演示，帮助理解）
4. 发现并总结规律。
结合课件：
①推算两面涂色的小正方体的个数时，该如何确定每条棱的
位置有几个小正方体两面涂色
②推算一面涂色的小正方体的个数时，该如何确定每个面的
位置有几个小正方体一面涂色
③都不涂色的小正方体个数呢
（2）师生交流，总结规律。
三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。不论
棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是 8 个。
邗江区数学实验校际联盟学校集体备课预案
主备人: 殷丽萍 主备学校：梅岭小学西区校 总第 课时
课题 内容
教学 目标
重点 难点
表面涂色的正方体
授课时间
教材 P26—P27《探索规律》。
1.使学生根据正方体特征，通过实验操作探索表面涂有颜色的小正方体的各种情
况以及其中隐含的简单规律。
2.使学生在探索数学规律的过程中，进一步积累探索简单数学规律的经验，感悟
四、 延伸 拓展 实践 应用
板书 设计
补充：
1．棱长是 10 厘米的正方体，三面涂色、两面涂色和一面涂 色的小正方体各有几个
2、一个正方体，在它的每个面上都涂上红色。再把它切成棱 长是 1 厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有 48 个，大正方体的棱长是几厘米
大正方体的平均分的份数
23
4
5
…
切成小正方体的总个数
少个，分别在原正方体的什么位置 得出：三面涂色的小正方体在原正方体的顶点，因为有 8 个顶点，所以有 8 个；
两面涂色的小正方体在棱的中间，棱中间有 1 个小正方体，有 12 条棱所以有 12 个； 一面涂色的小正方体在面的中间，面中间就有 1 个小正方体，6 个面就有 6 个 师：我们通过计算应该是 27 个小正方体，可是少了一个，为什么 生：是中间一个，它一个面都没有涂色的。 三、总结实验结论 小结：看来 3 面涂色的小正方体个数与顶点有关；2 面涂色小正方体的个数与棱有关；1 面涂色的小正方体个数与面有关。
23 33
43
53
3 面涂色的小正方体个数
88
8
8
2 面涂色的小正方体个数
0 1×12 2×12 3×12
1 面涂色的小正方体个数
0 13×6 23×6 33×6
都不涂色的小正方体个数
0 13
23
33
教后 记
附件 1：实验一教学设计
实验名称 切成 27 个小正方体的涂色情况研究
实验目的 实验工具 设计思路
实验操作，共同探究了大正方体棱长三等分时小正方体表面
涂色问题。如果把大正方体的棱长平均分成 4 份，分成的小
正方体又有多少个其中三面、两面、一面涂色的小正方体又
在分别在什么位置各有多少个
（2）观察、交流、汇报学习结果。
三面涂色：在顶点，共 8 个。
两面涂色：在棱的中间，2×12=24（个）。
一面涂色：在面的中间，4×6=24（个）。
1．通过实验、操作、抽象等实验活动，激发学生探索规律的欲望。 2．经历特殊到一般的过程，体会数学与生活的联系，感受归纳数学思想，
掌握找规律的方法和步骤。
正方体学具，水笔 实验记录单
首先引导学生通过观察实验条件，提出实验猜想。接着通过分组实验操作， 引导学生观察分析实验数据，从而发现实验规律，得到实验结论，体验实验 的价值。
两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置，只要用
每条棱中间两面涂色的小正方体的个数乘 12，就得出两面涂
色的小正方体的总个数。
一面涂色的小正方体都在大正方体的面的位置，只要用
每个面上一面涂色的小正方体的个数乘 6，就得出一面涂色
的小正方体的总个数。
（3）符号公式，提炼规律
师：如果把棱长为 n 的大正方体涂色切割，三面涂色，两
教学过程设计
教学流程
个性化修改
一、 创设 情境 激发 兴趣
二、 自主 探究 体验 感悟
1.课件出示一个正方体。提问：你对正方体有哪些认识 小结：我们从顶点、棱、面这三个方面研究了正方体的
特征，知道正方体有完全相同的 6 个面，12 条棱和 8 个顶点。 2.媒体演示将这个正方体的表面涂上一层红色。
谈话：如果将这个正方体切成完全一样的小正方体，有 哪些小正方体表面有涂色呢涂色面的个数又有哪些情况呢这 节课我们要对表面涂色正方体切成小正方体的情况进行研 究。（出示课题：表面涂色的正方体） 1. 探究切成 8 个小正方体的涂色情况。