矩形的性质和判定
矩形的性质与判定练习题
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长´宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求，求AE 的长．例2、已知：、已知：如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
A B E C D BAC D N MH GOFE DCB APH DCBA例3、已知：如图所示，、已知：如图所示，矩形矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，°=Ð15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ^交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分ÐCBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定 校区：平湖 年级：九 层次：A/B 编写人：李永佳 审核人：翟威 日期：星期日【知识要点】1.矩形的定义：有一个角 的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质：矩形的四个角都 ；矩形的对角线 .3.矩形的判定定理： 1.有一个角 的 叫做矩形。
2.对角线 的平行四边形是矩形。
3.有三个角是 的四边形是矩形。
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .5.矩形的面积等于底乘以高.6.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.【例题精讲】例1：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ． 对角线相等D ．对角线互相平分例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．12cm例3：如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C 的坐标是 ．例4：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求△ABF 的面积；A CB D【巩固练习】一、选择题。
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DCC．∠ADB=90°D．CE⊥DE3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．205．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.57．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（）A．1 B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．59．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题。
初中数学矩形的性质及其判定
矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的判定(5种题型)(解析版)
矩形的判定（5种题型）【知识梳理】一、矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）要点诠释：②证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】题型一：矩形的判定定理的理解例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D．∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．【变式】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC BD⊥时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【答案】C【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形ABCD的对角线相等，则可得平行四边形ABCD是矩形．【总结】考察矩形的证明方法．题型二：添加一个条件使四边形是矩形例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件，使▱ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加的条件是AC＝BD．【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决本题的关键．题型三：证明四边形是矩形例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC AECF是矩形？请写出证明过程．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，则AE∥CF，再由全等三角形的性质得AE＝CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE ，BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，AO ＝OC ，∵E ，F 分别为AO ，OC 的中点，∴EO ＝OA ，OF ＝OC ，∴EO ＝FO ，∵BO ＝OD ，EO ＝FO ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF ；（2）解：当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形；理由如下：当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形，∴当OD ＝OE 时，四边形DEBF 是矩形，∵AE ＝OE ，∴AC ＝2BD ，∴当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．题型四：矩形的性质与判定求线段长 例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF E =，连接DF ，AF 与DE 交于点O ．(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．【答案】(1)见解析 (2)125【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC EF =，根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AD BC =，即可得出AD EF =，可证明四边形AEFD 为平行四边形，根据AE BC ⊥即可得结论；（2）根据矩形的性质可得AF DE =，可得BAF 为直角三角形，利用“面积法”可求出AE 的长，即可得答案．【详解】（1）BE CF =，BE CE CF CE ∴+=+，即BC EF =， ABCD 是平行四边形，AD ∴∥BC ，AD BC =，AD EF ∴=， AD ∥EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，AE BC ⊥，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 为矩形．（2）四边形AEFD 为矩形，AF DE ∴=，DF AE =，2OE =，∴4DE =，∵3AB =，5BF =，∴222AB AF BF +=，BAF ∴为直角三角形，90BAF ∠=︒，∴1122ABFS AB AF BF AE=⨯=⨯，∴125 AE=，∴125 DF AE==．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．【答案】（1）证明：AE=BE=EP，∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，∴∠EAB+∠EAP=90°，∴∠BAD=90°，∵平行四边形ABCD∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=∠D=∠PMC=90°，∴四边形PMCD为矩形，同理四边形ABMP为矩形，∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，∵BE=EP，EN∥PM，∴BN=NM ，∴EN=12PM=2， ∵12·BF ·EN=5，∴BF=5，∵EF ⊥BP ，BE=EP∴PF=BF=5，∴FM=3，∴AP=BM=8，∴BC=BP=∴CF=BC-BF=．题型五：矩形的性质与判定求面积例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF ＝90°．（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD ＝5，DF ＝3，求四边形ABCF 的面积S ．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，得∠BAE ＝∠FDE ，而点E 是AD 的中点，可得△BEA ≌△FED （ASA ），即知EF ＝EB ，从而四边形ABDF 是平行四边形，又∠BDF ＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；（2）由∠AFD ＝90°，AB ＝DF ＝3，AF ＝BD ，得AF ＝＝＝4，S 矩形ABDF ＝DF •AF ＝12，四边形ABCD 是平行四边形，得CD ＝AB ＝3，从而S △BCD ＝BD •CD ＝6，即可得四边形ABCF 的面积S 为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．【变式1】已知ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个平行四边形的面积.【答案】 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形.∴△ABO ≌△DCO又∵△ABO 是等边三角形∴△DCO 也是等边三角形，即AO ＝BO ＝CO ＝DO∴AC ＝BD∴ ABCD 为矩形.∵AB ＝4，AC ＝AO ＋CO∴AC ＝8在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC ＝∴矩形ABCD 的面积为：AB BC ＝16 【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）先根据矩形的性质可得OA OC =，AD BC ∥，再根据ASA 定理证出AOE COF ≌，根据全等cm cm cm cm 2cm三角形的性质可得OE OF =，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形AFCE 的边长为x ，则12BF x =−，在Rt ABF 中，利用勾股定理求出x 的值，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，AD BC ∥，OAE OCF ∴∠=∠，∵O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，∴OA OC =，在AOE △和COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA AOE COF ∴≌， OE OF ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．（2）解：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，设菱形AFCE 的边长为x ，则AF CF x ==，12BC =，12BF BC CF x ∴=−=−，在Rt ABF 中，222AB BF AF +=，即()222612x x +−=，解得7.5x =， 7.5CF ∴=，则四边形AFCE 的面积为7.5645CF AB ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD 是矩形，则添加的数据是（ ）A ．4CD =B ．2CD =C ．2OD = D ．4OD =【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．【详解】解：当4OD =时，由题意可知，4AO CO ==，4BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵8AC BD ==,∴四边形ABCD 是矩形，故选：D【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，则四边形CEDF 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF 是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解： 点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，11//,3,//,4,22DE BC DE BC DF AC DF AC ∴====∴ 四边形DECF 是平行四边形，90,C ∠=︒∴ 四边形DECF 是矩形，3412.DECF S ∴=⨯=矩形故选：.B【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键. A ．3B ．【答案】A 【分析】连接AC ，由菱形的性质可证ABC 和ACD 是等边三角形，从而求得2AC =，根据点E 、F 是AB 、CD 的中点可得CE AB ⊥，AF CD ⊥，进而证明四边形AECF 是矩形，再利用勾股定理求出=EC 即可求出结果．【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，ABC ∠︒=60，2AB =，==60B D ∴∠∠︒ ，====2AB BC CD AD ，==120BAD BCD ∠∠︒，==60BAC BCA ∴∠∠︒，==60DAC DCA ∠∠︒，∴ABC 和ACD 是等边三角形，2AC AB ==，∵点E 、F 是AB 、CD 的中点，CE AB ∴⊥，AF CD ⊥，==30CAF ACE ∠∠︒，==90BAF DCE ∴∠∠︒，∴四边形AECF 是矩形， 1==12AE AB ，∴在Rt AEC 中，EC∴矩形AECF 的面积为：=1AE EC ⨯故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质及等边三角形的判定和性质和勾股定理，熟练运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． A ．232−B ．2【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出AD BC ∥，得出DEC BCE ∠=∠，证明45ABE AEB ∠==︒，得出2AB AE ==，根据勾股定理求出BE =【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵EC 平分DEB ∠，∴DEC BEC ∠=∠，∴BEC ECB ∠=∠，∴BE BC =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∵=45ABE ∠︒，∴45ABE AEB ∠=∠=︒，∴2AB AE ==.∵由勾股定理得：BE ===，∴BC BE ==∴2DE AD AE BC AB =−=−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能证明ABCD Y 是菱形的是（ ）A ．ABD ADB ∠=∠ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【答案】D 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意，D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，∴ABCD Y 是矩形，故选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．【答案】C【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A 、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；B 、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C 、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；如图所示，在菱形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD AD 、、、的中点，∴EH 是ABD △的中位线，∴12EH BD EH BD =，∥，同理得111222EF AC EF AC FG BD GH AC ===，∥，，， ∴EH FG EF GH ==，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴EH EF ⊥，∴四边形EFGH 是矩形；D 、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．【答案】C【分析】连接CM ，先证四边形PCQM 是矩形，得PQ CM =，再由勾股定理得3BD =，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小，然后由面积法求出CM 的长，即可得出结论．【详解】解：如图，连接CM ，MP CD ⊥于点P ，MQ BC ⊥于点Q ，90CPM CQM ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8CD AB ==，90BCD ∠=︒，∴四边形PCQM 是矩形，PQ CM ∴=，由勾股定理得：10BD ==，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小， 此时，1122BCD S BD CM BC CD =⋅=⋅△， 即11106822CM ⨯⨯=⨯⨯，245CM ∴=， PQ ∴的最小值为245，故选：C ．【点睛】勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点，EF BC ∥，则BF DE +最小值是（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】B 【分析】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，根据全等三角形的判定得到ADE DMF ≌，得到DE MF =，故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，即为BM 的值．【详解】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，如图∵EF BC ∥，四边形ABCD 是矩形∴四边形AEFD 和四边形EBCF 是矩形∵AD DM =，AE DF =，90EAD FDM ==︒∠∠∴ADE DMF ≌∴DE MF =∴=BF DE BF FM ++∵点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，且BF DE +的值等于BM 的值在Rt BAM △中，10BM ===故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，做出辅助线，构建DMF 使得ADE DMF ≌是解决本题的关键．二、填空题 9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE ≌△COF ，得△AOE 、△COF 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD 的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；又∵∠AOE ＝∠COF ，在△AOE 和△COF 中，∵AEO CFO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △BCD ；∵S △BCD ＝12BC•CD ＝6，∴S 阴影＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 11．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在ABCD Y 中AC BD 、相交于点O ，8AC =，当OD =______时，ABCD Y 是矩形．【答案】4【分析】根据矩形的判定与性质即可解答．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴要使四边形ABCD 为矩形，则8BD AC ==，142OD BD ∴==，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A′B′C′=S △ABC ，BC=B′C′，BC ∥B′C′，∴四边形B′C′CB 为平行四边形，∵BB′⊥BC ，∴四边形B′C′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A′B′C′+S 矩形B′C′CB-S △ABC=S 矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【答案】14【分析】有矩形的性质和勾股定理分别求出EJ FJ =AK BK ==【详解】解：在矩形ABCD 中，∵4590BAF ABF ∠=︒∠=︒，，∴45454ABG AFB AB BF ∠=︒∠=︒==，，，∵6BC =，∴2BE CF AH DG ====，∴2HG EF ==，∴EJ FJ =∵4AB =，∴AK BK ===∴(24614S ⎡⎤=⨯−=⎢⎥⎣⎦阴影．故答案为：14．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并理解题意是解题的关键． 统考一模）如图，ABC 的边，将ABC 平移得到A B C '''，且 【答案】62【分析】利用平行的性质可得2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCC B ''是平行四边形，同时可证得ABC A B C S S '''=△△，再证明四边形BCC B ''是矩形，由此可得阴影部分的面积等于矩形BCC B ''的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算．【详解】解：∵将ABC 平移2cm 得到A B C '''，∴2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△， ∴四边形BCC B ''是平行四边形，∵BB BC '⊥，90B BC ∴='∠︒，∴四边形BCC B ''是矩形，∴22BCC B S S ''==⨯=阴影，故答案为：【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平移的性质，证明四边形BCC B ''是矩形是解题的关键．三、解答题 分别是ABC 各边的中点． 请你为ABC 添加一个条件，使得四边形【答案】(1)四边形ADEF 为平行四边形，证明见解析(2)90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE AC EF AB ∥，∥，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理证明．【详解】（1）解：四边形ADEF 为平行四边形，理由如下：∵D ，E ，F 分别是ABC 各边的中点，∴DE AC EF AB ∥，∥，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，理由如下：由（1）得：四边形ADEF 为平行四边形，又∵90DAF ∠=°，∴平行四边形ADEF 是矩形．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． (1)求证：四边形ABCF (2)若ED EC =，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据,AB DC FC AB =∥，可得四边形ABCF 是平行四边形，再由90BCD ∠=︒，即可求证；（2）根据四边形ABCF 是矩形，90AFD AFC ∠=∠=︒，从而得到90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠，再由ED EC =，可得D ECD ∠=∠，从而得到DAF CGF ∠=∠，进而得到EAG EGA ∠=∠，即可求证．【详解】（1）证明：∵,AB DC FC AB =∥，∴四边形ABCF 是平行四边形．∵90BCD ∠=︒，∴四边形ABCF 是矩形．（2）证明：∵四边形ABCF 是矩形，∴90AFD AFC ∠=∠=︒，∴90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠．∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠．∴DAF CGF ∠=∠．∵EGA CGF ∠=∠，∴EAG EGA ∠=∠．∴EA EG =．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．【答案】见解析【分析】首先证明四边形ABCD 是平行四边形，得出OA OC =，OB OD =，根据OA OD =，得出AC BD =，即可证明．【详解】解：证明：∵AB CD =，AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，OB OD =．又∵OA OD =，∴AC BD =，∴平行四边形ABCD 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 18．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,BD AC 相交于点,,O AE BD BF AC ⊥⊥，垂足分别为,E F ．若CF DE =，求证：四边形ABCD 为矩形．【答案】见解析【分析】利用HL 证明ADE BCF ≌，得出AE BF =，利用AAS 证明AOE BOF △≌△，得出AO BO =，结合平行四边形的性质可得出AC BD =，然后利用矩形的判定即可证明．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，2AC AO =，2BD BO =，∵,AE BD BF AC ⊥⊥，∴90AED AEO BFC BFO ∠=∠=∠=∠=︒，又CF DE =∴()Rt Rt HL ADE BCF ≌，∴AE BF =，又AOE BOF ∠=∠，∴()AAS AOE BOF ≌，∴AO BO =，又2AC AO =，2BD BO =，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，证明AO BO =是解题的关键． 19．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，ABC 中，D 是BC 中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连接BF ．请从以下三个条件：①AB AC =；②FB AD =；③E 是AD 的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形AFBD 为矩形．(1)你添加的条件是 ；（填序号）(2)添加条件后，请证明四边形AFBD 为矩形．【答案】(1)①(2)见解析【分析】（1）根据已知可得四边形AFBD 是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解；（2）先证明四边形AFBD 是平行四边形，①根据三线合一得出AD BD ⊥，能证明四边形是矩形；②只能证明四边形为平行四边形；③证明AFE DCE △≌△，可得AF DC =，进而根据已知得出BD AF =，不能证明四边形是矩形．【详解】（1）解：添加的条件是①故答案为：①．（2）证明：∵AF BC ∥，AF BD =，∴四边形AFBD 是平行四边形，①AB AC =；∵ABC 中，D 是BC 中点，∴四边形AFBD 是矩形；②添加FB AD =；四边形AFBD 是平行四边形，不能证明四边形AFBD 是矩形；③E 是AD 的中点∴AE DE =，∵AF BC ∥，∴FAE DCE ∠=∠，又AEF DEC ∠=∠，∴()AAS AFE DCE ≌，∴DC AF =，又BD CD =，∴BD AF =，∴③不能证明四边形AFBD 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． (1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)设AC ＝12，BD ＝16，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明平行四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，通过CE BD ∥，DE AC ∥证明四边形OCED 为平行四边形，结合AC BD ⊥即可证明；（2）由（1）可得平行四边形ABCD 为菱形，故12OC AO AC ==，12OB DO BD ==，结合四边形OCED 是矩形，运用勾股定理即可求得OE 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ＝，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵CE BD ∥，DE AC ∥，∴四边形OCED 为平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形．（2）∵=12AC ，16BD =， ∴162OC AC ==，182DO BD ==，在Rt COD 中，10CD =，由（1）知四边形OCED 为矩形，∴10OE CD ==．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键． 21．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，过点D 作∥DE A C 交BC 的延长线于点E ，点M 为AB 的中点，连接CM ．(1)求证：四边形ADEC 是矩形；(2)若5CM =，且8AC =，求四边形ADEB 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，由∥DE A C 即可证明四边形ADEC 是平行四边形，再由AC BC ⊥即可证明平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出10AB =，进而利用勾股定理求出6BC =，再利用平行四边形的性质得到6AD =，由此即可利用矩形周长公式求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∵∥DE A C ， ∴四边形ADEC 是平行四边形，∵AC BC ⊥，即A C C E ⊥，∴平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）解：∵AC BC ⊥，点M 为AB 的中点，5CM =，∴210AB CM ==，在Rt ABC △中，由勾股定理得6BC ==， ∵四边形ABCD 是平行四边形，四边形ADEC 是矩形∴6AD BC CE ===，8DE AC ==∴四边形ADEB 的周长68661036AD DE CE CB AB =++++=++++=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 22．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，DF ⊥AC 于点F ． 求证：AE ＝DF ．【答案】见解析【分析】根据矩形的性质得到OA ＝OC ＝OB ＝OD ，再根据AE ⊥BD ，DF ⊥AC 得出∠AEO ＝∠DFO ，从而证明出△AOE ≌△DOF 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵AE ⊥BD ，DF ⊥AC ，∴∠AEO ＝∠DFO ＝90°，在△AOE 和△DOF 中，AEO DFO AOE DOFAO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△DOF （AAS ），∴AE ＝DF ．【点睛】本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明． 八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，在ABC 中，点(1)求证：四边形ADFE 为矩形；(2)若30C ∠=︒，2AF =，写出矩形【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接DE ，先根据三角形的中位线的性质证明四边形ADFE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可；（2）根据矩形的性质得出90BAC FEC ∠=∠=︒，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出4BC =，2CF =，然后解直角三角形求出矩形的边长即可得出矩形的周长．【详解】（1）连接DE ，如图，∵点E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =．∵点D 是边AB 的中点， ∴12AD AB =．∴AD EF =．∴四边形ADFE 是平行四边形．∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴12DE BC =． ∵2BC AF =，∴AF DE =．∴平行四边形ADFE 是矩形．（2）∵四边形ADFE 为矩形，∴90BAC FEC ∠=∠=︒．∵2AF =，点F 是边BC 的中点，∴24BC AF ==，2CF AF ==．∵30C ∠=︒，∴1EF =，CE∴AE CE ==∴矩形ADFE 的周长为：())2212AE EF +==．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质以及解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．。
18.2.1矩形的性质和判定(教案)
一、教学内容
本节课选自高中数学教材选修18.2.1节“矩形的性质和判定”。教学内容主要包括以下两部分：
1.矩形的性质：讨论矩形的定义及基本性质，如对边平行且相等、对角线互相平分且相等、四个角都是直角等。
2.矩形的判定：学习如何判断一个四边形是否为矩形，包括以下几种情况：
在新课讲授中，我尝试通过案例分析和重点难点解析来帮助学生深入理解矩形的概念。我发现，通过具体的例子和图形展示，学生们更容易接受和理解这些几何性质。然而，我也意识到，对于一些学生来说，将理论知识应用到实际问题中仍然是一个挑战。
实践活动环节，分组讨论和实验操作非常受欢迎，学生们积极参与，热烈讨论。但在小组讨论中，我也注意到有些小组在解决问题时，思路不够清晰，需要更多的引导。这可能是因为他们对矩形性质的应用还不够熟练，或者是团队合作和交流能力还有待提高。
3.提升数学抽象和模型构建能力，通过矩形的性质和判定在实际问题中的应用，培养学生将现实问题转化为数学模型的能力。
4.增强数学运算和数据处理能力，让学生在解决矩形相关问题时，熟练运用几何知识和数学符号进行推导和计算。
5.培养团队合作和交流表达能力，通过小组讨论和课堂展示，提高学生在数学学习中的沟通与合作能力。
同学们，今天我们将要学习的是“18.2.1矩形的性质和判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过哪些物体或图形是矩形的？”（如桌子、书本等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的性质和判定的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形的定义及性质：理解矩形的定义，掌握矩形的对边平行且相等、对角线互相平分且相等、四个角都是直角等基本性质。
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
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九 年级 数学 科 探究 新知 导学案 主备人 李媛媚 时间 9.9 审定人 执教人（或学生）
学习内容： 1.2矩形的性质与判定
师：教学设计 生：学习笔记
三、互动互研，解难释疑:
①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ ②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?
由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC 中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？
四、精点巧拨，归纳生成:
矩形有哪些性质，你从哪些方面总结。
五、分层设练，拓展延伸:
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线相等。
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 _____。
（3 ）BC 是Rt △,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB ＝5㎝,则AC ＝_____㎝,BD ＝_____㎝.
（4）在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长。
学习目标： 理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
重点难点： 探索矩形的概念和性质。
一、优化导入，揭示目标;
1、平行四边形具有哪些性质？（四号生口答）
2、探究矩形的定义。
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。
在演示过程中让学生思考：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？
二、指导自学，整体感悟;
1、既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
2、研究矩形的其他性质。
求证：矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD 是矩形，∠ABC=90°对角线AC 与DB 相交于点O 。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
求证：矩形的对角线相等.
师：教学反思或疑惑 生：学习
收获或疑惑。