南通中学届高二年级期中考试数学试题
江苏省南通中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
江苏省南通中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）.8A .16B .18C .27D 【答案】C2.设,a R ∈.则“1a >”是“2a a >”的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件【答案】A3.不等式1021x x +≤-的解集为（）1.1,2A ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1.1,2B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(]1.,1,2C ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭()1.,1,2D ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A4.已知椭圆的准线方程为4,x =±离心率为12，则椭圆的标准方程为（）22.12x A y +=22.12y B x +=22.143x y C +=22.134x y D +=【答案】C5.数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则10a 的值为（）.511A .513B .1025C .1024D 【答案】B6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）5.3A 10.3B 5.6C 11.6D 【答案】A7.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆C 上的动点，若a =，满足1290F PF ∠= 的点P 有（）个.2A 个.4B 个.0C 个.1D 个【答案】A8.已知实数0,0a b >>且9a b ab +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为（）[).3,A +∞(].,3B -∞(].,6C -∞[).6,D +∞【答案】A二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.若实数0a >，0b >，1a b = ，若下列选项的不等式中，正确的是（）.A 2a b +≥.B 2≥.C 222a b +≥.D 112a b+≤【答案】ABC10.对任意实数a ，b ，c ，给出下列结论，其中正确的是（）.A “a b =”是“ac bc =”的充要条件.B “a b >”是“22a b >”的充分条件.C “5a <”是“3a <”的必要条件.D “5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD11.设椭圆.22193x y +=.的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（）.A AF BF +为定值.B ABF ∆的周长的取值范围是[]6,12.C 当m =ABF ∆为直角三角形.D 当1m =时，ABF ∆【答案】AD12.已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T ，且满足12n n a a n ++=，()12n n n b b n N *+=∈ ，则下列结论正确的是（）.A101a <<.B 11b <<.C 22n nS T <.D 22n nS T ≥【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷(含答案和解析)
江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1 A.2 B.3 C.4D.28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6B.7C.8D.910.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61 B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为216.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．16.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[2-，4]的最值．21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
江苏南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题(含答案)
南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<。
故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。
故选B 。
【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．2.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A. 64 B. 31C. 30D. 15【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的等和性即可.【详解】因为{}n a 是等差数列,所以79124a a a a =++, 所以1279416115a a a a =+-=-=． 故选：D ．【点睛】若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 本题考查了等差数列的性质,属于基础题．3.己知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,8 B. (),0-∞C. ()8,+∞D. ()3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】二次函数恒成立问题利用判别式小于0列式求解即可．【详解】不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,2420(8)0a a a a ∆=-⨯<⇒-< 即()0,8a ∈, 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题,属于基础题．4.椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（ ）A. -21B. 21C. 1925-或21 D.1925或21 【答案】C 【解析】试题分析：当焦点在x 轴时222516199,4592525k a b k c k k -==+∴=-∴=∴=-，当焦点在y 轴时2225164,9521425k a k b c k k k -=+=∴=-∴=∴=+，故选C 考点：椭圆方程及性质5.已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在y 轴上，若焦距为4，则a =（ ）A.32B. 5C. 7D.12【答案】D 【解析】因为双曲线22132x y a a +=--的焦点在y 轴上，所以该双曲线的标准方程为22123y xa a-=--（其中2a <）.又因为焦距为4，所以24322a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.所以12a =.故本题正确答案为D.6.不等式220ax bx ++>的解集是22a x a+=，则+a b 等于 （ ） A. 14 B. -14C. -10D. 10【答案】B 【解析】 【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为12-或13，进而求出a 与b 的数值，即可得到答案． 【详解】由题意可得：不等式ax 2+bx+2＞0的解集11{|}23x x -<<，所以方程ax 2+bx+2=0的解为12-或13，所以a-2b+8=0且a+3b+18=0， 所以a=-12，b=-2， 所以a b +值是-14． 故选B ．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．7.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a = A. 31123n （）- B. 131123n --（） C. 21133n-（） D.121133n --（） 【答案】A 【解析】分析：累加法求解。
【名校名卷】南通中学2022—2022学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷
江苏省南通中学2022—2022学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．1．i 是虚数单位，i(1i)+的实部是 ▲ ．2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为： ▲ ． 3．已知平面α的法向量(1,2,2)=-n ，则=n ▲ ． 4．i 是虚数单位，复数22i i+= ▲ ． 5．命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是 ▲ ．6．反证法基本证明模式是：要证明M N >，先假设 ▲ ，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M N >． 7．设1111()123431f n n =++++⋅⋅⋅+-*()n ∈N ，则(1)()f k f k +-= ▲ ．8．“2x <”是“260x x --<”成立的 ▲ 条件．填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个9．已知向量a ＝1，1，0，b ＝－1，0，2，且a ＋b 与2a ＋b 互相垂直，则= ▲ ．10．已知命题p :x ∃∈R ，220x ax a ++≤．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是▲ ．11．复数i1i+在复平面中所对应的点到原点的距离为 ▲ ．12．213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……，根据以上式子可以猜想：2112+221132017++⋅⋅⋅+< ▲ ．13．已知空间四点A －2，3，1，B 2，－5，3，C 10，0，10和D 8，4，9，则四点构成四边形形状是 ▲ ． 14．已知数列{}n a 满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-()2,n n +∈N ≥，请你运用归纳猜想法，得出数列的通项公式n a = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）实数m 分别取什么数值时，复数22(56)(215)i z m m m m =+++--（i 是虚数单位），（1）与复数212i -相等； （2）与复数1216i +互为共轭．16．（本小题满分14分）已知p ：128x <<；q ：不等式240x mx -+≥恒成立，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围17．（本小题满分15分）已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线B D ''上，60HDA ∠=︒． （1）求DH 与CC '所成角的大小；（2）求DH 与平面AA D D ''所成角的大小．D 'C 'B 'A'HD CBA18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足2*1111()22n n n a a na n +=-+∈N ，且13a =．（1）计算出2a 、3a 、4a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．19．（本小题满分16分）由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ，()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），将动点(,)P x y 所满足的条件由加法运算类比到乘法运算（如1233x y -≤≤类比为2313x y≤≤），试写出类比后(,)P x y 所满足的条件，并求5xz y =的最大值．（图1）（图2）20．（本小题满分16分）已知函数()ln(1)f x x ，()()g x kx k =∈R ． （1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有5 2O36912 AB CD Et()P t 6 5 O412 GRHt()Q t()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0,)x t ∈恒有2()()f x g x x -<．江苏省南通中学2022-2022学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）试卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．1．i 是虚数单位，i(1i)+的实部是 ▲ ．答案：1-2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为： ▲ ． 答案：x ∃∈R ，sin 1x >3．已知平面α的法向量(1,2,2)=-n ，则=n ▲ ． 答案：34．i 是虚数单位，复数22i i+= ▲ ． 答案：2i -+5．命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是 ▲ ． 答案：若11x x -≥，或≤，则21x ≥6．反证法基本证明模式是：要证明M N >，先假设 ▲ ，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M N >． 答案：M N ≤7．设1111()123431f n n =++++⋅⋅⋅+-*()n ∈N ，则(1)()f k f k +-= ▲ ．答案：11133132k k k ++++ 8．“2x <”是“260x x --<”成立的 ▲ 条件．填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个 答案：充分不必要9．已知向量a ＝1，1，0，b ＝－1，0，2，且a ＋b 与2a ＋b 互相垂直，则= ▲ ．答案：－110．已知命题p :x ∃∈R ，220x ax a ++≤．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是▲ ． 答案：()0,1 11．复数i1i+在复平面中所对应的点到原点的距离为 ▲ ．12．213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……，根据以上式子可以猜想：2112+221132017++⋅⋅⋅+< ▲ ．答案：4033201713．已知空间四点A －2，3，1，B 2，－5，3，C 10，0，10和D 8，4，9，则四点构成四边形形状是 ▲ ．答案：梯形14．已知数列{}n a 满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-()2,n n +∈N ≥，请你运用归纳猜想法，得出数列的通项公式n a = ▲ ．答案：331nn n n a ⋅=-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）实数m 分别取什么数值时，复数22(56)(215)i z m m m m =+++--（i 是虚数单位），（1）与复数212i -相等； （2）与复数1216i +互为共轭．解析：（1）根据复数相等的充要条件得 -----------5分解之得m ＝－分 （2）根据共轭复数的定义得 --------------12分解得m ＝分 16．（本小题满分14分）已知p ：128x <<；q ：不等式240x mx -+≥恒成立，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围 解析：:p 128x <<,即30<<x ,……3分p 是q 的充分条件，∴不等式240x mx -+≥对()3,0∈∀x 恒成立,……7分x x x x m 442+=+≤∴对()3,0∈∀x 恒成立, (10)分44x x +≥,当且仅当2x =时,等号成立……13分4≤∴m ……14分17．（本小题满分15分）已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线B D ''上，60HDA ∠=︒． （1）求DH 与CC '所成角的大小；（2）求DH 与平面AA D D ''所成角的大小．D 'C 'B 'A'HD CBA解析：以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．设(1)(0)H m m m >，，则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，可得2m =．解得m =， 所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）因为00112cos 2DH CC ++⨯'<>==，，所以45DH CC '<>=，．即DH 与CC '所成的角为45． （2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，． 因为011012cos 2DH DC ++⨯<>==，，所以60DH DC <>=，．可得DH 与平面AA D D ''所成的角为30． 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足2*1111()22n n n a a na n +=-+∈N ，且13a =．（1）计算出2a 、3a 、4a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．证明：（1）24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ． （2）①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+，即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．19．（本小题满分16分）由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ，()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），将动点(,)P x y 所满足的条件由加法运算类比到乘法运算（如1233x y -≤≤类比为2313x y≤≤），试写出类比后(,)P x y 所满足的条件，并求5x z y =的最大值．（图1）（图2）解析：1503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤．21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+（36)t <≤ '23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增当t =6时，max [()()]P t Q t =．∴6月份销售额最大为34500元．2⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x 类比到乘法有：已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由=xy A·B⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ， ∴253431211≤≤z ，则ma=．20．（本小题满分16分）已知函数()ln(1)f x x ，()()g x kx k =∈R ．5 2O36912 AB CD Et()P t 65 O412 GRHt()Q t（1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0,)x t ∈恒有2()()f x g x x -<．．【解析】3当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，故()f()g x x ，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()k ln(1),[0)x x x x x ，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x故当22(k 2)8(k 1)0)4k x （，时，M ()0x ,M()x 在22(k 2)8(k 1)[0)4k ，上单调递增，故M()M(0)0x ,即2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,解法二：（1）（2）同解法一（3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x ，令2(k1),01x x x k 解得，从而得到当1k 时，(0,1)x k 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在当1k 时，取11k+1=12k k k ，从而]。
江苏省南通中学2022高二数学上学期期中试题(含解析)
江苏省南通中学2022高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x-1|＜1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（）A. 64B. 31C. 30D. 153.己知关于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.4.椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A. B. 21 C. 或21 D. 或215.已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A. B. 5 C. 7 D.6.不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-，），则a+b的值是（）A. 10B.C. 14D.7.已知数列{a n}，如果a1，a2-a1，a3-a2，…，a n-a n-1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）A. B. C. D.8.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值为（）A. B. C. D.9.已知正项等比数列的公比为3,若,则的最小值等于( )A. 1B.C.D.10.己知数列{a n}的通项公式是．设数列{a n}的前n项和为S n，则使S n＜-4成立的最小自然数n的值是（）A. 13B. 14C. 15D. 1611.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A.B.C. 5,3D. 5,412.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．14.己知命题p：∃m∈[-1，1]，a2-5a-3＜m+2，且p是假命题，则实数a的取值范围是______．15.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为非负数），若1⊙k2＜3，则实数k的取值范围是______．16.设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．三、解答题（本大题共6小题）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）；（2）c：a=5：13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．18.（1）设函数f（x）=mx2-mx+m-6，若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围；（2）关于x的方程8x2-2（m-1）x+m-6=0的两个根，一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2），求实数m的取值范围．19.设{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．20.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值．22.各项为正的数列{a n}满足，（1）当λ=a n+1时，求证：数列{a n}是等比数列，并求其公比；（2）当λ=2时，令，记数列{b n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项之积为T n，求证：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x-1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x-1|＜1的必要不充分条件.故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．【解答】解：因为{a n}是等差数列，所以a7+a9=a4+a12，所以．故选D．3.【答案】A【解析】解：不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，△=a2-8a=a（a-8）＜0，即a∈（0，8），故选：A．利用判别式法判断即可．考查二次函数恒成立问题，基础题．4.【答案】C【解析】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=-；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21．故选：C．依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值．本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a＜2，又由其焦距为4，即c=2，则有c2=（2-a）+（3-a）=4，解可得a=；故选：D．根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2-a）+（3-a）=4，解可得a的值．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围．6.【答案】B【解析】分析：利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（-，），∴-，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴-=-+，=-×，解得a=-12，b=-2，∴a+b=-14故选：B．7.【答案】A【解析】解：由题意a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=故选：A．因为数列a1，（a2-a1），（a3-a2），…，（a n-a n-1），…，此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n}的通项．考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a1=a1，a3=a1+2d，a9=a1+8d，因为a1、a3、a9恰好是某等比数列，所以有a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得d=a1，所以该等差数列的通项为a n=nd则的值为=．故选：C．因为{a n}是等差数列，故a1、a3、a9都可用d表达，又因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9，即可求出d，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值．本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础知识、基本运算的考查．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，函数的最值的求法，考查计算能力,属于较易题.利用等比数列的性质推出m、n的关系，然后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为3，若=a32，可得m+n=6,m,n ∈．=,当且仅当m=2n,即m=4,n=2时，的最小值等于．故选：C．10.【答案】D【解析】解：a n=log2=log2n-log2（n+1），可得前n项和为S n=a1+a2+…+a n=log21-log22+log22-log23+…+log2n-log2（n+1）=log21-log2（n+1）=-log2（n+1）＜-4，则n+1＞16，即n＞15，使S n＜-4成立的最小自然数n的值是16．故选：D．求得a n=log2=log2n-log2（n+1），再由数列的裂项相消求和，可得前n项和S n，再由对数不等式的解法可得n的最小值．本题考查数列的裂项相消求和，对数不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：，，∴b=1，∴，得，即，b=1．故选：A．由题意可知求得c，再由求得b，最后由a2=b2+c2求得a．本题主要考查椭圆的性质．属基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=，∴|AF2|=a，|BF1|=a，则|AF2|=||=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，∴a=，b2=a2-c2=3-1=2．所以椭圆C的方程为：+=1．故选B．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题，利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解.【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，a1=1，S3=，∴q≠1，=，整理可得，解得q=-，故S4===．故答案为.14.【答案】（-∞，-1]∪[6，+∞）【解析】解：∵命题p：∃m∈[-1，1]，a2-5a-3＜m+2，且p是假命题，则∴∀m∈[-1，1]，a2-5a-3≥m+2恒成立，∴a2-5a-3≥3，∴a≤-1或a≥6，故答案为：（-∞，-1]∪[6，+∞）．命题p是假命题，利用分离m求解．本题考查复合命题真假的关系，参数取值范围，考查转化、逻辑推理、计算能力．15.【答案】（-1，1）【解析】解：由a⊙b=+a+b，∵1⊙k2＜3，∴，化简可得，|k|+1+|k2|＜2，∴（|k|-1）（|k|+2）＜0，∴|k|＜1，∴-1＜k＜1，原不等式的解集为（-1，1）．故答案为：（-1，1）．由已知新定义可转化不等式得，化简后解二次不等式及绝对值不等式即可求解．本题以新定义为载体，主要考查了二次不等式与绝对值不等式的求解，属于基础试题．16.【答案】（3，）【解析】【分析】本题主要考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设M （m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c．分类讨论即可得出M的坐标.【解答】解：设M（m，n），(m，n＞0)，椭圆C：+=1的a=6，b=2，c=4，,由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，所以解得所以M（3，）．故答案为（3，）．17.【答案】解：（1）由题意可设椭圆的方程为，焦距是4，且经过点M（3，2）；可得，解得a=4，c=2，b2=12．∴椭圆的标准方程是：．（2）由题意可得，解得．故所求的椭圆方程为：或．【解析】（1）由题意可设椭圆的方程，利用已知条件列出方程，求出a，b，即可解出椭圆方程．（2）由题意可得a，b的方程组，求解即可．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键，是中档题．18.【答案】解：（1）对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，即mx2-mx+m-6＜0，可得m（x2-x+1）-6＜0，由于x2-x+1＞0恒成立令y=m（x2-x+1）-6，看成关于m与y的一次函数，且在m∈[-2，2]上单调递增，∴m=2时取得最大值为2（x2-x+1）-6，∴2（x2-x+1）-6＜0，解得-1＜x＜2，故得x的取值范围（-1，2）；（2）记f（x）=8x2-2（m-1）x+m-6，∵方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，∴有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，即；解得：4＜m＜6；∴实数m的取值范围是（4，6）．【解析】（1）主元换位，即可求解；（2）构造函数，根据方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，从而求实数m的取值范围本题考查了变元的思想，通过变元，转化为m的函数，利用函数的单调性求函数最大值；在把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中，体现了转化的思想方程；还考查了对根的讨论，函数与方程思想，以及学生的计算能力，正确建立不等式是关键；本题属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2=（a2+10）（a4+6），∴（-2+2d）2=d（-4+3d），解得d=2，∴a n=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12．（Ⅱ）由a1=-10，d=2，得：S n=-10n+=n2-11n=（n-）2-，∴n=5或n=6时，S n取最小值-30．【解析】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）由a1=-10，d=2，得S n=-10n+=n2-11n=（n-）2-，由此能求出S n的最小值．20.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．【解析】（1）根据题意可列出10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．21.【答案】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e==，则a=2c．又∵a2=b2+c2，∴．∴椭圆的标准方程为：．又∵点P（1，）为椭圆上一点，∴，解得：c=1．∴椭圆的标准方程为：．（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1．设M（x1，y1），N（x2，y2）．联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．∴由韦达定理可知：，．∵，，且k1=2k2，∴，即．①又∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，∴，．②将②代入①可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+12=0．∴，即12k2-20k+3=0．解得：或．又由k＞1，则．【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题．（1）根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得，则椭圆的标准方程为，将P的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，：，，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案．22.【答案】证明：（1）当λ=a n+1时，a n+1=+a n，a n＞0，∴=+1，令=q＞0，则q=+1，化为q2-q-1=0，解得q=．∴数列{a n}是等比数列，其公比q=．（2）当λ=2时，a n+1=+a n，∴2a n+1=a n（a n+2），∴=．∴T n=b1b2b3…b n=••…•==．又b n====-，∴S n=b1+b2+b3+…+b n=-++…+-=-，∴2n+1T n+S n=+-==2．∴对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值2．【解析】（1）递推式两边同除a n，得出关于的方程，求出=，得出结论；（2）化简整理可得b n=，求出S n，T n即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等比数列的判断，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
南通中学高二年级期中考试数学试题
南通中学高二年级期中考试数学试题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]5n = 0s =While 15s < s s n =+ 1n n =- EndPr int nEnd （第9题）江苏省南通中学2008—2009学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 ▲ ．2．已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是 ▲ ．3．x 1是1x ，2x ，3x ，……，40x 的平均值，2x 为41x ，42x ，43x ，……，100x 的平均值，x 是1x ，2x ，3x ，……，100x ．则x ＝ ．4．用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为 ▲ ．5．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ， :p ⌝ ▲ ． 6．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ▲ ．7．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_ ▲ ．9．右边程序执行后输出的结果是 ▲ ．10．“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)11．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：甲 乙5 69 6 7 0 99 8 1 8 3 6 85 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 9 9 11甲、乙同学中 ▲ 同学数学成绩发挥比较稳定.12．若存在实数[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为 ▲ ．13．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三14．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值为 ▲ .二、解答题（第15、16题14分，第17、 18题15分，第19、20题16分）15．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：第14题图（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)； （Ⅱ）补全频数条形图；（Ⅲ）若成绩在?分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人 16.已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y（I ）求当,x y ∈R 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率；（II ）求当,x y ∈Z 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率。
江苏省南通中学高二上学期期中考试数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1. 抛物线x 2= - 4y 的焦点坐标为 ▲ .2. 已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离 是 ▲ .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是 ▲ . （理） 已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为 ▲ .4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为▲ .5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2，P 是 两曲线的一个交点，则等于 ▲ . 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 ▲ .（1），；（2）， （3），，共面 ；（4），，共点，，共面8. 设是椭圆上的一点,则的最大值是 ▲ .9. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最 短路线的长为 ▲ cm.10. 直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 ▲ . 11. 设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则 ▲ .12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行 于BC 的线段PQ 折起，使'A PQ BPQC ⊥平面平面 , 若折叠后的长为d ，则d 的最小值为 ▲ . 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆 M ：的直径，则的最 大值为 ▲ ．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒APBQCE FA ′数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程.16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面.17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论； （2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.18．如图，在直三棱柱中，,，直线与平面ABC 成 角.（1）求证：111B AC ABB A ⊥平面平面； （2）求到的距离； （3）求三棱锥的体积.BCA DPE （第16题） B 1C 1A 1B C19．已知圆224O x y +=：，若椭圆22221x y a b+=过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 交椭圆于另一点C ，①设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 的长；②求ABC ∆面积的最大值．20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程；（2）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，，求当内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标； （3）若直线：与椭圆交于、两点，证明直线与的交点在直线上．江苏南通中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 请注意文理科类，不需写出解答过程,把答案写在答题纸的指定位置上）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请注意文理科类，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,把答案写在答题纸的指定区域内）.班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________装订线内请勿答题15. （本题满分14分）题满分14分）18. （本题满分16分）江苏省南通中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.抛物线x 2=-4y 的焦点坐标为 (0,-1) .2.已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 7 .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是4. （理） 已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为（1,0,0）.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为53. 5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2、P 是两曲线的一个交点，则等于. 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 1 .（1），；（2）， （3），，共面 ；（4），，共点，，共面 8.设是椭圆上的一点,则的最大值是.9.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短 路线的长为13 cm.10.直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是2. 11.设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则.12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行 于BC 的线段PQ 折起，使,若折叠后的长为d ，则d 的最小值为. 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆M ：的直径，则的最大值为23．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共APBQCEFA ′点都只有一个的圆的方程为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程. 解：由题意得， 222222201218418a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩解得 ，所求双曲线标准方程为：e .c a ±±=±顶点(）；焦点(离心率渐近线方程y=16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面. 证明：（1）证法一：取PD 中点F ，连结EF ，AF . E 是PC 中点，F 是PD 中点，,2,,=,AB CD CD AB EFAB EF AB ABEF =∴∴又四边形是平行四边形.,,,BE AF AF PAD BE PAD BEPAD∴⊂⊄∴又平面平面平面证法二：延长DA ，CB ，交于点F ，连结PF . ,2,..,,.AB CD CD AB B CF E PC BEPF PF PAD BE PAD BEPAD =∴∴⊂⊄∴为的中点又为的中点，平面平面 平面(2),,,.,,,.,.,.AB PAD PA AD PAD AB AD AB PA AD AB AD PB AB PB B AD PAB PA PAB AD PA AB AD A PA ABCD ⊥⊂∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥⋂=∴⊥平面、平面平面又平面平面 17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
江苏省南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题(含简单答案)
南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（ ）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（ ）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（ ）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关 （2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略； （3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。
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End
（第9题）
江苏省南通中学2008-2009学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、填空题（每小题5分，共70分） 1．命题：“若12
<x ，则11<<
-x ”的逆否命题是 ．
若11-≤≥x x ，或，则12
≥x
2．已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：
的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；
③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是 ①②③④ .
4．用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人， 剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为 ． 5．已知命题
p ：1sin ,≤∈∀x R x ， 1sin ,:>∈∃⌝x R x p
6．椭圆2
2
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
m 的值
为
1
4。
围是
7．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范▲ ．
(－∞，0)∪[3，＋∞）
8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于6
5
的概率是_________
25
72
_____ 9．右边程序执行后输出的结果是 0
10．“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件.
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)必要不充分 11． 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图： 甲 乙
5
6
9 6 7 0 9
9 8 1 8 3 6 8 5 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 9 9 11
甲、乙同学中 数学成绩发挥比较稳定.
12．若存在实数
[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为
13x x <->或 。
13．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率为 ▲ ．
14．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值
为 ▲ .
二、解答题（第15、16题14分，第17、 18题15分，第19、20题16分）
15．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格
(将答案直接填在
表格内)； （Ⅱ）补全频数条形图； （Ⅲ）若成绩
在?分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为
多少人？ 解：(1) ---------------------4
分
(2) --------------------------------8分
(3) 成绩在?分的学生占?分的学生的
510
，因为成绩在?分的学生频率为 ，所以成绩在?分的学生频率为 ，---------10分
成绩在?分的学生占?分的学生的
10
5
，因为成绩在?分的学生频率为 ，所以成绩在?分的学生频率为 -------------12分
所以成绩在?分的学生频率为， 由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为?900=234（人） ------------------14分
分组 频数 频率 ? 4
?
? 10
? 16
? 合计
50 分组 频数 频率 ? 4 ? 8 ? 10 ? 16 ? 12 合计
50
结束
输出m
否
是
开始 第10题图
1
m m ←+1
i i ←+输入N
1
i ←0
m ←i N
≤(1,1)(1,1)
A CONRND
B CONRND ←-←-22
1
A B +>是
否
16. 已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y
（I ）求当,x y ∈R 时，点P 满足()2
22(2)4x y -+-≤的概率；
（II ）求当,x y ∈Z 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率。
解：（1）如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），满足()2
22(2)4x y -+-≤ 的点
的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
∴所求的概率211
24.4416
P ππ⨯=
=⨯ ……………7分 （2）满足,x y ∈Z ，且||2,||2x y ≤≤的点有25个，
满足,x y ∈Z ，且()2
2
2(2)4x y -+-≤的点有6个，
∴所求的概率26
.25
P =
……………15（分） 17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y (吨标准煤)
(1) (2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； (3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×+4×3+5×4+6×=。
参考公式：用最小二乘法求线性同归方程系数公式
1
2
2
1
ˆˆˆ, n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑) 15.解：（1）图略
（2）经计算 4
4
21
1
4.5, 3.5,
86,66.5i
i i i i x y x
x y ======∑∑
（3）当100x =时，ˆ70.35y
=，降低了标准煤9070.35
-18．已知命题p ：“方程22112
y x a +
=是焦点在y 轴上的椭圆”,命题q ：
“关于x 的方程ax 2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”. 若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围. 命题p 为真命题⇔12
a >. …………………3分
关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根⇔关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有两个负实根或一
正一负两根或只有一根且为负数. …………………5分
①方程有两个负实根0,
440,20,10a a a a
≠⎧⎪∆=-≥⎪⎪
⇔⎨-<⎪⎪>⎪⎩ ⇔01a <≤； …………………7分
②方程有一正一负两根⇔0a <； …………………9分 ③方程只有一个根且为正数⇔0a =. …………………10分 故命题q 为真命题⇔1a ≤. …………………11分
因为“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，
所以命题p 与q 恰有一个为真命题. …………………12分 若p 真q 假，则1a >；若p 假q 真，则12
a ≤. …………………13分
故实数a 的取值范围是(
1,(1,)2⎤-∞+∞⎥⎦
U . …………………14分 19. 已知圆A ：2
2
(1)4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点，且2BD=DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆。
（1）求椭圆的方程；（2）点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ+PD 的最大值。
(1)(
)1,0, D ,B ⎛
- ⎝⎭
椭圆方程为22
3314
x y += 7分
（2）(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++
33
PA PD PB PD DB +=
-+≤+＝
所以P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，
得到最大值为2+。
15
分
20. 以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答 READ x
IF x<a THEN 2
y x ax b =-++ ELSE END IF
PRINT y END
(Ⅰ) 求证：输入x 的值互为相反数则输出的y 值也互为相反数的充要条件是02
2=+b a ；
)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ，对一切x ∈R 恒成立， )(x f ∴是奇函数
必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即 令.0,,0=-==b b b x 所以得
再令.0,0,0||2,2
2
=+=∴==b a a a a a x 即得。