第五讲-车辆跟驰理论

注：2车跟随1车行使，反应时间T=1.5s，C=e-1，两车的初始 速度均为u
头车加速度波动方式及对跟驰车运动的影响
注：该图与图4.2具有相同的头车速度
不同C值对应的车头间距变化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
左图给出了另外四种不
同C值的车头间距变化图。C 分别取阻尼波动、恒幅波动 和增幅波动几种情况的值。
当 C=0.5 和 0.8 时 ， 属 第 二种情况，间距发生波动， 振 幅 急 剧 衰 减 ； C=1.57 （ ≈ π/2 ） 时 ， 属 第 三 种 情 况，间距发生波动，振幅不 变：当C=1.60 时，属第四种 情况，间距发生波动，振幅 增大。
其中，L-1表示拉普拉斯的逆变形。 类似地，可以得到车辆速度和车辆间距的变化情况。
因此，可将拉普拉斯逆变换表示成e a 0 t 、e ib 0 t 。对于不 同的C值，跟驰行驶两车的运动情况可分为四类：
a）如果C≤e-1(≈0.368)，a0≤0，b0=0，间距不发生波动， 振幅呈指数衰减；
b）如果 e-1 ＜C＜π/2， a0 ＜0，b0＞0，间距发生波 动，振幅呈指数衰减；
这里C= λT，跟随车辆的局部行为的状态可以通过求解拉 普拉斯变换方程得到。初始时头车和跟车以恒定的速度u 运行，卡欧(Chow)给出了跟车的速度。
x n ( t ) u v v n 0 n t ( 1 ) n || ( ( n n 1 ) ! ) ||! n 1 ( u 0 ( t ) u ) d t
关于波动行为的这些结果可以应用于跟驰的速度、加 速度和车头间距。因此，当C≤1/e,即车头间距不发生波动的 情况下，车速由U变到V车头间距变化量为:
S1(VU)
如果头车停车，其最终速度V=0，车头间距的总变化量 为-U/λ。跟驰车为了避免与头车发生碰撞，车头间距最小值 必须为U/λ。另外，在稳态交通流的限制下，为使车头间距 尽可能小，λ应取尽可能大的值。
.
d 1 u n 1 tT u n 1 t T T x n 1 t T T
假设两车的制动距离相等，即 d2 d3
则有
s t x n t x n 1 t d 1 L
两边对t求导，得到
.
.
..
xntxn 1txn 1t TT
亦即 其中
x ..n 1 t T x .n t x n . 1 t , n 1 ,2 ,3 ,...
➢ 一种是基于期望速度的判定方法，它是通过判断前车速度 是否小于后随车的期望车速来判定车辆是否处于跟驰状态；
➢ 另一种是基于相对速度绝对值的判定方法，它是利用前后 车速度差的绝对值随车头时距变化规律定量地判定车辆行 驶的状态。
这两种方法都存在一定的缺陷。因此，又有学者提出利用 前后车速度的相关系数随车头时距变化的规律来确定车辆 跟驰状态临界值。这一方法考虑的信息更为全面，与现实 结合更为紧密，能有效解决现有方法的不足。
因此，严格来说，反应灵敏度系数并非常量，而是与车头 间距成反比的，由此得到非线性跟驰模型。
1、车头间距倒数模型
该模型认为反应强度系数与车头间距成反比
即： 1 /s t 1 / x n t x n 1 t
x ..n 1 t T x nt 1 x n 1 t x .nt x .n 1 t
车速条件：后车的车速不能长时间大于前车的车速，而只 有在前车速度附近摆动，否则会发生追尾碰撞
间距条件：车与车之间必须保持一个安全距离，即前车制 动时，两车之间有足够的距离，从而有足够的时间供后车 驾驶员做出反应，采取制动措施。
紧随要求、车速条件和间距条件构成了一对汽车跟驰行驶 的制约性，即前车的车速制约着后车的车速和车头间距。
T1
二、非线性跟驰模型
线性跟驰模型假定驾驶员的反应强度与车间距离无关，即 对给定的相对速度，不管车间距离小(如5m或10m），反 应强度都是相同的。
实际上，对于给定的相对速度，驾驶员的反应强度应该随 车距间距的减少而增加，这是因为驾驶员在车辆间距较小 的情况相对于车辆间距较大的情况更紧张，因而反应的强 度也会较大。
2、延迟性
由制约性可知，前车改变运行状态后，后车也要改变，但 并不同步，而是后车运行状态滞后于前车。
驾驶员对前车运行状态的改变的反应过程包括4个阶段 ➢ 感觉阶段：前车运行状态的改变被察觉 ➢ 认识阶段：对这一变化加以认识 ➢ 判断阶段：对本车将要采取的措施做出判断 ➢ 执行阶段：由大脑到手脚的操作动作 这4个阶段所需要的时间称为反应时间。假设反应时间为
卡欧（Chow）方程形式复杂，所以很难用它来描述物理特性。 如果给定跟车的初始状态，那么跟车的总体行为就可以描
述出来。一般认为初始状态是头车和跟车都以恒定的速度行 驶，对头车和跟车应用移动坐标系，跟车的加速度简化为：
x f( 1 ) C L [ 1 ( [x C l( (tC ) x sfe( s)) ) 1 ] s
2、基于速度的车头间距倒数模型
事实上，反应强度系数不仅与车头间距成反比， 而且还与车辆速度成正比。
因此，可对反应强度系数作如下改进：
则有
.
2 xn1t T xn txn1t
.
x ..n 1 t T x n 2 tx n 1 x t n 1 T t 2 x .n t x .n 1 t ,n 1 ,2 ,3 ,...
意义：车辆跟驰模型的研究对于了解和认识交通 流的特性，进而把这些了解和认识应用于交通规 划、交通管理与控制，充分发挥交通设施的功效， 解决交通问题有着极其重要的意义。
一、跟驰状态的判定
跟驰状态临界值的判定是车辆跟驰研究中的一个关键，现 有的研究中，对跟驰状态的判定存在多种观点。
国外的研究中，美国1994年版的《道路通行能力手册》 规定当车头时距小于等于5s时，车辆处于跟驰状态；
T，前车在t时刻的动作，后车要经过（t+T）时刻才能做 出相应的动作，这就是延迟性。
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运 行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，其效应会一辆 接一辆的向后传递，直至车队最后一辆，这就是传递性。
定义：车辆跟驰模型是运用动力学方法，探究在 无法超车的单一车道列队行驶时，车辆跟驰状态 的理论。
原理：车辆跟驰模型从交通流的基本元素——人 车单元的运动和相互作用的层次分析车道交通流 的特性。
求解：通过求解跟驰方程，不仅可以得到任意时 刻车队中各车辆的速度、加速度和位置等参数。
特点：车辆跟驰模型是交通系统仿真中最重要的 动态模型，用来描述交通行为即人—车单元行为。
单车道车辆跟驰理论认为，车头间距在100~125m以内时 车辆间存在相互影响。
二、车辆跟驰特性
跟驰状态下车辆的行驶具有以下特性： ➢ 制约性 ➢ 延迟性 ➢ 传递性 制约性、延迟性及传递性构成了车辆跟驰行驶的
基本特征，同时也是车辆跟驰模型建立的理论基 础。
1、制约性
紧随要求：在后车跟随前车运行的车队中，出于对旅行时 间的考虑，后车驾驶员总不愿意落后很多，而是紧随前车 前进。
2、渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队 中的表现，即车队的整体波动性。如头车的波动在车队中 的传播。
一、局部稳定性
通过第一、二节的分析得到车辆跟驰模型方程。在线性跟 车模型中， X l (t) 和 X f (t)分别表示t时刻前车和跟车的位移。
x f( 1 ) C [ (x l( t) x f() ) ]
第五讲 车辆跟驰理论
第一节 跟驰理论概述
1950年赫尔曼（Herman）博士运用动力学方法 建立跟车模型，进而提出了跟驰理论。随后， Reuschel 和Pipes 研究了跟驰理论的解析方法。
北京工业大学应用混沌论开展了城市快速路交通 流行为阈值模型以及车辆跟驰模型研究。
吉林大学研究了模糊跟驰行为等等。
S (t) xn (t) x n1(t);
d
－后车在反应时间
1
T 内行驶的距离，
d 1 T x n 1 (t ) T x n 1 (T t );
d
－后车在减速期间行驶
2
的距离 ;
d
－前车在减速期间行驶
3
L — 停车后的车头间距；
的距离 ;
xi (t )－第 i辆车在时刻 t的速度。
基本公式：s t x n t x n 1 t d 1 d 2 L d 3
驾驶员对刺激的反应是指根据前车所做的加速或 减速运动而对后车进行的相应操纵及其效果。
线性跟驰模型
t时刻
t时刻前车开始 减速位置
s(t)
xn1(t)
xn (t)
t+T时刻 t+T+t1时刻
后车开始 减速位置
d3
前车完全 停止位置
匀速运动
运减速运动
d1
d2
L
后车完全
停止位置
线性跟驰模型示意图
x i (t )－第 i辆车在时刻 t的位置； S (t )－两车在时刻 t的间距，
这种运行状态改变的传递又具有延迟性。这种具有延迟性 的向后传递的信息不实平滑连续的，而是像脉冲一样间断 连续的。
第二节 线性跟驰模型
一、线性跟驰模型的建立
跟驰模型实际上是关于反应—刺激的关系式，用 方程表示为：
反应= 灵敏度×刺激
驾驶员接受的刺激是指其前面引导车的加速或减 速行为以及随之产生的两车之间的速度差或车间 距离的变化；
c）如果 C=π/2， a0 =0，b0＞0 ，间距发生波动，振 幅不变；
d）如果C＞π/2，a0 ＞0，b0＞0，间距发生波动，振 幅增大。
根据以上结果，C值不同，跟驰车辆运动情况也就不同。 要使跟随车辆间距不发生波动，必需满足C≤1/e 。C继续增 大时，间距发生波动且振幅急剧衰减。 C＜π/2时，振幅就 会发生一定程度的衰减。