第八章 绕流运动
第八章绕流运动
x
y
在以上二式中均取积分常数为零，这对流动的计算并无影响。
一 均匀流
设均匀流的速度为与 x 轴平行，那么
ux x y a
uy
y
x
0
求速度势函数: d uxdx uydy adx ax c
令 c=0， ax
求流函数 d uydx uxdy ady ay c 令 c=0， ay
得证。
§8.2 平面无旋流动
1 流网的性质
（2）流网中每一网格的边长之比等于和 的增值之比
若取 =，则流网网格为正方形网格。
／
证明：如右图所示，取相邻两线间的差 值为ΔC，流线间隔为Δn ，等势线间隔 为Δs。
us
q A
n
C n
且
us
s
s
C s
所以 C n，则流网网格为正方形网格。
§8.2 平面无旋流动
仍为
Γ
ur r 0, u r 2 r
由以上关系式知，r 0 时，u ，所以涡点为奇点，该式仅 适用于 r＞0 区域。由此式可见， 只是 的函数。
故有
d
u rd
2
d
积分得
2
速度和流函数的关系为
ur
1 r
0，
u r
r 上式表明 只是 的函数，所以
d
u dr
Γ 2 r
dr
点涡
上式积分得
Γ ln r 2
由上可知，点涡流场的等势线为不同极角的径线，即 =常数；流线为不同半径的同心圆
数。与点源（或点汇）相反。点涡的强度即沿围绕点涡的速度环量 Γ ＞0 时，环流为逆时针方
0，环流为顺时针方向。由斯托克斯定理知，点涡的强度 Γ 取决于旋涡的强度。
第五版 流体力学习题答案完整版
《流体力学》答案1-6．当空气温度从00C 增加至020C 时，ν值增加15%，容重减少10%，问此时μ值增加多少？⎡⎤⎣⎦解0000000000(115%90%)()()0.035 3.5%gggγγννμμρνρνμρνγν⨯---====1-7．图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m s ，平板浮在油面上，油深 1mm δ=，油的0.09807Pa s μ=，求作用于平板单位面积上的阻力？⎡⎤⎣⎦解10.0980798.070.001du Pa dy τμ==⨯= 1-9．一底面积为4045cm ⨯，高为1cm 的木板，质量为5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动，已知1m v s =，1mm δ=，求润滑油的动力粘滞系数？⎡⎤⎣⎦解0T GSin α-= 55255131313T GSin G g g α==⋅=⨯⨯=所以 10.400.451800.001du T A dy μμμ==⨯=但 259.8070.10513180Pa s μ⨯==⋅⨯所以1-10．一个圆锥体绕其铅直中心轴等速旋转，锥体与固定壁的间距为δ＝1mm ，全部为润滑油充满，μ＝0.1Pa.s ，当旋转角速度ω＝16s －1，锥体底部半径R ＝0.3m,高H ＝0.5m 时，求：作用于圆锥的阻力矩。
解： 取微元体， 微元面积：阻力矩为：阻力： 阻力矩51213GVδ22cos 0dhdA r dl r du r dy dT dA dM dT rππθωτμμδτ=⋅=⋅-====⋅0333012cos 12()cos 12cos HHHM dM rdT r dAr r dh r dh r tg h tg h dhττπθωμπθδθωμπθδθ====⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰1-14．图示为一采暖系统图，由于水温升高引起水的体积膨胀，为了防止管道及暖气片胀裂，特在顶部设置一膨胀水箱，使水的体积有自由膨胀的余地，若系统内水的总体积38V m =，加热前后温度差050t C =，水的热胀系数0.0005α=，求膨胀水箱的最小容积？⎡⎤⎣⎦解因为 dV V dt α=所以 30.00058500.2dV Vdt m α==⨯⨯=2-2．在封闭管端完全真空的情况下，水银柱差250Z mm =，求盛水容器液面绝对压强1p 及测压管中水面高度1Z ？⎡⎤⎣⎦解312013.6109.80.056664a p Z p γ=+=⨯⨯⨯=11 6.6640.686809.8p Z m mm γ==== 2-6．封闭容器水面的绝对压强20107.7KNp m =，当地大气压强298.07a KNp m =，试求（1）水深0.8h m =的A 点的绝对压强和相对压强？（2）若容器水面距基准面高度5Z m =，求A 点的测压管高度和测压管水头。
第8章 边界层理论基础及绕流运动
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA
08.圆柱绕流
流体力学实验 I ——圆柱绕流
§2.3 两种流态
发生“阻力微机”前后的两种典型流态
亚临界（Re < Rec)： CD≈1.2，层流附面层分离，分离点约78 ° ； 超临界（Re > Rec)： CD≈0.3，湍流附面层分离，分离点约130 °。
流体力学实验室 14-6
流体力学实验 I ——圆柱绕流
流体力学实验室
14-12
流体力学实验 I ——圆柱绕流
§4 旋涡脱落频率的测量
流体力学实验室
14-13
流体力学实验 I ——圆柱绕流
通知
实验地点：风洞实验室 时间安排： 组号 1 圆柱表面压力分布 5月24日 13:30~13:45
2
3 4 5 6 7 8
流体力学实验室
5月24日 13:45~14:00
理想流体绕流圆柱
流体力学实验室
粘性流体绕流圆柱
14-4
流体力学实验 I ——圆柱绕流
§2.2 阻力曲线
曲线左端属于小Re数情况（Stokes流动），阻力全来自于摩擦阻力， 阻力系数与Re数成反比； 当102 < Re < 2.5×105，阻力曲线变化缓慢，阻力主要来自于压差阻力；
在Rec≈2× 105，阻力系数由1.2突然下降到0.3，出现“阻力危机”。 阻力下降的原因是由层流分离转变为湍流分离。
其中D为阻力，S为圆柱体在垂直于流动方向的投影面积。对无限长等直 径圆柱，有S＝1×d＝d，d为圆柱直径。
单位宽度圆柱体所受压差阻力和圆柱的阻力系数分别为：
d d 2 p cos d ( p p ) cos d 0 2 2 0 d 2 0 ( p p ) cos d 1 2 p p D 1 2 2 CD cos d C p cos d 1 2 1 2 2 0 1 v2 2 0 v d v d 2 2 2 D 1
流体力学(平时的作业题)
第一章 绪论1-6．图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m s，平板浮在油面上，油深 1mm δ=，油的0.09807Pa s μ=，求作用于平板单位面积上的阻力？⎡⎤⎣⎦解10.0980798.070.001du Pa dy τμ==⨯= 1-7. 温度为20℃的空气，在直径为2.5cm 管中流动，距管壁上1mm 处的空气速度为3cm/s 。
求作用于单位长度管壁上的粘滞切应力为多少？ 解: f=m N dyduA/103.410/1031105.2100183.053223-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πμ 1-8．一底面积为4045cm ⨯，高为1cm 的木板，质量为5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动，已知1m v s=，1mm δ=，求润滑油的动力黏度？⎡⎤⎣⎦解0T GSin α-= 55255131313T GSin G g g α==⋅=⨯⨯=所以 10.400.451800.001du T A dy μμμ==⨯=但 259.8070.10513180Pa s μ⨯==⋅⨯所以5第二章 流体静力学2-6．封闭容器水面的绝对压强20107.7KNp m=，当地大气压强298.07a KNp m =，试求（1）水深0.8h m =的A 点的绝对压强和相对压强？（2）若容器水面距基准面高度5Z m =，求A 点的测压管高度和测压管水头。
并图示容器内液体各点的测压管水头线；（3）压力表M 和酒精（27.944KNm γ=）测压计h 的读数值？hh 1AM p 0⎡⎤⎣⎦解（1）201107.79.8070.8115.55A KN p p h m γ'=+=+⨯= 2115.5598.0717.48A A a KN p p p m '=-=-=（2）217.481.789.807Ap h m γ=== 25 1.78 6.78n A H Z h m =+=+=（3）20107.798.079.63M a KNp p p m =-=-=9.631.217.944Mp h m γ=== 2-16. 已知水箱真空表M 的读数为0.98kPa ，水箱与油箱的液面差H =1.5m ，水银柱差m 2.02=h ，3m /kg 800=油ρ，求1h 为多少米？解：取等压面1-1，则()()()()()12122211332800.29809800 1.50.2 5.610008009.8a a Hg Hg P P g H h h P gh gh gh P g H h h gmρρρρρρρ-+++=+++-+=-⨯+-⨯+==-⨯油油2-20.图为倾斜水管上测定压差的装置，已知cm 20=z ，压差计液面之差cm 12=h ，求当（1）31kg/m 920=ρ的油时;（2）1ρ为空气时;A 、B 两点的压差分别为多少？解：（1）取等压面1-1 PaghgZ gh P P ghgZ P gh P A B B A 92.1865)12.02.0(980012.08.992011=-⨯+⨯⨯=-+=---=-ρρρρρρ（2）同题（1）可得Pagh gZ P P gZP gh P A B B A 784)12.02.0(9800=-⨯=-=--=-ρρρρ2-36.有一圆滚门,长度10l m =,直径4D m =,上游水深14H m =,下游水深22H m =,求水作用于圆滚门上的水平和铅直分压力?⎡⎤⎣⎦解2212121()2x x x p p p l H H γ=-=- 2219.80710(42)5902KN =⨯⨯⨯-=23439.8074109204z p V Al R lKN γγγππ==∙==⨯⨯⨯=2-44. 一洒水车以等加速度2/98.0s m a =在平地上行驶，水车静止时，B 点位置m x 5.11=，m h 1=，求运动后该点的静水压强。
流体力学第八章 绕流运动
由此得 24 Cd Re
（8-70）
二、悬浮速度 设在上升的气流中，小球的密度为 m，大于气体的密 度 , 即 m 。小球受力情况如下。 方向向上的力有： u 0 2 1 2 2 F C A C d u 绕流阻力 d d 0 1 3 D 2 8 FB d g 浮力 6 方向向下的力有： 1 重力 G d 3 m g
绕流物体的摩擦阻力作用，主要表现在附面层 内流速的降低，引起动量的变化。
附面层的动量方程为 d d dp 2 u x dy U u x dy 0 dx 0 dx 0 dx
、 p、 u x、 U 和 0。 附面层动量方程有五个未知数： dp 其中U可以用理想流体的势流理论求得， 可
u y
为平面无旋流动。
u x x y
平面无旋流动的速度势函数为 d u x dx u y dy 并满足拉普拉斯方程：
2 2 2 0 2 x y
义一个函数 , 令u x ,uy y x 满足上式的函数称为流函数。
由不可压缩流体平面流动的连续性方程可以定
第八章 绕流运动
第一节 无旋流动 第二节 平面无旋流动 第三节 几种简单的平面无旋运动 第四节 势流叠加 第五节 绕流运动与附面层基本概念 第六节 附面层动量方程 第七节 平板上层流附面层的近似计算 第八节 平板上紊流附面层的近似计算 第九节 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 第十节 绕流阻力和升力
因此，无旋流动的前提条件是
u z u y y z u x u z z x u y u x x y 由不可压缩流体的连续性方程 u x u y u z 0 x y z 得出拉普拉斯方程 2 2 2 2 2 0 2 x z y
绕流运动
绕流运动（2）1.在管径d =100mm 的管道中，试分别计算层流和紊流时的入口段长度（层流按Re=2000计算）。
解：层流时，根据dX E=0.028Re ，有X E =0.028Re d =5.6m 紊流时，根据dX E=50可知:入口段长度X E =50d =50×0.1=5m2有一宽为2.5m ,长为 30m 的平板在静水中以5m/s 的速度等速拖曳，水温为 20℃， 求平板的总阻力。
解：取 Re xk =5×105，则根据υkxkXu 0Re=（查表知 t=20ºC ，sm /10007.16-⨯=υ）X k =0Reu xkυ⋅=0.1m <30m可认为是紊流附面层：Re=υXu 0=1.49×108采用58.2)(lg 445.0e fR C=，则：fC=1.963×10-3根据D =ACf22u ρ（其中3/2.998,305.22m kg A =⨯⨯=ρ）平板总阻力：D =3680 N3.光滑平板宽1.2m ,长3m 潜没在静水中以速度u =1.2m/s 沿水平方向拖曳，水温为10℃求：（1）层流附面层的长度；（2）平板末端的附面层厚度；（3）所需水平拖曳力。
(5105Re⨯=xk)解：（1）由查表知：t =10℃, υ=1.308×sm /1026-根据=xkReυkX u 0,知X k =0.55m（2）根据：δ=0.3751)(0xu υx ，知δ=0.0572m=57.2mm（3） 根据：Re=υvx 知Re =2.75×106. 则：fC =Re1700Re074.051-=3.196×10-3根据：fDfC=A22u ρ3/17.999,32.12mkg A =⨯⨯=ρfD=16.57N4.在渐缩管中会不会产生附面层的分离？为什么？ 答：不会，因为在增速减压区。
5.若球形尘粒的密度m ρ=2500kg/ m 3，空气温度为 20℃ 求允许采用斯托克斯公式计算尘粒在空气中悬浮速度的最大粒径（相当于Re =1）解：由查表知：=t 20℃,μ=0.0183×10-3Pa.sυ=15.7×10-6m 2/s ，ρ=1.205kg/m 3由Re=υud及u =μρρ18)(2gd m - 可得dυRe =μρρ18)(2gd m -d =6×10-2mm6.某气力输送管路，要求风速 u 0为砂粒悬浮速度u 的5倍，已知砂粒粒径mm d 3.0=，密度ρm =2650kg/m 3 空气温度为20℃，求风速u 0 值。
第八章 绕流运动
2、形状阻力：
流体绕经物体时，物体受到流体所给予的阻力主要包括两部分 即摩擦阻力和形状阻力(或称压差阻力，尾涡阻力)，这两部分之和称 绕流阻力。其中的形状阻力大小取决于漩涡区的大小，即分离点的 位置。
分离点后移，漩涡区减小，则形状阻力减少，摩擦阻力增大；在高 Re时形状阻力比摩擦阻力大许多。因此，工程上减少了形状阻力便 减少了绕流阻力。
c 取不同值，得不同的势函数等值线，称为等势线 c 同理
c 取不同值，得不同的流函数等值线，即流线
对比二函数与流速的关系
ux x y
二式交叉相乘
uy y x
等势线与流线正交
0 x x y y
0
2 ux dy dx
微元体三个面上的平均压强
固体壁面对流体的切力
p pCD p dx x 1 p pAC p dx 2 x
TBD 0dx
pAB p
各表面力在 x 方向的合力
p 1 p p dx d + p dx ds sin 0dx Fsx p x 2 x
汇流流动与源流相反，势函数与流函数则均取负值 Q 称为源（汇）流强度
□ 8.3.3 环流（势涡） 速度环量
y
r θ
2 ru
分速度
ur 0 u 2 r
势函数
x
ur dr u rd 2
流函数
ur rd udr ln r 2
z
将速度势函数带入不可压缩流体的连续性方程：
ux u y uz 0 x y z
2 2 2 2 2 0 2 x y z
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管流附面层
从入口到形成充分发展的管流的长度称 入口段长度，以Xe表示。Xe以后为充分发展 管流
曲面附面层分离现象
1.减压加速区 2.增压减速区 分离点发生在增压减速区 附面层分离后，物体后部形成许多无规则的旋涡，
由此产生形状阻力
解释流线型能减小形状阻力
卡门涡街
物体后面形成有规则的交错排列的旋涡组合
uz dz
流函数
一切不可压缩流体的平面流动,无论有 旋流动或是无旋流动都存在流函数.
函数Ψ称为流函数,则
d
x
dx
y
dy
u y dx ux dy
求流函数
课堂练习
(07港航)假设不可压缩流体平面流场为
ux 2xy x,uy y2 y x2 ,检验此为何种流动?
(A)无此种流动 (B)有旋流动
总摩擦力
Df
C
f
A
u
2 0
2
此时
Cf
0.074 1700 Re0.2 Re
(短板)
长板选用P245的式8-9-7或8-9-8
平板附面层厚度计算
平板层流附面层厚度
5.477 x
u0
平板紊流附面层厚度
1
0.37
u0
x
5
x
曲面绕流阻力计算
绕流阻力包括摩擦阻力和形状阻力,可
用斯托克斯公式计算:
D
无旋流动
流动场中各点旋转角速度等于零的运 动，称为无旋流动 x y z 0
x
1 2
( uz y
u y z
)
y
1 (uz 2 z
uz x
)
z
1 ( uy 2 x
ux y
)
势函数
无旋流动一定有势函数,反之有势则无旋. 函数Φ称为速度势函数,则
d
x
dx
y
dy
z
dz
u x dx
u y dy
gd
系数 Cd 随 Re 而变的值
如果 Re 1
,则
Cd
24 Re
代入得
u
1
18
d
2 m
g
如果 Re 10 ~ 103 则 Cd
13 Re
如果 Re 103 ~ 2 105 则 Cd 0.48
Re 为其它值 Cd 可查下图
升力计算
绕流升力计算
L
CL
A
u
2 0
2
升力系数由实验确定
第八章 绕流运动
本章主要论述理想不可压缩流体平面 无旋运动,以及有关附面层(边界层)的基本 概念和阻力计算. 作为专业的应用之一, 对 固体颗粒在空气中的升降的临界速度----悬 浮速度也进行了分析与讨论.
1.无旋运动 2.绕流运动与附面层基本概念 3.附面层分离及卡门涡街 4.阻力计算 5.悬浮速度 6.升力计算
涡街振动频率计算
斯特洛哈尔公式
fd 0.1981 19.7
u0
Re
Re 250 ~ 2 105
f 为振动频率 解释产生横向振动对工程破坏力
平板层流附面层总摩擦力计算
此时只有摩擦阻力而无形状阻力
总摩擦力
Df
C
f
A
u
2 0
2
此时
Cf
1.46 Re
平板紊流附面层总摩擦力计算
此时也只有摩擦阻力而无形状阻力
悬浮速度分析及计算
绕流阻力 微粒浮力
D
Cd
AuBiblioteka 2 021 8
C d d
2 u02
B 1 d 3g 6
微粒重力 G
1 d 6
3m
g
当D+B>G时，微粒随气流上升
当D+B<G时，微粒随气流沉降
当D+B=G时，微粒处于悬浮状态,此时
1 8
Cd d
2 u 2
1 6
d
3 g
1 6
d
3m g
u
4 3Cd
m
Cd
A
u02
2
D 物体所受的绕流阻力
Cd 无因次的阻力系数
A 物体面积
u0 未受干扰时的来流速度
流体密度
悬浮速度
为了研究在气力输送中,固体颗粒在何 种条件下才能被气体带走;在除尘室中,尘粒 在何种条件下才能沉降;在燃烧技术中,都要 研究固体颗粒或液体颗粒在气流中的运动 条件,这就提出了悬浮速度这个概念.
附面层形成及其性质
平板附面层 二个流区,速度0.99U0处作为两区分界 1.附面区:粘性流体有旋流动 2.势流区:理想流体无旋流体
附面层厚度δ沿流向逐渐增加，层流附 面层转化为紊流附面层临界雷诺数为
Re xk
u0 xk
3.5 ~ 5.0105
附面层意义：将流场划分为两个计算
方法不同区域，即势流区和附面层
(C)平面势流
(D)非定常流动
绕流运动所受的力
在绕流中，流体作用在物体上的力可 以分为两个分量： 1.垂直于来流方向的作 用力，叫做升力；2.另一平行于来流方向 的作用力，叫做阻力
绕流阻力可分为：摩擦阻力与形状阻力。
1.摩擦阻力发生在紧贴物体表面流速梯度很 大的薄层内，这薄层叫附面层或边界层。
2.形状阻力是流体绕曲面等物体时，附面层 发生分离，从而产生漩涡所造成的阻力。 这种阻力与物体形状有关，故称形状阻力。 也叫压差阻力。