第六章幂函数、指数函数、对数函数复习课(36张)
云南省大理州实验中学一轮复习讲义：专题六 对数函数 、 指数函数 、幂函数
2021届高考数学复习专题六 对数、指数、幂函数【考纲要求】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进展化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算5.理解对数函数的概念和意义，能画出详细对数函数的图像，探究并理解对数函数的单调性；6.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；7.纯熟运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．8.理解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像理解它们的变化情况；9.理解指数函数的概念和意义，能画出详细指数函数的图像，探究并理解指数函数的单调性； 10.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【根本考点】考向一：运算考察〔纯熟指数运算、对数运算：定义性质及其运算性质、换底公式〕 【例1】〔2021四川理数〕〔3〕2log 510＋log 50.25＝〔 〕 〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕 2 〔D 〕4【例2】〔2〕设,,1a b c >，那么log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为〔 〕．A ．2B ．4C ．6D ．8 【练习】 〔2021辽宁文数〕〔10〕设25a b m ==，且112a b+=，那么m =〔A 〔B 〕10 〔C 〕20 〔D 〕100【练习】化简2111333324()3a ba b ---÷-= ；【练习】〔2021浙江文数〕2.函数)1(log )(+=x a x f 假设()1,f α= α=〔 〕 (A)0(B)1(C)2(D)3【练习】3.(2021安徽,文3)(log 29)·(log 34)=( ).A.14B.12C.2D.4【提升】 2021年我国人口总数约为14亿，假如人口的自然年增长率控制在1.25%，那么____年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg7 ≈0.845 1) 【提升】函数1()lg 1xf x x-=+，假设()f a b =，那么()f a -= ．【提升】2021陕西文4．6(42)x x --〔x ∈R 〕展开式中的常数项是 〔 〕 〔A 〕20- 〔B 〕15- 〔C 〕15 〔D 〕20〔2021四川理13〕计算21100)25lg 41(lg -÷-=_______．(2021重庆文15) 15．假设实数,,222,2222,a b a ba b c a b c a b c c ++++=++=满足则的最大值是考向二：函数图象性质的考察 类型1：定点问题 【例1】函数)1()(322>+=-+a m ax f x x 恒过点〔1,10〕，那么._________=m 【练习】函数)0,0(,2)1(log )(≠>+-=a a x x f a 恒过点__________. 〔2021浙江理数〕〔10〕设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，那么在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 〔A 〕4 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕10 类型2. 大小比拟〔单调性、有界性、图像法〕 【例1】2021重庆文6．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【练习】〔1〕假设55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，那么( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【例2】设54.04.0,2,4.0lg ===c b a ,那么〔 〕〔A 〕c ＞b ＞a 〔B 〕b ＞c ＞a 〔C 〕a ＞c ＞b〔D 〕a ＞b ＞c〔3〕假设,ln ,ln 2,ln ),1,(31x x x e x ===∈-c b a 那么〔 〕〔A 〕c b a << 〔B 〕b a c <<〔C 〕c a b <<〔D 〕a c b <<【例3】2021〔8〕设14710563log ,log ,log ===c b a ,那么〔〕同真数 〔A 〕c ＞b ＞a 〔B 〕b ＞c ＞a 〔C 〕a ＞c ＞b〔D 〕a ＞b ＞c类型2：定义域、值域、单调性区间求解【例】〔2021湖北文数〕5.函数y =的定义域为〔 〕A.(34,1) B(34,∞)C 〔1，+∞〕D. (34,1)∪〔1，+∞〕 16.【2021高考真题江西理2】以下函数中，与函数31xy =定义域一样的函数为 A ．x y sin 1=B. xx y ln = C.y=xe x D. x x y sin = 【例2】．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值．〔2021重庆文数〕〔4〕函数y = 〔A 〕[0,)+∞〔B 〕[0,4]〔C 〕[0,4) 〔D 〕(0,4)4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，那么a 的值为〔2021山东文数〕(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为〔 〕A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣ 〔2021全国卷1文数〕(7)函数()|lg |f x x =.假设a b ≠且，()()f a f b =，那么a b +的取值范围是〔 〕(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【例3】〔2021辽宁文数〕〔12〕点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是〔 〕 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ 〔C 〕 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 〔2021北京文数〕(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间〔0，1〕上单调递减的函数序号是〔 〕 〔A 〕①② 〔B 〕②③ 〔C 〕③④ 〔D 〕①④ 〔2021广东文数〕3.假设函数xxx f -+=33)(与xx x g --=33)(的定义域均为R ，那么〔 〕A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 【例3】7．函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． 〔1〕判断()f x 的奇偶性；〔2〕假设()f x 在R 上是单调递增函数，务实数a 的取值范围． 【练习】【2021高考真题上海理20】函数)1lg()(+=x x f ． 〔1〕假设1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；〔2〕假设)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =〔]2,1[∈x 〕的反函数.类型3：综合问题〔函数与方程的零点问题〕【例】〔3〕函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1假设a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，那么abc 的取值范围是〔 〕〔A 〕()1,10〔B 〕()5,6〔C 〕()10,12 〔D 〕()20,24【练习】k 为_______________时，k x =-13方程有两解 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象交点个数有_____个. 例3.函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证： 〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数；〔2〕方程()0f x =没有负根． 〔2021天津理数〕〔2〕函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是〔 〕 (A)〔-2，-1〕 (B)〔-1,0〕 (C)〔0,1〕 (D)〔1,2〕 20.【2021高考真题湖北理9】函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．715.【2021高考真题辽宁理11】设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，那么函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8。
知识讲解_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_提高
《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。
知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。
3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。
4．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1)。
【知识网络】【要点梳理】知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r s rs a a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域. (3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上. (4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg2lg5++； (3)222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。
知识讲解_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_基础
《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固编稿：孙永钊 审稿：王静伟【学习目标】1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。
知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。
3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。
4．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1)。
【知识网络】【要点梳理】知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)r s r s a a a += (2)()r srsa a = (3)()rr r ab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.化简与计算下列各式 （1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--． 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】（1）1615；（2）100；(3)2a ． 【解析】 (1)原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1+11610-=1615； (2)原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=5937100331648++-+=100(3) 原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)133241116()()8()100481----+⋅；. 【答案】（1）-27；（2【解析】(1)1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯ 344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭；133⎫=1)1)=⨯==例2.（1）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--；（2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（3）已知：4x =，求：111244311422111x x xx x xx -+⋅⋅+++的值.【思路点拨】题目中的式子有根式、分数指数幂，要先化为分数指数幂以便用法则运算。
高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数高一第一册数学
堂 小
导
学
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
结 提
探
新 知
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究
素 养
其它象限的图象．
课
合
时
作
2．幂函数在第一象限的图象与性质
分
探
层
究 释
(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函
作 业
疑
难 数．
返
首
12/9/2021
课 堂 小
导
结
学 探 新 知
∴1312>1412．
提 素 养
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 课
合 作 探
且－23<－35，
时 分 层
究
作
释 疑 难
∴－23－1>－53－1．
业
返
首
12/9/2021
页
第二十一页，共五十五页。
课
情 景 导 学
(3)0.25－14＝14－14＝212，
堂 小 结 提
返 首 页
第五页，共五十五页。
2．幂函数的图象和性质
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返
首
12/9/2021
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课
情
堂
景
小
导
结
学
提
单元复习第6章幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版必修第一册)课件
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
)
答案 (1)C (2)B
1 -1
解析 (1)函数 y=log2x 的反函数为 y=2 ,故 f(x)=2 ,于是 f(1-x)=2 = 2
,此函
x
x
1-x
数在 R 上为减函数,其图象过点(0,2),所以 C 中的图象符合要求.
8
8
39 -3-9
3-9
(2)由 f(1)=3>0 可排除 D,由 f(-1)=-3<0 可排除 A,又 f(9)= 4 =3- 4 >f(1),所
3.函数与方程
(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相
等实根；当Δ＜0时无实数根.
(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作
函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象
交点的横坐标.
(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.
1
2
由于 f(x)是奇函数,从而 f(x)=- −
1
在(-∞,0)上为增函数.
2 -1
归纳提升对于形如y=af(x)或y=f(ax)的复合函数,要注意转化思想的应用,将
苏教版高中数学必修1第6章幂函数、指数函数和对数函数章末复习课课件
1a
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ x 3 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函 数，则最小的正整数a＝___3__.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 1－a
∴ 3 <0，∴a>1. 又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，且在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)为偶函数， ∴1－a为负偶数，∴a为奇数， ∴最小的正整数a＝3.
例2 (1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝ loga－1x 的图象只可能是
√
函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B， 若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数， 此时 g(x)＝loga－1x是减函数，C，D 都不满足； 若a>1，则f(x)＝ax是增函数， 此时 g(x)＝loga－1x是增函数，C 满足.
(2)已知函数f(x)＝ 2|lnx－x－1，1x|，≤x1>，1，若方程f(x)－k＝0有3个根，则实数k的 取值范围是
A.[0,1]
√C.(0,1]
B.(0,1) D.[1，＋∞)
方程f(x)－k＝0有3个根，即函数f(x)的图象与直线y＝k有3个不同的交点. 作出函数f(x)的图象，如图. 根据图象可得，当0<k≤1时，函数f(x)的 图象与直线y＝k有3个不同的交点，所以 当方程f(x)－k＝0有3个根时，0<k≤1.
反思感悟
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求 交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图 象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
跟踪训练2 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一 坐标系内的图象可能是
考点06指数函数、对数函数、幂函数、二次函数(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员 考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数（教师版）热点一 指数函数、对数函数2.（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12【答案】D【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 3.（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+4.（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.5.（2012年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,22()()f a f b +=_________.【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=，2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==.6.（2012年高考（上海理））已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .7.（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f . (1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.【解析】（1）由22010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，由220lg(22)lg(1)lg11x x x x -<--+=<+，得221101xx -<<+……….3分因为10x +>，所以2112210(1),33x x x x +<-<+∴-<<， 由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<……………………………………….6分【方法总结】热点二 幂函数、二次函数7.（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(0,8)【解析】因为不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a <<.8.（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.【答案】(4,0)-9.（2012年高考（山东理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>10.（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.11.（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负,因此就需要在这个范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应该比12,x x 两个根中较小的大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为24->-,也舍去,当(4,1)m ∈--时,242m m <-⇒<-,综上所述(4,2)m ∈--.【方法总结】【考点剖析】 一．明确要求二．命题方向1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 三．规律总结 1.指数规律总结两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.对数函数规律总结三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结 五个代表函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法【基础练习】1.(教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b【答案】 C【解析】 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1.2.（经典习题）若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值3.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±124．(经典习题)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.5.(经典习题)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【名校模拟】 一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ）（A ）b a c <<（B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）b c a << 【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞，23log (0,1)b =∈，26664221log log log (1,)2c ====∈+∞ 而3622log log >，∴a>c>b ∴故选D2. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<4.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是A. a b +<B. 1122a b >C. ln a ＞ln bD. 0.30.3a b<【解析】A 根据指数幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B 、C 、D 中的表达式成立，不成立即为选项A 中的表达式。
指数函数、对数函数、幂函数 经典课件(最新)
高中数学课件
知识要点梳理
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(一)指数函数 1．根式 (1)n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的________，其中 n>1，且 n∈N*. ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个________数；负数的 n 次方根是一个________ 数，这时 a 的 n 次方根用符号________表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有________个，这两个数互为________．这时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号________表示，负的 n 次方根用符号________表示．正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成________． ③负数没有偶次方根． ④0 的 n(n ∈N*)次方根是________，记作________．
8．对数运算的常用结论 (1)logambn＝________； (2)logab＝________．
答案：mn logab
1 logba
高中数学课件
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高频考点透析
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高频考点 1 指数幂的运算 【例 1.1】 (2019 年济宁测试)化简下列各式：
1 23 (1)[(0.0645)－2.5]3－
数时，幂函数在定义域上为偶函数.
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答案
(一)1.(1)n 次方根
①正
负
n a
②两
相反数
n a
－n a
n ±a
④0
n 0＝0
(2)根指数 被开方数 (3)a |a|
2．(1)1
≠
1 (2)an
n (3)
am
1 (4)
n am
(5)0 没有意义 (6)ar＋s ars arbr
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例5 已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(3-x)(a>0且a≠1). (2)利用对数函数的单调性,讨论不等式f(x)≥g(x)的解集.
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知识辨析
×
√ [解析] 函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,y=2x-3是R上的增函数,故函数
f(x)=ln x+2x-3是(0,+∞)上的增函数.f(1)=ln 1+2-3=-1<0,f(2)=ln 2+2×2-3=ln
2+1>0,所以函数f(x)=ln x+2x-3在区间(0,+∞)上存在一个零点.
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(2)当x∈(0,+∞)时,若三个幂函数y=xa,y=xb,y=xc在同一坐标系 中的图像如图T6-1所示,则a,b,c的大小关系是 ( C )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>b>c D.a>c>b
图T6-1
[解析]由题图知y=xa在(0,+∞)上是增函数,且当x>1时,y=xa的图像在直线y=x
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C
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素养提升
C
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C
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题型四 参数问题与恒成立问题 [类型总述] (1)基本初等函数中的参数问题;(2)不等式恒成立问题的解法.
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例5 已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(3-x)(a>0且a≠1). (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域;素养提升苏教版源自2019）必修第一册素养提升
题型一 幂函数 [类型总述] (1)幂函数的定义;(2)幂函数的图像与性质.
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D
[解析]因为函数f(x)=(m2-2m-2)xm-1是 幂函数,所以m2-2m-2=1,解得m=-1或 m=3.又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以m=3,所以f(x)=x2,从而f(2)=22=4, 故选D.
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
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题型二 函数的图像 [类型总述] (1)作与基本初等函数有关的函数的图像;(2)根据已知函数判断函 数的图像;(3)函数图像的应用.
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B
A
B
C
D
图T6-2
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第六章 幂函数、指数函数、对数函数 本章总结提升
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知识网络
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知识辨析
√ [解析] f(x)=x-2是偶函数,其图像关于y轴对称.
√ [解析] 由图像知结论正确.
√
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知识辨析
×
√ [解析] 根据题意得x2-2x=x,解得x=3或x=0.又x2-2x>0且x>0,所以x=3.
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(2)函数f(x)=(x-x3)2|x|的图像大致是
(B )
A
B
C
D
图T6-3
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(3)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=x2-2xlog2a和g(x)=ax在同一个平面直角坐标系 内的图像可能是( B )
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题型三 指数函数、对数函数性质的综合应用 [类型总述] (1)判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性;(2)基本初等函数的 单调性判断及应用;(3)利用单调性比较大小.
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D
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(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当 x≥0时,f(x)=log2(x+4)-2,则f(-4)= ( B ) A.1 B.-1 C.2 D.-2
的上方,∴a>1;y=xb在(0,+∞)上是增函数,且当x>1时,y=xb的图像在直线y=x的 下方,∴0<b<1;y=xc在(0,+∞)上是减函数,∴c<0.∴a>b>c.故选C.
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B
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(2)设a∈{-1,1,2,3},则使函数y=xa的值域为R且为奇函数的所有a的值为( A )
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考向二 比较大小 例4 (1)若a=log20.5,b=20.5,c=0.52,则 a,b,c三个数的大小关系是( C ) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b
[解析] a=log20.5<0,b=20.5>1,0<c= 0.52<1,则a<c<b,故选C.
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[解析]函数f(x)是定义在R上的奇 函数,则f(-4)=-f(4),又 f(4)=log2(4+4)-2=3-2=1,所以f(4)=-1,故选B.
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D
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C
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x=log34
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A
B
C
D
图T6-4
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[解析]当a>1时,g(x)=ax是增函数,只有C,D满足,此时f(x)图像的对称轴是 x=log2a>0,C,D都不满足,不合题意;当0<a<1时,g(x)=ax是减函数,只有A,B满 足,此时f(x)图像的对称轴是x=log2a<0,只有B满足.故选B.
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1
图T6-5
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(2)已知函数f(x)=4+loga(2x-3)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P,且点P在函数 g(x)=xα的图像上,则α= 2 .
[解析]令2x-3=1得x=2,此时f(2)=4,∴函数f(x)=4+loga(2x-3)(a>0且a≠1)的图 像恒过定点(2,4),即P(2,4).又∵点P在函数g(x)=xα的图像上,∴2α=4,∴α=2.