人教版八年级下册数学：第十六章 二次根式小结与复习
第16章 二次根式小结与复习(教案)八年级数学下册(人教版)
第16章二次根式小结与复习教学目标：1、了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则；2、用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算；3、会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。
教学重难点：重点：二次根式的性质和运算.难点：整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用教学过程：一、回顾与思考本章在数的开方知识的基础上，学习了二次根式的概念、运算法则和加减乘除运算.对于二次根式，要注意被开方数必须是非负数.在二次根式的运算和化简中，要利用运算法则.二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了。
二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用，二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。
至此，我们已经学习了整式(单项式、多项式)、分式、二次根式等代数式的概念和运算，因为字母表示数，所以代数式的运算也就是含有字母符号的算式之间的运算，实际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算.请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？2.二次根式运算的结果必须是最简二次根式.什么是最简二次根式？试举两例.3.二次根式的乘、除法法则是什么？4.积的算术平方根、商的算术平方根等于什么？5.怎样进行二次根式的加减法？6.怎样进行二次根式的混合运算？二、本章知识结构图三、知识点梳理1、二次根式的概念：一般地，形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a ≥0.[易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.2、二次根式的性质3、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含_______；(2)被开方数中不含能___________的因数或因式．4.二次根式的乘除法则：5、二次根式的加减：可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次平方根化简（最简二次根式） 二次根式 算术平方根 基本性质 乘除法则 乘除运算 混合运算加减运算 字母表示数 分配律根式进行合并．6、二次根式的混合运算：有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.四、考题分类题型一：二次根式有意义的条件及性质教材19页复习题16第1题题型二：二次根式的化简教材19页复习题16第2题题型三：二次根式的化简教材19页复习题16第3题题型四：二次根式的实际应用教材19页复习题16第4题、第7题题型五：二次根式的化简求值教材19页复习题16第5题、第6题五、本章思想方法：一、分类讨论思想二、整体思想三、类比思想六、课后作业必做题：教材复习题16第8题选做题：教材复习题16第9题、第10题。
第16章二次根式复习与小结(课件)八年级数学下册(人教版)
知识梳理
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6.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除， 根指数 不变，被开方数 相除.
需要满足什 么条件呢？
a
a
（a≥0，b＞0）
bb
二次根式的除法与乘法中b 的取值范围不同，为什么？
知识梳理
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7.二次根式除法法则的变形：
a a (a 0,b 0). bb 8.最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的运算，可以类比整式的运算进行，在进行运算时， 能用公式的尽量用公式.
课堂检测
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1.二次根式
中，字母a的取值范围是 （ D ）
A. a>
B. a＜
C. a≥
D. a≤
2.使
有意义的x的取值范围是 （ B ）
A.x≥3 B.x≥3且x≠4 C.x≤3 D.x<3
课堂检测
步骤： “一化、二找、三合并”.
知识梳理
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11.二次根式的混合运算:
1.二次根式混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方， 再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的（或者先去括号）.
2.对于二次根式混合运算，实数中的运算律（分配律、结合律、 交换律）运算法则及所有的乘法公式和分式的运算法则仍然适用.
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第16章二次根式复习与小结
知识梳理
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1.二次根式的概念：
一般地，我们把形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
2.如何确定二次根式中字母的取值范围？ ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
八年级数学下册 第十六章 二次根式小结与复习课件2
第十页，共二十三页。
题型四
二次根式(gēnshì)的化简
1 设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 0.54，
则下列表示正确的是( )
A．0.03ab
C B．3ab
C．0.1ab3
D．0.1a3b
[解析] C 因为 2＝a，
0.54＝
15040＝ 1504＝
190×6＝
32· 3· 10
2，
7 2
14 2
∴三角形的面积(miàn
jī)为
1 2
2
14 2
7 2
第十九页，共二十三页。
8. 已知△ABP的一边(yībiān)AB=10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格(chū gé)点△ABP，使三
角形的三边为
5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
B
若点P为线段(xiànduàn)CD上动点.
DP
C
①则AD=__2__ BC=____1
第二十页，共二十三页。
② 设DP=a,请用含a的代数式表示(biǎoshì)AP，BP,则 AP=____(3__a)_2 _1__，BP=_______a_2__4.
③ 当a=1 时，则PA+PB=___2__5 _,
4.下列(xiàliè)各式中，是最简二次根式的是（B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
第十六页，共二十三页。
5.下列各式中那些是二次根式(gēnshì)？那些不是？为什么？
① 15 ④ a2 b2
② 3a
a<0③ x 100
-(a2+1)<0
人教版八年级下册数学《二次根式的乘除》说课教学复习课件巩固
，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
∴
52＞ 54
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
,即 2 13＞-3 6.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
在本章中，
如果没有特
别说明，所
有的字母都
表示正数．
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a,b都必须是非负数.
探究新知
考 点 1 简单的二次根式的乘法运算
计算:
（1） 3 5 ;
解: (1)
(2)
（2）
PA R T
01
学习目标
01
二次根式乘法法则知识点回顾
二次根式乘法法则
• = ≥ 0，b ≥ 0
注意公式成立条件
二次根式乘法法则变形
= • ≥ 0，b ≥ 0
01
探究与思考
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
4
9
4
22
9
32
=
=
4
16
16
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式
都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的
近似值，再进行比较．
巩固练习
八年级数学下册 16 二次根式小结与复习学案 (新版)新
1 第十六章小结与复习【学习目标】1．通过复习理清本章的知识结构和重要知识点．2．总结本章的重要思想方法和技能技巧．【学习重点】二次根式的性质和运算．【学习难点】整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用．情景导入 生成问题知识结构我能建： 二次根式―→(a )2＝a (a ≥0)a 2＝a (a ≥0)―→二次根式的化简与运算—⎣⎢⎢⎡二次根式的乘除二次根式的加减自学互研 生成能力知识模块一基础知识【自主探究】 1．若a≥0，a a 的算术平方根表示为2．当a ≤12时，1－2a 有意义；当a ＜－53时3a ＋5没有意义． 3.（π－3）2＝π－3，（3－2）2，125－20 4.14×48，72÷18＝2，12＋27 【合作探究】1．在15，0.3，3－1，40中最简二次根式的个数是( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知12－n 是整数，那么自然数n 可以是3、8．(请你写出两个) 3．计算：(1)27＋12－45； (2)8＋313－12＋32；(3)(3－2)100×(3＋2)101; (4)(5－2)2＋(5＋1)(5＋3)．解：(1)原式＝33＋23－35＝53－35；(2)原式＝22＋3－22＋32＝322＋323；(3)原式＝[(3－2)(3＋2)]100×(3＋2)＝(－1)100×(3＋2)＝3＋2；(4)原式＝5－45＋4＋5＋45＋3＝17. 知识模块二 二次根式的化简求值【自主探究】已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．解：∵a＝3＋22，b ＝3－22，∴ab ＝1，a －b ＝4 2.2 ∴a 2b －ab 2＝ab(a －b)＝1·42＝4 2.【合作探究】已知m ，m 为实数，满足m ＝n 2－9＋9－n 2＋4n －3，求6m －3n 的值． 解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9≥0，9－n 2≥0，n －3≠0，解得n ＝－3，∴m ＝－23，∴6m －3n ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－3×(－3)＝5. 知识模块三 二次根式的综合应用【自主探究】 对于任意的正数m 、n 定义运算※为m※n＝⎩⎨⎧m －n （m≥n），m ＋n （m<n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( B ) A ．2－4 6 B ．2 C ．2 5 D ．20【合作探究】已知实数x 、y 、a 满足：x ＋y －8＋8－x －y ＝3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．解：根据二次根式的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≥0，8－x －y≥0，解得x ＋y ＝8， ∴3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3＝0，根据非负数的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，3x －y －a ＝0，x －2y ＋a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，a ＝4.∴可以组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12.交流展示 生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 基础知识知识模块二 二次根式的化简求值知识模块三 二次根式的综合应用检测反馈 达成目标【当堂检测】1．如果代数式x x －1有意义，那么x 的取值范围是( D ) A ．x ≥0 B ．x ≠1C ．x>0D ．x ≥0且x≠12．若y ＝x －3＋3－x ＋2，则x y＝9．3．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为3．34．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①②③都是正方形，且正方形①②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积．解：阴影部分的面积为(2－3)[3－(2－3)]＝(2－3)(3－2＋3)＝(2－3)(23－2)＝63－10.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
人教版八年级数学下册第十六章二次根式归纳与复习
分母有理化
分母有理化
4 3 3.
二次根式的化简与求值
有条件的二次根式的化简与求值问题是 代数式变形的重点，也是难点，这类内容包括 了整式，分式，二次根式等众多知识，且往往 联系着分解变形、整体代换等重要的数学思想 方法，其解题的基本思路：
1．直接代入：直接将已知条件代入到待化 简求值的式子中；
2．变形代入：适当的条件，适当的结论， 同时变形条件与结论，再代入求值．
第十六章 二次根式
归纳与与复习
二次根式
我们将数的范围扩大到实数的同时，代数 式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们 初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成， 相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因 此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛 试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更 深层的数学学习都有深远的意义．
复习目标：
1.理解二次根式的概念，知道被开 方数必须是非负数的理由. 2.了解二次根式的概念. 3理解二次根式的性质. 4.了解二次根式的加、减、乘、除 运算法则，会用它们进行简单的四 则运算. 5.了解代数式的概念，进一步体会 代数式在表示数量关系方面的作用.
知识点归纳:
知识点归纳:
典题精讲
A
典题精讲
计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
解：(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
(2)根式的化简与求值
二次根式的化简与求值
人教版数学八年级下册第16章二次根式知识与小结教案
5.合作交流：在小组讨论与合作中，培养学生表达、倾听、协作的能力，提高沟通与交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次根式的定义与性质：理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本性质，如乘除法、加减法的运算规则。
（2）最简二次根式的化简：学会将复杂二次根式化简为最简形式，理解化简的步骤和技巧。
举例：化简二次根式$\sqrt{18}$，得出最简形式$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
（3）二次根式的混合运算：掌握二次根式的乘除、加减运算，能解决混合运算问题。
举例：计算$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{8}$，并得出结果。
最后，我注意到在总结回顾环节，有些学生对二次根式的知识点仍然存在疑问。为了帮助学生更好地巩固所学知识，我计划在课后加强个别辅导，针对学生的疑问进行解答，确保他们能够真正掌握二次根式的相关知识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的乘除运算和最简二次根式的化简这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用二次根式计算不同形状的面积。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对二次根式的概念和性质掌握得还算不错，但在具体的运算和应用上，部分学生还存在一定的困难。我想针对以下几个方面进行反思：
首先，关于二次根式的乘除运算，我觉得我在讲授过程中可能没有讲得足够细致，导致部分学生在运算时出现错误。在今后的教学中，我需要更加关注这一部分，通过更多例题和练习，帮助学生熟练掌握乘除运算的规则。
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(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a(a 1)
a2 a
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和(3x y 1)2均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0,
∴x-1=0, 3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
解:(1)由题意得3a 2 0，a 2； (2)由题意得1 2a 0，a 1；3
2 (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数；
a2
a
0
a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
(2)被开方数中不含能___开__得__尽__方__的因数或因式．
4．二次根式的乘除法则：
逆用也
乘法： a g b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)； 适用.
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
第十六章 二次根式
小结与复习
要点梳理
1．二次根式的概念 一般地，形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则 就没有意义.
2．二次根式的性质:
a 2 a a 0;
a a＞0，
C.5个
D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x;
(2) x 5 1 . 3 x
解：(1)
由题意得
x 4≥0,
4-x≥0，
∴x=4.
(2)
由题意解得 - 5≤x＜3.
考点二 二次根式的性质 例2 若 x 1 (3x y 1)2 0,求 5x y2 的值.
3 5
1 51; 15 5
(3)
2
65
2
6 2
6 5 52 31 10
6;
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算 顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有 括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运 算律和乘法公式简化运算.
针对训练
6.下列运算正确的是
（C ）
A. 2 3 5
B.2 2 3 2 6 2
C. 12 3 2
D.3 2 2 3
7. 若等腰三角形底边长为 12cm ，底边的高为
( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm2 .
8. 计算：
(1) 24 1 4 1 (1 2)0; (2) 3( 2 3) 24 | 6 3 | .
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
针对训练
9
.
先化简，再求值：1
a2 a2 4
a2
a2 a 4a
4
,其中
a
2.
a2 4 a 2 a(a 1)
a≥0， (4)由题意得 a 1 0, ∴a≥0且a≠1.
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
x2 2x 1
中，一定是二次根式的个数有
（ B）
A.3个
B.4个
3
8
解：(1)原式
24 1 4 2 1 2 2
3
4
2
2;
(2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
考点四 二次根式的化简求值
x2
y2
例5 先化简，再求值： x y x y ，其中
x 1 2 3, y 1 2 3. 解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代
入数值计算即可.
3.若实数a,b满足| a 2 |
b
4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的
结果是 2 .
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
(1)7;
(2)x2 1;
解：(1)7
2
7;
(3) 1 . 11
2
(2)x2 1= x2 1 ；
2
(3)
1 11
=
1
11
.
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
(2)5 15
3 5
15;
2
(3) 6 5 ;
解：(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
(2)5 15
3 5
15 5 15
3 5
1 5 15 15
1 15