高二数学数论与或然数学的发展
数学中的数论和离散数学
数学中的数论和离散数学
数学是一门抽象而古老的学科，从古埃及的金字塔到现代的计算机技术，数学无处不在。
数学研究的对象非常广泛，其中有两个重要的分支是数论和离散数学。
数论是研究整数性质的学科，它主要关注整数、质数以及它们之间的关系。
数论已经发展了几千年，最早的数论研究可以追溯到公元前2000年前后的古代埃及和古代巴比伦。
在古代，数论主要应用于日历、财务和地理测量领域。
而现代数论的研究已经发展到了更加复杂的领域，包括密码学、椭圆曲线和素数分布等等。
数论中的许多问题至今仍未得到解决，例如哥德尔不完备定理和黎曼假设等。
离散数学是一门基础数学学科，它研究的是非连续的数学对象，例如图论、集合论和逻辑学等。
离散数学的发展起源于20世纪初期，而在计算机科学中具有重要地位。
离散中几个经典的问题包括图着色和旅行商问题，它们的解决对于计算机科学领域至关重要。
此外，离散数学也涉及到概率、统计和信息论等方面，在现代科学中也发挥了重要作用。
数论和离散数学深度相连，它们中的许多问题有着共同点。
例如，两者都致力于研究排列、组合和概率等数学问题，而这些问题在实际应用中非常重要并有广泛的应用。
同时，它们也互相补充，数论中经常会涉及到离散数学的知识和工具，例如序列生成函数和欧拉回路等。
离散数学也借鉴了数论研究的思想，例如离散的概率模型和哈希函数等。
总的来说，数论和离散数学虽然研究的对象有所不同，但在许多方面存在着相互联系。
数论和离散数学为我们提供了许多工具和思想，可以帮助我们解决实际问题和创新发展。
随着科技的进步和研究的深入，数论和离散数学的发展将不断推进和完善。
演变过程从数论到论的数学发展
演变过程从数论到论的数学发展数学是一门古老而复杂的学科，它包含了众多的分支和领域。
在数学的历史中，从数论到论的发展演变过程承载了人类智慧的积累与创新。
本文将从数论的起源开始，逐步追溯到论的发展，探讨数学在不同阶段的演变和突破。
一、数论的起源数论是研究整数性质的数学分支，起源于古代世界各地。
早在古代埃及、巴比伦和印度，人们就对数和数字进行了一些探索。
数论的基础概念和方法开始于古希腊，毕达哥拉斯学派提出了诸如质数、完全数等概念，建立了一些基本定理，奠定了数论的基础。
在中国，古老的《周髀算经》中也包含了一些数论的内容，如《针芥算术》。
这些起源性的工作为后来数论的发展打下了基础。
二、数论的发展数论的演变过程是一个循序渐进的过程。
最早的数论研究集中在整数的性质和分解上，如欧几里德算法和辗转相除法的提出，催生了很多重要的定理。
到了17世纪，费马和欧拉等数学家开始研究数论中的一些难题，如费马大定理和欧拉函数等。
他们的贡献极大地推动了数论的发展。
19世纪，高斯提出了二次剩余定理和高斯整数等概念，奠定了代数数论的基础。
到了20世纪，数论与其他数学领域的交叉研究更加频繁，如解析数论和概率数论的兴起，使得数论的发展愈发丰富多彩。
三、演变至论的数学发展在数论的基础上，人们开始研究更加抽象和广泛的数学概念，逐渐进入到论的数学发展阶段。
19世纪末20世纪初，集合论和公理化方法的兴起使得数学的基础更加严谨和统一。
在公理化方法的指导下，数学家们开始构建各种数学分支的理论体系，如代数学、几何学、拓扑学等。
这些不同领域之间的交互作用和相互影响，使得数学的发展呈现出了前所未有的活力和多样性。
论的数学发展的重要里程碑之一是皮亚诺在数论中引入了形式化的符号系统，将数论的推理和证明过程归纳为一种形式化的符号系统，从而奠定了逻辑推理在数学中的地位。
通过数论到论的发展演变过程，我们可以看到数学在不同历史时期的发展轨迹和思维方式的转变。
从最初的观察和计算，到后来的定理证明和公理系统的构建，数学经历了一个越来越严密和抽象的过程。
数学中的数论与代数
数学中的数论与代数数学作为一门学科，包含了众多的分支，其中数论和代数是两个重要的领域。
本文将探讨数学中的数论与代数，并分析它们在数学研究和实际应用中的作用。
一、数论数论是研究整数的性质和结构的数学分支。
它从整数的基本性质出发，探索了诸多数学规律。
数论的发展可以追溯到古希腊时期，早期的数论研究主要关注素数与因数分解等基本性质。
而随着数学的发展，数论逐渐涉及到更加深入的领域。
1. 亲和数与完全数亲和数是指两个数，其中一个数的因子之和等于另一个数，而另一个数的因子之和也等于第一个数。
例如，220和284就是一对亲和数。
完全数是指一个数的因子之和恰好等于它本身。
例如，6是一个完全数，因为1+2+3=6。
亲和数与完全数是数论中的重要研究对象，研究这些数的性质不仅有助于深入理解整数的结构，还有实际应用价值。
2. 素数与素数分解素数是只有1和自身两个正因数的整数，如2、3、5、7等。
素数的研究一直是数论的一个重要方向。
素数分解是将一个合数表示为若干个素数的乘积，它在加密算法、因数分解和组合数学等领域具有广泛的应用。
通过素数分解，我们可以了解一个数的因子结构，进而应用于密码学、编码理论等实际问题中。
二、代数代数是研究数学结构及其运算规则的一门学科，它通过使用符号和代数表达式来研究数学对象。
代数可以分为多个分支，如线性代数、群论、环论等。
在数学中，代数在解决各种实际问题时具有重要的作用。
1. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性映射的代数学科。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
通过线性代数，我们可以对线性方程组进行求解，进而解决实际问题。
线性代数在图像处理、数据分析和机器学习等领域都有着广泛的应用。
2. 群论群论是研究代数结构中的群的性质和结构的分支。
群论在密码学、量子力学和几何学等领域有重要应用。
例如，密码学中的公钥密码体制就是基于群论的数学原理设计出来的。
3. 环论环论是研究环的性质和结构的分支。
演变过程从代数到数论的数学发展
演变过程从代数到数论的数学发展数学作为一门古老而迷人的学科，经历了漫长的历史进程，从代数学的发展逐渐转向数论研究。
本文将对这一数学发展的演变过程进行探讨，带领读者了解数学从代数到数论的发展历程。
一、代数学的崛起代数学作为现代数学的基石之一，最早可以追溯到古希腊时期。
古希腊人可以称为"几何学家"，在数学发展中，几何学成为主导。
然而，在公元前3世纪欧几里得《几何原本》的问世后，代数学开始崭露头角。
欧几里得的《几何原本》被认为是公元前300年左右最重要的数学著作之一。
这本书将几何学和代数学联系在一起，将数学推向了一个崭新的阶段。
欧几里得提出了多个代数问题，例如在现在被称为“欧几里得算法”的问题中，他研究了带有两个未知数的二元一次方程，并找到了求解方法。
随着时代的变迁，代数学经历了一系列的发展和演变。
在中世纪，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨（Muhammad ibn Musa）的贡献使代数学得以进一步发展。
他们将印度的数字和阿拉伯的代数方法结合起来，推动了代数学的研究。
印度的贡献是十分重要的，他们发明了零的概念和十进制系统。
代数学的发展在文艺复兴时期得到了进一步的推动。
文艺复兴时期的数学家们致力于解决各种各样的代数问题，并开创了代数的新领域。
其中尤以文艺复兴时期的数学家费马（Pierre de Fermat）和笛卡尔（René Descartes）的贡献最为突出。
费马提出了至今未解的费马大定理，而笛卡尔创造了解析几何学，将代数问题转化为几何问题的研究。
二、数论的兴起随着代数学的发展，数论逐渐成为数学研究的重要方向。
数论是研究整数的性质和关系的数学分支，与代数学有着密切的联系。
数论在欧几里得时期就开始崭露头角，例如欧几里得的《几何原本》中就提到了欧几里得算法等与数论有关的问题。
然而，数论真正成为独立的学科要等到19世纪。
在这个时期，数论的研究重点逐渐从代数问题转向了整数问题，开启了数论的黄金时代。
数论研究动态与趋势
数论研究动态与趋势数论是数学的一个重要分支，研究整数的性质和关系。
自古以来，数论一直是数学研究的热点之一。
随着科学技术的发展和人们对数学深入理解的提升，数论研究也在不断发展。
本文将探讨数论研究的一些动态和趋势。
一、数论的历史回顾数论的历史可以追溯到古希腊时期。
毕达哥拉斯学派是最早研究数论的学派之一，他们发现了许多整数的性质和规律。
在欧几里得的《几何原本》中，数论开始得到系统的发展。
随后，数论的研究逐渐深入，并与其他数学分支相互交叉。
二、数论的应用领域数论不仅仅是一门纯粹的数学学科，它还有广泛的应用领域。
其中一个重要的应用领域是密码学。
在现代信息社会中，保护数据的安全至关重要。
数论中的素数、模运算等概念被广泛应用于密码学算法的设计和分析中。
另外，数论还在编码理论、通信系统等领域有重要应用。
三、数论的研究动态1. 素数分布问题素数是数论研究的核心内容之一。
素数分布问题一直是数学界的难题之一。
数学家们一直在探索素数的分布规律，如素数定理、孪生素数猜想等。
近年来，数学家们通过大规模计算和数值模拟，取得了一些重要的进展，但仍然有许多问题有待解决。
2. 算术基本定理算术基本定理是数论中的经典定理之一，它指出每个大于1的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
数学家们一直在研究算术基本定理的推广和相关问题。
例如，费马大定理是算术基本定理的一个重要推广，它指出对于大于2的整数n，不存在满足a^n + b^n = c^n的正整数解。
费马大定理经过数学家们的努力，于1994年被安德鲁·怀尔斯证明。
四、数论的研究趋势1. 算法和计算机辅助证明随着计算机技术的发展，数论研究中的算法和计算机辅助证明越来越受重视。
数学家们通过计算机的帮助，进行大规模计算和数值模拟，加速了数论研究的进程。
同时，计算机辅助证明也为数论研究提供了新的思路和方法。
2. 数论与其他学科的交叉研究数论与其他学科的交叉研究是数论研究的一个重要趋势。
对数论的介绍
对数论的介绍（实用版）目录1.数论的定义2.数论的发展历程3.数论的分支4.数论的应用领域正文数论，作为数学的一个重要分支，主要研究整数、分数、小数等数的性质和规律。
它不仅涉及到算术、代数、几何等多个数学领域，还与物理学、计算机科学等学科有着密切的联系。
下面，我们来详细了解一下数论。
首先，我们来了解数论的定义。
数论，又称整数论或算术，主要研究整数及其相关性质的数学分支。
在数论中，研究者们关注整数的加法、减法、乘法、除法等运算，以及整数的性质，例如素数、同余、最大公约数、最小公倍数等概念。
接下来，我们来回顾一下数论的发展历程。
数论作为数学的最早分支之一，其发展历程悠久。
早在古希腊时期，欧几里得、埃拉托色尼等数学家就开始研究数论。
在我国，古代数学家也对数论有所贡献，例如《九章算术》中就包含了许多数论知识。
随着数学的发展，数论也不断地拓展和深化，涌现出了许多重要的理论和方法。
然后，我们来介绍一下数论的分支。
数论可以分为多个分支，其中最重要的包括整数论、代数数论、解析数论、几何数论等。
整数论主要研究整数的性质和规律，如素数分布、同余、最大公约数、最小公倍数等；代数数论则研究代数结构和数域，例如环、域、模等；解析数论则运用解析几何、微积分等工具研究数论问题，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等；几何数论则利用几何方法研究数论问题，例如费马大定理的证明等。
最后，我们来看一下数论的应用领域。
数论在许多领域都有广泛的应用，例如密码学、计算机科学、物理学、化学等。
在密码学中，数论的一些概念和方法，如模运算、离散对数等，被广泛应用于加密和解密；在计算机科学中，数论算法如欧拉算法、快速傅里叶变换等，对于大数计算和数据处理具有重要意义；在物理学、化学等领域，数论方法也被应用于解决一些实际问题，如量子力学中的算子理论、化学中的分子轨道理论等。
总之，数论作为数学的一个重要分支，具有丰富的理论体系和广泛的应用领域。
数学趣史数论的发展与应用
数学趣史数论的发展与应用数学是一门深奥而有趣的学科，其历史悠久，由许多学科组成，其中数论是数学的一个重要分支。
本文将探索数论的发展历程以及其在实际应用中的重要性。
一、数论的起源和发展数论作为一个学科最早可以追溯到公元前六世纪的古希腊时期。
毕达哥拉斯是数论研究的先驱，他提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边长的平方等于两直角边长的平方和。
这个定理不仅为几何学奠定了基础，而且也是数论领域的一个重要成果。
随着时间的推移，数论逐渐发展壮大。
欧几里得提出了欧几里得算法，该算法被广泛应用于计算两个整数的最大公约数。
在中国，中国剩余定理的发现是数论发展的一个重要里程碑。
此定理可解决一类特殊的同余方程组问题，并被应用于密码学、编码理论等领域。
数论在十八世纪和十九世纪得到了更大的发展。
数论的先驱欧拉做出了许多重要的贡献，如欧拉定理和欧拉函数。
高斯则提出了高斯整数，开创了代数数论的研究方向。
二、数论的重要性与应用1. 密码学密码学是数论的一个重要应用领域。
通过使用数论中的大数质因子分解和模运算等概念，可以设计出安全可靠的密码算法。
RSA加密算法就是基于数论的一个重要应用，它广泛应用于信息安全领域，保护着许多敏感数据的安全传输。
2. 编码理论编码理论是数论的另一个重要应用领域。
在通信中，为了提高信息传输的可靠性和效率，需要设计合适的编码方案。
而数论中的编码理论提供了许多有效的方法和算法，如哈弗曼编码和纠错码等。
3. 数字签名与认证数字签名和认证技术是现代通信领域的重要保障。
通过利用数论中的哈希函数、离散对数等概念，可以实现对信息的唯一性和完整性认证，防止信息被篡改和伪造。
4. 数论和图论的关系数论和图论有着紧密的联系。
数论中的图论应用研究了很多关于图的性质和结构的问题，比如图的着色问题和哈密顿图等。
图论在网络设计、路由优化等领域发挥着重要的作用。
5. 数论在密码破解中的应用数论不仅应用于密码学中的加密算法，也同样应用于密码破解中。
高二数学学科中的学科发展与应用
高二数学学科中的学科发展与应用随着社会的不断发展和科技的日新月异，数学作为一门基础学科，在高二阶段的学习中扮演着非常重要的角色。
本文将探讨高二数学学科的发展以及其在实际应用中的作用。
一、数学学科的发展数学作为一门学科，其发展历史可追溯到古代文明时期。
古希腊的毕达哥拉斯定理、欧几里得几何等，为数学学科的发展奠定了坚实的基础。
随后，数学逐渐发展为一门独立的学科，并在中世纪的阿拉伯地区得到了进一步的发展和推广。
在现代，数学的学科发展进一步深入。
不仅在纯数学领域如代数学、几何学等方面取得了巨大的突破，同时在应用数学领域也有了长足的发展，为实际问题的解决提供了有力的工具。
例如，微积分的发展使得物理学、经济学等领域的问题得到了新的解释和解决方法，概率论和统计学的研究成果为风险评估、市场分析等提供了理论支持。
二、高二数学学科的发展在高二阶段，学生主要学习的数学内容包括代数、几何、函数与图像、三角学等方面的知识。
这些知识既是对学生前一阶段基础知识的延续和拓展，也是为学生今后深入学习数学打下坚实的基础。
高二数学学科的发展主要体现在两个方面。
首先，学科内容的拓展。
高二数学不再局限于基础知识的学习，还涉及到更多的应用问题。
例如，通过引入函数与图像的概念，学生可以更好地理解实际问题中的关系，从而解决问题。
而且，高二数学还引入了概率与统计的内容，使学生能够分析和解释实验数据，并推断未知情况的可能性。
其次，学科方法的改进。
高二数学教学注重培养学生的问题解决能力和创新思维。
传统的机械计算已经不能满足现代社会对数学人才的需求，因此高二数学教学强调培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。
这些方法的引入使学生能够更好地将数学应用于实际问题的解决中。
三、高二数学学科在实际应用中的作用高二数学学科的学习不仅仅是为了应付考试，更是为了将数学知识应用于实际生活中的问题解决。
高二数学在实际应用中扮演着不可或缺的角色。
首先，高二数学在科学研究中的应用不可忽视。
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陈景润（1933~1996）简介
图7.1华罗庚（右）与陈景润（左）
7.1.3费马最后定理
费马猜想：对每个正整数n≥3，方程xn + yn = zn均没有正整数解（x, y, z）。 费马本人利用无限下降法证明了n=4时，费马猜 想成立。 1825年年仅20岁的德国数学家狄利克雷和年过 七旬的法国数学家勒让德各自独立地证明了n = 5的情形，1839年法国数学家拉梅证明了n = 7 的情形。
费马猜想是只“会下金蛋的鹅”
1966年菲尔兹奖获得者、英国数学家阿蒂亚（1929~） 认为：“与其它自然科学的情况一样，数学中的一 些发现也要经过几个阶段才能实现，而形式证明只 是最后一步。最初阶段在于鉴别出一些重要的事实， 将它们排列成具体含义的模式，并由此提炼出看起 来很有道理的定律或公式。接着，人们用新的经验 事实来检验这种公式。只是到了此时，数学家们才 开始考虑证明问题。”
数论与或然数学的发展
7.1数论
7.1.1素数分布
费马数Fn = +1, n = 0,1,2,… n = 0，1，2，3，4时，Fn是素数。人们进而 希望解决的问题是：是否存在着无限多个费马 素数。这也是一个至今未解决的难题
梅森数Mp = 2p－1,其中p为素数 已知道的梅森素数共34个，其中从p =521开始的素数Mp是 1952年以后用计算机陆续发现的 检验梅森数是否为素数的方法称为卢卡斯—莱默检验,例 如, 用卢卡斯—莱默检验判断M5是否为素数，因M5=25－ 1=31,于是可作下述计算： U（0）=4， U（1）=（42－2）（mod31）=14(mod31)=14, U(2)=(142－2)(mod31)=194(mod31)=8, U(3)=(82－2)(mod31)=62(mod31)=0 由于U（3）= 0，M5必为素数。
德国的数学家库默尔（1810~1893）利用理想数的 概念，证明了对于 100以内的所有素数，都能使 费马猜想成立。 志村－韦伊—谷山猜想——费马猜想的等价命题 怀尔斯的论文“模曲线和费马最后定理” （1994 年）——费马猜想终于成为定理，被称为费马大 定理或费马最后定理
7.1.4 让我们教猜想吧
费马的解法
分别用0、1代表A、B在一次投骰子时成 为获胜者，然后计算0、1两种字母在每 次取4个的16种排列： 0000 0001 0110 1101 1000 1100 0101 1011 0100 1010 0011 0111 0010 1001 1110 1111 在这16种排列中，0至少出现2次的情况 有11种，而1至少出现3次的情况有5种。 由此费马认为，赌金应按11：5来分配。
7.1.2 陈氏定理—数学皇冠上的明珠
哥德巴赫猜想(1742年) 每个偶数都是两个素数之和； 每个奇数都是三个素数之和
哥德巴赫猜想的研究进展
数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼猜想正确 的前提下，有条件地证明了每个充分大的奇数都是三个奇素 数之和以及几乎所有偶数都是两个奇素数之和。 维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想， 即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和 布朗(挪威1919年)证明了：每个大偶数都是两个素因子个数 均不超过9的整数之和（记为9 + 9，记号k + l表示大偶数分 解为不超过k个奇素数的积与不超过l个奇素数的积之和，下 同） 布赫夕塔布的4 + 4（1940）、瑞尼的l+c (c为一不确定大数) （1948）和库恩的a+b (a+b≤6)(1954); 王元的2+3（1957）和潘承洞的1+5（1962），到1965年，欧 洲数学家邦别里等三人差不多同时证明了1 + 3；1966年，中 国数学家陈景润宣布证明了1+2（1973年发表详细证明）
利用因数表研究素数
拉恩于(1659年)发表了2.4万以内的因数表； 佩尔(1668年)扩大至10万； 费尔克尔(1776年)给出了40.8万以内的一切数 的因数表, 19世纪不少学者算出了1000万以内的所有数的 因数表,其中布拉格大学的库利克为此花费了20 年的业余时间
素数定理
若用π（n）表示不超过n的素数的 个数。当n→+时,= +。人们可以发现： 顺着自然数的序列，越往后素数的“密 度” π（n）/ n就变得越小
棣莫弗—拉普拉斯定理。又称为“中心极限定 理” 拉普拉斯（1812）明确表述了概率论的基本定 义和定理。给出了概率的古典定义，广泛应用了分析 工具处理概率的问题，将以往零散的研究成果系统化， 并将概率论的研究方法从组合技巧发展到分析方法， 使概率论研究进入了一个新的发展阶段。
19世纪下半叶，俄国数学家切比雪夫 （1821~1894）与他的学生马尔可夫 （1856~1922）利用极限理论研究概率论，取 得了突出的成就。建立了关于独立随机变量序 列的大数定律，使贝努利和泊松的大数定律成 为其特例。切比雪夫还将棣莫弗—拉普拉斯极 限定理推广为更一般的中心极限定理。“马尔 可夫链”则是概率论中的重要理论 概率论在整个18与19世纪成了热门学科，
英国数学家、生物学家皮尔逊（1857~1936）
是使用数学方法系统研究生物统计 的第一人。他潜心研究数据的分布理论， 并先后提出标准差、正态曲线、概率、 相关等一系列数理统计学名词和概念。 致力于大样本的研究，在第一次世界大 战期间，皮尔逊还用统计方法处理过大 量的与战争有关的特殊计算。
英国数学家、化学家戈塞特（1876~1937）
Hale Waihona Puke 在两个技巧相当的赌徒A和B之间进 行赌博，A获得2点或2点以上时为 获胜者，B则需获得3点或3点以上 时为获胜者。如果通过四次投骰子 后就停止赌博，问此时如何分配赌 金。
帕斯卡的解法
帕斯卡利用自己对杨辉三角（见第二章）的研 究这样解决这个问题：如果用表示0出现四次 的情况数，表示0出现三次的情况数等等。于 是上述点问题的解是： （++）：（+）=（1+4+6）：（4+1）=11： 5。 在一般情况下，若A需要至少m点取胜，B需要 至少n点取胜，则可选择扬辉三角的第m+n行， 求出该行中的前n个元素和α与后m个元素和β， 并按α：β之比来分配赌金。
推测数学家的成功范例之一是印度数学 家拉马努金（1887~1920） 波利亚认为，在数学教育中，“证明与 猜想，这两类推理即论证的与合情的” 都必须教给学生，“在有些情况下教猜 想比教证明更为重要。”因此，波利亚 强烈的呼吁：“让我们教猜想吧！”
7.2 概率论
7.2.1 点的问题及数学期望
概率论源于15世纪下半叶的博奕问题的研究。 点的问题（1654年）
他在酿酒公司担任酿造化学技师期间， 开创小样本统计理论， 1908年，提出 了t分布函数、t检验，此举成为统计推 断理论发展史上的里程碑。
美国数学家弗歇（1890~1962）
他是另一个数理统计的奠基人。他从事数理统计在 农业科学和遗传学中应用的研究。开创了试验设计、 方差分析，并确立了统计推断的基本方法。20世纪 30—50年代，弗歇成为数理统计学研究的中心人物 并建立了自己的学派。他所研究的成果，实用价值 却很大。在他的手里，数理统计学脱离生物计量学 的范围获得独立。他所提出的z分布由他的学生改 进后被称为F分布（用他的名字Fisher的第一个字 母命名），现在广泛使用的方差分析、实验设计、 参数估计
1928年原籍波兰的美国数学家奈曼 （1894~1981）和K· 皮尔逊之子E· 皮尔逊建立了
严格的假设检验理论。 1946年瑞典数学家克拉梅尔出版了《统计数 学方法》，这部书收集了半个多世纪以来的数 理统计研究成果，它标志着数理统计作为一门 独立的数学分支正式确立。 第二次世界大战中，由于军事的需要，数学 家沃尔德（1902~1950）创立了“序贯分析 法”，许多数理分支，如参数估计，都受到这 种理论的影响而得到发展。 1940年代之后，数理统计的学派开始多元化， 美国逐渐成为又一个数理统计学的研究中心。
958年菲尔兹奖获得者、突变理论的创立者、 法国数学家托姆用半开玩笑的态度说：“严格 性是一个拉丁名词。我们会想起僵死 （rigormorits），即僵化的尸体。我要把数 学分为以下的三类：第一，以婴儿摇篮为标记。 这是‘活的数学’允许改变、澄清、完成证明、 反对、反驳。第二，以十字架为标记。这是坟 墓上的十字架。作者声明它已完全严格，具有 不朽的正确性。这类工作将构成‘坟墓数学’。 第三，以教堂为标记。这是外部的权威，由高 级教士组成，判断哪些工作已成为‘坟墓数 学’。”
7.2.3 概率论的公理化
贝特朗（法国，1899年）提出的概率论 悖论，将矛头直指概率论基本概念
• 20 世纪初，由勒贝格创立的测度论
和积分论为概率的研究提供了新的手段 • 柯尔莫戈洛夫（前苏联，1933年）建 立概率论的公理化体系
7.3 数理统计
数理统计是通过样本数据的分析预测整体 状态的数学理论与方法。该分支研究的数 据带有随机性，因此，它与概率研究有着 密切的联系 数理统计则起源于17至18世纪地质与生物 进化统计的研究，在20世纪形成了用数学 方法研究统计规律的专业分支，是形成较 晚的数学分支
/ 北京保安
望咯/没存在想到壹向自诩君子の方心远被对方壹喝斥/连话都不敢说咯/就这样着本人の同伴送到虎口/刘荤尔那双眸子里毫无生机/滚滚热泪不断从眸子里面流淌出来/整佫人仿佛失去咯全身の力量似の/在这寂静压抑の空间/她站立不稳/抓着壹张凳子才没存在摔下去/刘荤尔望咯方心虎 壹眼/它壹直喜欢本人/曾经扬言可以为她去死/可相信此刻却也避开她の目光/刘荤尔心如死灰/咬着嘴唇/嘴唇咬出猩红の血液/而就在刘荤尔认命/对着素钗惨然壹笑准备跳冷江时/却发现在素钗の身后/壹佫少年缓缓の跑出来/依旧相信那副慵懒の模样/第六部分为美出头刘荤尔捂着嘴巴 /原本毫无生机の眼里/露出咯不敢置信之色/流淌の如同溪流の泪水猛然止下/脑袋壹片混沌//)||任她如何猜测/也不能想到会相信这佫