北京科技大学有限元总结

科技大学2009—2010学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题__________________ 学号______________________班级______________ 成绩________________ 说明：1--5题为笔试题，每题10分。

上机题结合实验报告共50分。

1、 简述弹性力学四边形四节点等参元的收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成的总刚度矩阵的性质。

在单元分析已经提出有限单元解的收敛性要求, 即, 单元必须是完备的和协调的。

对于等参单元: 1.完备性:对于C0型单元,由于等参单元的形函数中包含有常数项和线性项,满足完备性的要求。

2. 协调性:由于单元之间的公共边上有完全相同的节点, 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数均采用相同的插值函数加以确定。

因此, 只要在划分网格时, 遵守单元选择和节点配置的要求, 则等参单元满足协调性的要求。

2. 总刚的性质1）对称性2）奇异性，需引入合适的位移约束。

3）稀疏，（存在许多零元素）4）非零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优2、 分析图示的两个单元在什么条件下其连接关系正确。

要求说明所采用单元的类型和连接方法。

采用四边形等参元附加多点约束方程过渡。

4边形5节点Serendipity 过渡单元约束方程：u 6=(u 2+u 3)/23、对于右图所示三节点网格，设每个节点具有一个自由度。

其： 最大带宽= (9-1)*1=8 最大波阵宽=31,2,10 9,2,10 9,2,3 9,8,3 4,8,3 .4、某非协调板单元，单元长度为2⨯2，节点基本未知量为：()(),,,(1,2,3,4)Ti i i iwww i y x φ⎡⎤∂∂=-=⎢⎥∂∂⎣⎦在图示的坐标系下，其关于w 的插值函数形式为：其中： ()()()()()[]4411,,11T i i i i i i i i w w w N N w y x ξηξηφξηξη==⎡⎤∂∂==-∈-⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑，，，，，；()2220000i 0001[(+1)(+1) 2(+1)(+1)(1)8i N ξηξηξηηξηη=++--+-单元构造示意图43 1试：（1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？（2）说明此插值函数具有什么基本性质？Hermite 族插值函数插值函数及其导函数均具有δij 的性质。

5、三维实体元如图所示。

根据已知形函数，写出它们在图示坐标系下是哪个节点形函数，依此规律写出节点7、18的形函数形式。

22 23N7=1/64[-10+9（x^2+y^2）]（1+x ）(1+y)(1-z)N18=9/64(1-x^2)(1+9z)(1+x)(1+1/3y)科技大学2010—2011学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题_______________学号_______________班级______________ 成绩________________ 说明：1~7题为笔试题，共50分。

上机题结合实验报告共50分。

3、 等参元有何特点？ 在四边形等参元网格的划分中，为什么要保证其角小于180°? （8分）等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。

优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。

具有计算精度高和适应性好的特点，是有限元程序中主要采取的单元形式。

为了保证等参变换的一一对应性质，应当避免单元一边上的两点退化成一个节点，还要防止单元的任意()()()()()()()()222111164109911641+31N N ξηζξηξηηζ=-++⋅⎡⎤-++⎣⎦=--⋅+————；两边的夹角接近180度。

更不允许夹角等于或大于180度。

2、在图1 所示的坐标系下，某插值函数形式为：其中：试：（1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？Q1、Q2、Q3、Q4代表什么意义？（4分）（2）此插值函数具有什么基本性质？（4分）Hermite插值函数，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式3、构造一个四边形5节点Serendipity单元（长度：2×2），其中，5节点为等距离边点。

要求写出单元的1节点和5节点所对应的形函数的具体形式。

（8分）已知：4结点矩形单元的插值函数：4、三维四面体10节点元如图所示。

补全已给形函数中的下标，以表明它们在图示坐标系下是哪个节点形函数。

（6分）对于图示的单元，其形函数为：()()[]4101i iixN Qlφξξξ===∈∑；，；322221234231(1)(32)(1-) N N l N N lξξξξξξξξ=-+=-=-=-；；；ηξ32145 123411(1)(1),(1)(1),4411(1)(1),(1)(1)44N NN Nξηξηξηξη=++=-+=--=+-()33242L1;4N L N L L=-=————ηξ21 123411(1)(1),(1)(1),4411(1)(1),(1)(1)44N NN Nξηξηξηξη=++=-+=--=+-l xy123 9①③②④6478⑤⑥⑦⑧试证明在这样两个单元的公共边上不满足位移协调条件。

（6分）5、对于右图所示四边形4节点网格，设每个节点具有2个自由度。

网格的最大带宽=_________,最大波阵宽=_________。

（6分）7、正方形截面的烟囱如图所示，烟囱壁由两层材料构成。

层为隔热材料，外层为钢筋混凝土。

、外层的导热系数不同。

假定烟囱表面的温度为100℃，烟囱外表面暴露在温度为10℃的在空气中。

烟囱与空气换热系数为h。

要求利用对称性画出有限元网格图，并指出在不同的边界面上应当采用什么边界条件？（8分）一、简要回答下列各题（每小题7分）1）试叙述有限元分析的主要步骤。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

2）在选取单元位移函数时，应遵循哪些原则？3）位移形状函数有哪些性质？4）等参元有何特点？5）在四边形单元的划分中，为什么要保证其角小于180°?6）对单元的节点编号时,为什么要使同一单元的节点号差最小？二、如图所示的结构已划分为3个3节点三角形单元，设各节点的自由度为1，各单元的刚度矩阵相同，先定义每个单元的节点号，然后求出结构的刚度矩阵。

（15分）单元刚度矩阵为：（ e =1，2，3）三、对于图示的两单元，其位移函为，试证明在单元的公共边上不满足位移协调条件。

（10分）四、图为8节点四边形单元（在局部坐标系中进行分析），先选取适当的位移函数，然后构造出各节点的形函数。

（15分）（已知拉格朗日一维插值函数：2点插值3点插值)五、在对结构进行离散化处理时，若单元划分得不合理将会大大降低计算结果的精度，甚至产生错误的结果。

试列举出3种不合理的单元划分，并指出不合理的原因科技大学2012—2013学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。

）(每小题2分)（1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。

（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。

（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。

（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。

（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。

（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。

（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。

（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。

（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。

（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

（）二．单项选择题（共20分，每小题2分）1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为________________。

（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。

（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。

（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。

（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。

（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。

（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。

（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。

（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。

（A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。

（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性三．简答题（共20分，每题5分）1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。

3、简述有限单元法的收敛性准则。

4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。

四．计算题（共40分，每题20分）1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0ν=；单元的边长及结点编号见图中所示。