第章高斯光束
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第8章高斯光束
l2 f 2
f
2
1
l f
(3) F 1 R(l) 1 (l f 2 )时,
2
2l
(4)F
时，
w0 w0
1
lim w0 lim
F
w F 0
F (l F )2 f 2
lim F
1
1
(l
- F)2 F
f F
2 2
w0 1 w0
w0 w0
1
l f
2
1
RR
2
F
25
结论
只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
F15 q
五、透镜对高斯光束的变换规律
q=l+if q=-l+if
q Fq Fq
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数
l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离
f、f :物像高斯光束焦参数
q q
f(w0)
O
f(w0) Z
O
l F l
16
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l
解 (1)
0
f
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
z=0.5m
q(z) பைடு நூலகம் if 0.5 i(m)
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
f2
12
R(z) z 0.5 2.5m
z
0.5
8
例8-2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相
激光原理第三章
r2 z exp ) 2 2 w z exp i kz (1 m n) arct an( w0 kr exp[i ] 2 R( z )
2
（3-1-24)
式中 cmn 中
是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式
欲使该式对 x 和 y 的任何值都成立,要求x和y同次幂的系数之和分别等于零. 结果可 得下列两个简单的常微分方程:
2
2
dq( z ) 1 dz dP( z ) i q( z ) dz
由（3-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论 它的解及其含义。它的解很简单：
(3-1-6)
H
2x m w( z )
Hn
2y w( z )
和
分别为m阶和n阶厄米多项式。
1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布 高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函 数的乘积决定：
r 2x 2y exp H [ ] H [ ] m n 2 w z w( z ) w( z )
与轴线交于z点的等相平面 上的光斑半径
z z wz w0 1 w2 w0 1 z 0 0
2
2
R ( z ) z (1
w
z0 2 ) z[1 ( ) ] z z
与轴线相交于z点的高斯光 束等相位面的曲率半径 基模光束腰 斑半径
kr 0 ( z 0) exp( ) exp[ip( z 0)] 2 z0
2
将（3-1-9）式代入 （3-1-4）式 , 并令 z=0, 得 z=0 处基模的振幅分布:
第4章高斯光束。
Aq1 B q2 Cq1 D
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
3. 实例分析
0
A B l
l
0 c
已知：
0、l、F
C
q0
方法一：
q A qB
lC
求：
qC
C、RC
2 q i z=0 处： 0 0 A处：qA q0 l
B处：1 qB 1 qA 1 F
2 2 x y x2 y2 z2 z 2R
3. 高斯光束
激光束既不是均匀的平面光波，也不是均匀的球面光波， 而是一种比较特殊的高斯球面波。
A0 ( x2 y2 ) x2 y2 E ( x, y, z ) e xp[ ] e xp ik[ z ] i ( z ) 2 (z) (z) 2 R( z )
几何光学中牛顿公式:
( F l )( F l ) FF
比较可知：几何光线的透镜变换是高斯光束在
0 的情形
0
特例：若入射束腰在物方焦点处， l
F l F , 0 0
F
： 最大值
当物点位于透镜前焦点，像点不在无穷远处，与几何光线不同
4.3 高斯光束的聚焦和准直
2 2
0
r ( z) r
( z ) 0
( z ) 随z以双曲线函数变化
2 L 0 双曲线顶点坐为 0 ，共焦参数 f 2 光能主要分布在双锥体内
2. 波面曲率半径
光波面
( z)
F
0
f 2 R( z ) z 1 z z
0 2 2 z 1 ( ) z
第8章高斯光束
例3 高斯光束波长为=3.14m,某处的q参数 为q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1) z=1m f=1m
w0
f
3.14 106 1 1mm 3.14
腰位置为在该处左方1m处
(2) 1 1 1 i 1 i 1
q 1i 2 2 2
2i
q 1 2 i 2 i 0.4 0.2i(m) 2i 41 5
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
( f z2 )
f
R(z) z f 2 z
z f 2 0.5 z
f z2 1 f
z2 f 2 0.5 ① z
f 2 z2 1 ②
f
z2 f 2 0.5 z
f 2 z2 1 f
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
2、通过透镜 R FR
FR
F:透镜焦距(凸透镜为正)
证 透镜的光学变换矩阵
T
1
1 F
0 1
R
1 1
R
R
0
1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1)
w0
f
z=0.5m
f
w
2 0
3.14 106 3.14 106
3.8高斯光束
第八节 高斯光束
一、高斯光束的基本性质
1.基模高斯光束
沿z轴传播的基模高斯光束的表达式
x2 + y2 ⎡ z k x2 + y2 ⎤ −i ⎢ kz − arctg + ⎥ zR 2 R(z ) ⎥ ⎢ ⎣ 14444244443 4 4⎦
相位因子
(
)
C 00 − w2 ( z ) ψ 00 ( x, y , z ) = e e w( z ) 14243
U ( x, y , z ) ∝ 1 −ikR 1 e ≈ e R R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
1 e R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2R ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
因此，q(z)称为高斯光束的复曲率半径，也称为q参数
q(z)将w(z)和R(z)统一起来，已知q(z)可求出w(z) 和R(z)
Q 高斯光束的q的变换规律同球面波R的变换规律相同 ∴ Aq1 + B q2 = Cq1 + D
（1）高斯光束q参数在自由空间的传播 由
⎧ 1 1 λ ⎪ = −i q( z ) R( z ) πω 2 ( z ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ πω 2 ⎞ 2 ⎤ ⎪ 0 ⎨ R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎜ λz ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ ⎪ ⎡ ⎛ λz ⎞ 2 ⎤ ⎪ω 2 ( z ) = ω 2 ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎜ πω 2 ⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ 0⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎩
（3）普通球面波的ABCD定律
光学系统 R1
θ1
P1 R2
r1
r2
θ2
P2
一、高斯光束的基本性质
1.基模高斯光束
沿z轴传播的基模高斯光束的表达式
x2 + y2 ⎡ z k x2 + y2 ⎤ −i ⎢ kz − arctg + ⎥ zR 2 R(z ) ⎥ ⎢ ⎣ 14444244443 4 4⎦
相位因子
(
)
C 00 − w2 ( z ) ψ 00 ( x, y , z ) = e e w( z ) 14243
U ( x, y , z ) ∝ 1 −ikR 1 e ≈ e R R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
1 e R
⎛ x2 + y2 −ik ⎜ z + ⎜ 2R ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
因此，q(z)称为高斯光束的复曲率半径，也称为q参数
q(z)将w(z)和R(z)统一起来，已知q(z)可求出w(z) 和R(z)
Q 高斯光束的q的变换规律同球面波R的变换规律相同 ∴ Aq1 + B q2 = Cq1 + D
（1）高斯光束q参数在自由空间的传播 由
⎧ 1 1 λ ⎪ = −i q( z ) R( z ) πω 2 ( z ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ πω 2 ⎞ 2 ⎤ ⎪ 0 ⎨ R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎜ λz ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ ⎪ ⎡ ⎛ λz ⎞ 2 ⎤ ⎪ω 2 ( z ) = ω 2 ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎜ πω 2 ⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎝ 0⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎩
（3）普通球面波的ABCD定律
光学系统 R1
θ1
P1 R2
r1
r2
θ2
P2
北交大激光原理 第4章 高斯光束部分
第
一、
学习要求
1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；
2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；
3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；
4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；
5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；
6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点
1.高斯光束的传输特性；
2.q参数的引入；
让实部和虚部对应相等得到：
进而得到：
将 代入上式可求出
2.二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径 ，腔长 。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数 及发散角 。
解：
由 ，可得
由 ，可得
3.某高斯光束光腰大小为 ，波长 。求与腰相距30 ，10 ，1 处光斑的大小及波前曲率半径。
解答：
9. 某高斯光束的 ， ，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜： ，口径为 ；副镜为一锗透镜： ，口径为 ，高斯光束的束腰与副镜相距 ，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。
3.q参数的ABCD定律；
4.薄透镜对高斯光束的变换；
5.高斯光束的聚焦和准直条件；
6.谐振腔的模式匹配方法。
难点
1.q参数，及其ABCD定律；
2.薄透镜对高斯光束的变换；
3.谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结
三、典型问题的分析思路
此类问题只涉及高斯光束在自由空间传输，不通过其它光学系统。解此类问题比较简单，根据已知特征参数，高斯光束的结构完全确定，就可以知道任意位置处的光斑尺寸、等相位面曲率半径、q参数及发散角等。
23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用 参数法来推导出自在现变换条件式（2.12.3）。
一、
学习要求
1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；
2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；
3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；
4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；
5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；
6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点
1.高斯光束的传输特性；
2.q参数的引入；
让实部和虚部对应相等得到：
进而得到：
将 代入上式可求出
2.二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径 ，腔长 。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数 及发散角 。
解：
由 ，可得
由 ，可得
3.某高斯光束光腰大小为 ，波长 。求与腰相距30 ，10 ，1 处光斑的大小及波前曲率半径。
解答：
9. 某高斯光束的 ， ，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜： ，口径为 ；副镜为一锗透镜： ，口径为 ，高斯光束的束腰与副镜相距 ，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。
3.q参数的ABCD定律；
4.薄透镜对高斯光束的变换；
5.高斯光束的聚焦和准直条件；
6.谐振腔的模式匹配方法。
难点
1.q参数，及其ABCD定律；
2.薄透镜对高斯光束的变换；
3.谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结
三、典型问题的分析思路
此类问题只涉及高斯光束在自由空间传输，不通过其它光学系统。解此类问题比较简单，根据已知特征参数，高斯光束的结构完全确定，就可以知道任意位置处的光斑尺寸、等相位面曲率半径、q参数及发散角等。
23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用 参数法来推导出自在现变换条件式（2.12.3）。
激光原理第三章
)
exp[i kr2 ] 2R(z)
（3-1-24)
c 式中 mn 是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式
中
Hm
2x w(z)
H 和 n
2
y
w(z)
分别为m阶和n阶厄米多项式。
1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布
x, y, z k[z r 2 ] arctan( z )
2R(z)
w02
(3-1-22)
kz 它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后，其中 描述几
何相位为 移的
arctan( z )
w
2 0
kr 2
描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相
附加相位超前，因子 2R(z) 描述与径向有关的相移。
Apl
r,,
z
[
2r ]l w(z)
Llp
[
2r 2
w2 z]
exp
r w2
2
z
scionsll
（3-1-27)
式（3-1-27）表示沿径向r和p个节线圈，沿辐射角方向有l根节线。
TEM pl 模高斯光束的总相移为：
r,, z k(z r 2 ) (1 p 2l) arctan( z )
u0
x,
y,
z
{
w0
wz
exp
r w2
2
z
exp
ikz
z ar c tan(w02
第五章高斯光束
w (z) z 2 =1 2 w0 z0
2 2
《激光技术与应用》
5.3 基模高斯光束的相移和等相位面分布
基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 λz Φ ( x, y, z ) = k[ z + ] arctan( 2 ) 2 R( z ) πw0
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点 0,0)处的相位滞后 处相对于原点( 它描述高斯光束在点 处相对于原点 处的相位滞后
(2L R1 R2 )2
镜面上基模的光斑尺寸
w1 = R ( R2 L) λL π L( R1 L )( R1 + R2 L)
2 1
2 R2 ( R1 L ) λL π L ( R2 L )( R1 + R 2 L )
14
14
w2 =
w0 =
λ L ( R1 L )( R2 L )( R1 + R 2 L ) π ( R1 + R 2 2 L ) 2
共焦腔与稳定球面腔的等价性 任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔
《激光技术与应用》
其对应的共焦腔是唯一确定的。 假设实际稳定腔的参数为 R1 , R2 , L ，其对应的共焦腔是唯一确定的。 需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 以共焦腔的中 点为坐标原点， 心o点为坐标原点，则同样有 ：
f2 R1 = z1 + , z1 f2 R2 = z2 + , z2 L = z2 z1
稳定球面腔和它的等价共焦腔
由上述方程联立可以求解： 由上述方程联立可以求解：
L(R2 L) z1 = 2L R1 R2
L(R1 L) z2 = 2L R1 R2 f =
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1 1 q(z) if z
z if f 2 z2
1
i
R(z) 2 ( )
2
(
z
)
2 0
1
z 02
2
R(z) z
1
f z
2
结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
（2）高斯光束经过薄透镜的变换
M1
M2
1 11
R2 R1 F
1 2
R1
F
u 0 0 (x ,y ,z ) c(0 z )e x p { ik z x 2 2 y 2 (R 1 (z ) k i2 (z )) i(z )
1 1 i q(z) R(z)2(z)
q ( z ) 复曲率半径
u 0 0(x ,y,z)c(z 0)e x p i k (zx 2 2 q (z y )2)(z)
0
z
R
(
z
)
0
2. 任一 坐标 z 处的光斑半径 ( z 及) 等相面曲率半径 R ( z )
(z)
R( z )
0
z
3. 高斯光束的 q 参数
u 0 0 ( x ,y ,z ) c( 0 z )e x p x 2 2 ( z y ) 2 e x p i k ( z x 2 2 R ( z y ) 2 ) ( z )
第四章：高 斯 光 束
高斯光束：所有可能存在的激光波型的概称。 理论和实践已证明，在可能存在的激光束形式中，最重要且 最具典型意义的就是基模高斯光束。
无论是方形镜腔还是圆形镜腔，基模在横截面上的光强 分布为一圆斑，中心处光强最强，向边缘方向光强逐渐减弱， 呈高斯型分布。因此，将基模激光束称为“高斯光束”。
R2
1 q2
1 R2
i 22
( 1 R1
1)i F
22
1 1 11
( R1
i
12
) F
q1
F
Aq B q 1 2 Cq D
1
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
高阶模激光束的场分布不同于基模，但传输与变换规律和 基模高斯光束相同，称为高阶模高斯光束。
非稳腔输出的基模光束经准直后在远场的强度分布也接近 高斯型。
高斯光束是可能存在的各种激光模式的总称。
4.1 高斯光束的基本性质
4.1.1 高斯光束的特点
1. 均匀平面波 沿某方向（如z轴）传播的均匀平面波（即均匀的平行光
1 11
R2 R1 F
A TF C
B D
1 1
F
0
1
R2
AR1 CR1
B D
（3）经过球面镜反射
R2
AR1 CR1
B D
CA
DB
12 R
0 1
2. 高斯光束的传输与变换规律
（1） 高斯光束在自由空间的传输
束腰处： z0， q(0)if i 02
自由空间变换矩阵：
1
TL
0
Z
1
由ABCD法则：q(z)ifz
R
2R
3. 高斯光束 激光束既不是均匀的平面光波，也不是均匀的球面光波，
而是一种比较特殊的高斯球面波。
E (x ,y ,z )A ( 0 z )e x (x 2 2 p ( z ) y 2 ) [ ] e x i[ k p x 2 2 R ( z y ) 2 z ] i( z )
双曲线顶点坐为 ，0 共焦参数
f L 02 2
光能主要分布在双锥体内
2. 波面曲率半径
光波面
(z) F
0
0
F
zR(z)z1zf2z1(z02)2
Z=0（束腰处） R(z) → ∞ (束腰处等相面为平面）
z
2 0
|
z
|
2 0
|
z
|
2 0
Z=± ∞
| R(z) | 202 （极小值）
| R ( z ) | 逐渐减小，曲率中心在 (, 02U 02 ,)
束），其电矢量为：
E(x,y,z)A0eikz k2 ，波数
特点：在与光束传播方向垂直的平面上光强是均匀的。
2. 均匀球面波
由某一点光源（位于坐标原点）向外发射的均匀球面光波，
其电矢量为：
E (x ,y ,z ) A 0 e x p [ ikx 2 y 2 z 2 ] A 0 e x p ( ik r )
x 2 y 2 z 2
R
R x2y2z2 ，光源到点 (x, y,z) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在这 个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。
近轴（ x,y z，z R ）：
r x2y2z2zx2y2
2R
E (x,y,z)A 0exp[ik(zx2y2)]
q0
i 02
if
§4.2 高斯光束的传输与变换规律
1. 普通球面波的传输与变换规律
（1）自由空间传 输
R (z2)R (z1)z2z1
A B 1 L TL C D0 1
R2
AR1 CR1
B D
（遵循ABCD变换法则）
（2）经过薄透镜的变换规律
R1(z) R2(z)
O1
O2
F
（遵循ABCD变换法则）
等相位面为球面； 曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
幅度非均匀的变曲率中心的球面波。
4.1.3 高斯光束的特征参数
(z) 0
z 2
1
f
R(z)
z
1
f z
2
Hale Waihona Puke 0 f f
2 0
（共焦参量）
1. 腰斑 0 （或共焦参量 f ）与腰位置 z
(z)
，
均匀球面波：
u (x,y,z)u R 0exp i k(zx2 2 R y2)0
可将基模高斯光束看作具有复数波面曲率半径的球面波光束
1 1 i q(z) R(z)2(z)
1
1
R(z)
Re
q
(
z
)
1 2 ( z )
Im
1
q
(
z
)
光腰处：
11 1
i
q0 q(0)R(0)2(0)
振幅因子
相位因子
0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
( z ) ——高斯光束在z处的光斑半径
R ( z ) ——高斯光束在z处的波面曲率半径
4.1.2 高斯光束的基本性质
1. 振幅分布及光斑半径
A(r)
A0
A0 e
(z)
F
0
z 0 F
0 r (z) r
(z)0
2
1zf 0
z
2
102
( z ) 随z以双曲线函数变化
|
R(z)
|
逐渐增加，曲率中心在
(
2 0
,
2 0
)
|R(z)|≈|z|→ ∞ (无限远处等相面为平面）
3. 远场发散角
(z)
F
0
B
0
z
0
F
0 li2 m z (z) 2 0 0 .63 06 2 7 f 1 .12 f8
总结: 基模高斯光束特点
光波面
(z)
F
0
B
0
z
0
F
高斯光束 非均匀球面波