导数的概念ppt课件演示文稿
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导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
Δt＜0，则 9.8 m/s 是(1＋Δt) s～1 s 时段的速率
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
高二导数ppt课件
幂函数的导数
总结词
掌握幂函数的导数是理解函数单调性和极值的基础。
详细描述
幂函数是一种常见的函数形式，其导数的计算方法可以通过指数法则进行计算。通过对幂函数进行求导，可以分 析函数的单调性和极值，对于解决实际问题非常重要。
03 导数的性质
单调性
总结词
单调性是指函数在某区间内的导数符 号，决定了函数在该区间内的单调趋 势。
高二导数ppt课件
目录
CONTENTS
• 导数的概念 • 导数的计算 • 导数的性质 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 的变化率， 反映了函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切 线斜率，表示函数在该点的变化 率。对于可导函数，其在某一点 的导数值等于该点切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，即函数图像上某一点处的切线 与x轴正方向的夹角正切值。
详细描述
导数的几何意义是将导数与切线斜率联系起来。对于可导函 数，其在某一点的导数值等于该点切线的斜率，即切线与x轴 正方向的夹角正切值。
导数在生活中的应用
总结词
导数在生活中的应用广泛，如速度、加速度、温度变化率等。
曲线的凹凸性
总结词
曲线的凹凸性是指函数图像在某区间内 的弯曲形状，可以通过二阶导数来判断 。
VS
详细描述
如果函数的二阶导数大于0，则函数图像 在对应区间内是凹的；如果二阶导数小于 0，则图像是凸的。
04 导数在实际问题中的应用
最大利润问题
总结词
利用导数求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，导数的应用可以帮助我 们找到使利润最大的最优解。通过构建利润 函数，并对其求导，我们可以找到使利润最 大的点，从而实现最大利润。
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__
s s (t0 t ) s (t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
或 y | x x , 即
0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
同理可得 f ' 6 5.
请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 3 C / h的速 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 50 C / h的速率上升 . 一般地, f ' x0 反映了原油温度在时刻 x 0附近的变化 情况.
y f ( x0 x) f ( x0 ) 2. 求平均变化率 ; x y x 3. 求值 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
三．典例分析
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
y f 2 x f 2 , 和 f 6. 根据导数的定义 x x 2 x 2 72 x 15 22 7 2 15 x
'
4 x x 2 7x x 3, x y ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
二．新课讲授ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．瞬时速度
在高台跳水运动中 , 运动员在不同时刻的速 度 是不同的. 我们把物体在某一时刻 的速度称为 瞬时速度(ins tan eous velociy ).运动员的平均速 度不一定能反映他 她 在某时刻的瞬时速度. 那么, 如何求运动员的瞬时速 度呢 ? 比如 , t 2 时的瞬时速度是多少 ? 我们先考察t 2 附近的情况. 在 t 2 之前或之后, 任意取一个时刻 2 t , t是时间的改变量 , 可以是 正值, 也可以是负值 , 但不为0.当t 0时,2 t在2 之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间2 t ,2
和区间2,2 t 内平均速度v, 可以得到如下表格 .
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
Δt趋近于0时,平均 h(t ) 4.9t 6.5t 当 10
2
速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
0
1 2 s gt 例3 物体作自由落体运动,运动方程为： 2
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析:
1 s s (t0 t ) s (t0 ) 2 g t g (t ) 2 2
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
△t = 0.00001,
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
v 13.099951
v 13.100049
……
v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' 2
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
……
我们发现,当t趋近于0 时, 即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 从物理的角度看 , 时间间隔| t | 无限变小时, 平均
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 13.1".
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量
y f ( x0 x) f ( x0 );
s s (t0 t ) s (t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
或 y | x x , 即
0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
同理可得 f ' 6 5.
请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 3 C / h的速 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 50 C / h的速率上升 . 一般地, f ' x0 反映了原油温度在时刻 x 0附近的变化 情况.
y f ( x0 x) f ( x0 ) 2. 求平均变化率 ; x y x 3. 求值 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
三．典例分析
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
y f 2 x f 2 , 和 f 6. 根据导数的定义 x x 2 x 2 72 x 15 22 7 2 15 x
'
4 x x 2 7x x 3, x y ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
二．新课讲授ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．瞬时速度
在高台跳水运动中 , 运动员在不同时刻的速 度 是不同的. 我们把物体在某一时刻 的速度称为 瞬时速度(ins tan eous velociy ).运动员的平均速 度不一定能反映他 她 在某时刻的瞬时速度. 那么, 如何求运动员的瞬时速 度呢 ? 比如 , t 2 时的瞬时速度是多少 ? 我们先考察t 2 附近的情况. 在 t 2 之前或之后, 任意取一个时刻 2 t , t是时间的改变量 , 可以是 正值, 也可以是负值 , 但不为0.当t 0时,2 t在2 之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间2 t ,2
和区间2,2 t 内平均速度v, 可以得到如下表格 .
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
Δt趋近于0时,平均 h(t ) 4.9t 6.5t 当 10
2
速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
0
1 2 s gt 例3 物体作自由落体运动,运动方程为： 2
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析:
1 s s (t0 t ) s (t0 ) 2 g t g (t ) 2 2
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
△t = 0.00001,
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
v 13.099951
v 13.100049
……
v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' 2
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
……
我们发现,当t趋近于0 时, 即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 从物理的角度看 , 时间间隔| t | 无限变小时, 平均
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 13.1".
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量
y f ( x0 x) f ( x0 );