1.1.2导数的概念ppt
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§1.1.2导数的概念
＝ lim Δ x→ 0
f（x0－Δx）－f（x0） －Δx
或
f
′(x0)＝
lim
x x0
f（x）x－－fx（0 x0）.
§1.1.2 导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导
数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
思考：已知物体作变速直线运动，其运动方程
为s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在
t0 时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻
2、把分式化简后令△x=0（一般分母中不含△x）， 所求之值就是函数y=f(x)在x=xo处的导数。
例1、已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
定义法,
Δy Δx
―Δx―→→0
极限
―→
导数
解：(1)因为ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1
探究三、求函数y=f(x)在x=xo处的导数步骤：
1.求函数增量： Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
2.算比值（平均变化率）：Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx
Dx
3.取极限：
简记为：一差、二比、三极限
注意：1、取极限前，要注意化简Δy，保证使Δx→0 时，分母不为 0. Δx
2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步：求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度 v ＝Δs；
Δt 第三步：求瞬时速度，当Δt 无限趋近于:
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
1.1.2导数的概念
例3．火箭竖直向上发射，熄火时向上的 ．火箭竖直向上发射， 速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火 速度达到 ， 箭向上的速度为0？ 箭向上的速度为 ？
按规律s(t)=at2+1作直线运动， 作直线运动， 例4．质点 按规律 ．质点M按规律 作直线运动 若质点M在 时的瞬时速度为 时的瞬时速度为8m/s，求常 若质点 在t=2时的瞬时速度为 ， 的值。 数a的值。 的值 解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1) 因为△ △ － =2at△t+a(△t)2， △ △ 所以
2
∆s 25∆t + 3(∆t ) = lim(25 + 3∆t ) = 25 析：v = lim = lim ∆x →0 ∆t ∆x →0 ∆x →0 ∆t
2
1 1 2 E = mv = ×10 × 252 = 3125( J ) 2 2
1 2 火箭的运动方程为h(t)=100t－ gt ， 解：火箭的运动方程为 － 2 在t附近的平均变化率为 附近的平均变化率为 1 1 2 2 [100(t + ∆t ) − g(t + ∆t ) ] −[100t − gt ] 1 2 2 － － △ =100－gt－ g△t 2 ∆t 当△t→0时，上式趋近于 －gt。 时 上式趋近于100－ 。 可见t时刻的瞬时速度 时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。 可见 时刻的瞬时速度 － 。 100 100 ≈ ≈ 10.2( s ) 令h’(t)=100－gt=0，解得 t = － ， g 9.8 所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为 向上的速度变为0. 所以火箭熄火后约 向上的速度变为
∆ =[ 1 x +2 −( +2 =2 x+(∆ ) f ( +∆ ) ] 1 ) ∆ x
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
《导数的概念》课件
导数的定义
导数的定义是函数在某一点处的极限值。可以通过求导数来确定函数在该点 的切线斜率。
函数图像与导数的关系
函数的导数可以告诉我们函数的增减性、凹凸性以及极值的位置。导数为0的 点可能是函数的极值点。
复合函数求导法则
复合函数的导数可以通过链式法则来求解。这个法则是求导数中的重要工具， 能够简化复杂函数的求导过程。
高阶导数
高阶导数是指导数的导数。通过求高阶导数可以获得函数的更多信息，如函数的凹凸性和曲率。
求导数的方法总结
求导数的方法有很多种，如基本求导法则、常用函数导数表以及各种求导公式。掌握这些方法可以更有效地求 解导数。
导数的几何意义
导数有的重要作用。
《导数的概念》PPT课件
从导数的概念到应用，全面讲解微积分中的导数知识，帮助学生深入理解并 轻松掌握这一重要概念。
导数的概念简介
导数是微积分中的重要概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。通过导数可以分析函数的增减性、极值等 性质。
基本符号表示
导数可以使用不同的符号来表示，如f'(x)、dy/dx、y'等。这些符号是用来表示函数的变化率。
2021_2022学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2_2
所以切线方程为 y－2＝4(x－1)，即 4x－y－2＝0.]
1．瞬时速度、瞬时加速度即为当 Δt→0 时的ΔΔyt的极限值． 2．导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率． 3．在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切 线方程的关键是求切点坐标.
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( )
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ [提示] 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极 限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点． 3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ [提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个 函数．
联系：函数 f(x)在 x0 处的导数就是导函数 f′(x)在 x＝x0 时的函数 值．
(2)设斜率为－13的切线的切点为 Qa，1a， 由(1)知，k＝f′(a)＝－a12＝－13，得 a＝± 3.
所以切点坐标为
3， 33或－
3，－ 33.
故满足斜率为－13的曲线的切线方程为
y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝－13(x＋ 3)， 即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
【例 1】 (1)以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为 s＝2t3，则物体在第 t＝1 时的瞬时速度是 __________．
1．瞬时速度、瞬时加速度即为当 Δt→0 时的ΔΔyt的极限值． 2．导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率． 3．在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切 线方程的关键是求切点坐标.
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( )
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ [提示] 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极 限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点． 3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ [提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个 函数．
联系：函数 f(x)在 x0 处的导数就是导函数 f′(x)在 x＝x0 时的函数 值．
(2)设斜率为－13的切线的切点为 Qa，1a， 由(1)知，k＝f′(a)＝－a12＝－13，得 a＝± 3.
所以切点坐标为
3， 33或－
3，－ 33.
故满足斜率为－13的曲线的切线方程为
y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝－13(x＋ 3)， 即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
【例 1】 (1)以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为 s＝2t3，则物体在第 t＝1 时的瞬时速度是 __________．
人教a版数学【选修2-2】1.1.2《导数的概念》ppt课件
常数 叫做t0时刻的瞬时速度．即 常数 ，我们就把这个______ 于______
st0＋Δt－st0 Δs lim Δt Δt→0 v＝ lim ＝ ______________________. → Δt
Δt 0
故瞬时速度就是运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的 单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( ) A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0m/s [答案] D
Δx 0
典例探究学案
瞬时速度
1 2 已知自由落体的运动方程为s＝2gt ，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平均 速度 v 在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出 平均速度，再求 v 当Δt→0时的极限值．
)
f1＋Δx－f1 1 1 [解析] 原式＝3 lim ＝3f ′(1)． Δx Δx→0
4．(2013· 揭阳一中段考)若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值 为( ) A．1 C．± 1 [答案] C B．－1 D．3 3
fx0＋Δx－fx0 [解析] ∵f ′(x0)＝ lim Δx Δx→0 x0＋Δx3－x3 0 ＝ lim Δx Δx→0
3．对导数定义的理解要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但 Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自 变量改变量之___的极限．因此，它是一个常数而不是变量 ； 比
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
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2 Δy f (2 x) f (2) 4x (x) 7x x 3 = x Δx x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0 同理可得 f (6) 5.
f (2)
和 f (6).
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述具体运动状态.
新课导入
在高台跳水运动中，平均速度不能反映 他在这段时间里运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢？
汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢？
3.1.2 导数的概念
+ △t,2]这段时间内
h 2 h 2 t 4.9Δt 2 +13.1Δt v = -4.9Δt - 13.1 = 2 2 t -Δt
当△t=-0.01时， v =-13.051； 当△t=-0.001时，v =-13.0951； 当△t=-0.0001时， v =-13.09951； 当△t=-0.00001时， v =-13.099951；
或 y | x x0 , 即
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 ) 与x0 的值有关，不同的x0 其导数值一般也不相同 . 2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
旧知回顾
平均变化率的定义 我们把式子
f x2 - f x1 x2 - x1
称为函数
f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . （ average rate of change）
探究讨论：
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
65 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间的平均速度，思考 49 下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗？
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示“当t =2, Δ t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探
究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 y | x x0 , 即 f ( x ) lim f (x0 Δx ) f ( x0 ) . 0 x 0 x
例题2
求函数y=x2在x=1处的导数.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需 要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: o C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
当△t=0.000001时，v =-13.1000049； …...
h v 13.1 4.9t t 当Δ t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δ t |无限变小时, 平均速度 v
当△t=-0.000001时， v =-13.0999951； …...
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 +Δ t - h 2 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 +Δ t - 2 -Δt
当△t=0.01时， v =-13.149； 当△t=0.001时， v=-13.1049； 当△t=0.0001时，v =-13.10049； 当△t=0.00001时，v =-13.100049；
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
求：从2s到(2+Δ t)s这段时间内平均速度
h h(2 t ) h(2) v 13.1 4.9t t t
△t<0时，在[2
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
根据导数的定义,
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
Байду номын сангаас
练习（第6页） 解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变 化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义： Δy f(3 +△x) - f(3) = = △x - 1 Δx △x Δy 所以，f(3)= ′ lim = -1 x→0Δ x 同理：f(5)= ′ 3 说明在第3h附近，原油的温度大约 以1℃/h的速率下降，原油温度以大约 以3℃/h的速率上升.
f (2)
和 f (6).
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述具体运动状态.
新课导入
在高台跳水运动中，平均速度不能反映 他在这段时间里运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢？
汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢？
3.1.2 导数的概念
+ △t,2]这段时间内
h 2 h 2 t 4.9Δt 2 +13.1Δt v = -4.9Δt - 13.1 = 2 2 t -Δt
当△t=-0.01时， v =-13.051； 当△t=-0.001时，v =-13.0951； 当△t=-0.0001时， v =-13.09951； 当△t=-0.00001时， v =-13.099951；
或 y | x x0 , 即
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 ) 与x0 的值有关，不同的x0 其导数值一般也不相同 . 2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
旧知回顾
平均变化率的定义 我们把式子
f x2 - f x1 x2 - x1
称为函数
f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . （ average rate of change）
探究讨论：
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
65 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间的平均速度，思考 49 下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗？
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示“当t =2, Δ t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探
究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 y | x x0 , 即 f ( x ) lim f (x0 Δx ) f ( x0 ) . 0 x 0 x
例题2
求函数y=x2在x=1处的导数.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需 要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: o C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
当△t=0.000001时，v =-13.1000049； …...
h v 13.1 4.9t t 当Δ t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δ t |无限变小时, 平均速度 v
当△t=-0.000001时， v =-13.0999951； …...
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 +Δ t - h 2 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 +Δ t - 2 -Δt
当△t=0.01时， v =-13.149； 当△t=0.001时， v=-13.1049； 当△t=0.0001时，v =-13.10049； 当△t=0.00001时，v =-13.100049；
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
求：从2s到(2+Δ t)s这段时间内平均速度
h h(2 t ) h(2) v 13.1 4.9t t t
△t<0时，在[2
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
根据导数的定义,
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
Байду номын сангаас
练习（第6页） 解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变 化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义： Δy f(3 +△x) - f(3) = = △x - 1 Δx △x Δy 所以，f(3)= ′ lim = -1 x→0Δ x 同理：f(5)= ′ 3 说明在第3h附近，原油的温度大约 以1℃/h的速率下降，原油温度以大约 以3℃/h的速率上升.