1.1.2导数的概念ppt
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§1.1.2导数的概念
＝ lim Δ x→ 0
f（x0－Δx）－f（x0） －Δx
或
f
′(x0)＝
lim
x x0
f（x）x－－fx（0 x0）.
§1.1.2 导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导
数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
思考：已知物体作变速直线运动，其运动方程
为s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在
t0 时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻
2、把分式化简后令△x=0（一般分母中不含△x）， 所求之值就是函数y=f(x)在x=xo处的导数。
例1、已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
定义法,
Δy Δx
―Δx―→→0
极限
―→
导数
解：(1)因为ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1
探究三、求函数y=f(x)在x=xo处的导数步骤：
1.求函数增量： Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
2.算比值（平均变化率）：Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx
Dx
3.取极限：
简记为：一差、二比、三极限
注意：1、取极限前，要注意化简Δy，保证使Δx→0 时，分母不为 0. Δx
2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步：求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度 v ＝Δs；
Δt 第三步：求瞬时速度，当Δt 无限趋近于:
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
1.1.2导数的概念
例3．火箭竖直向上发射，熄火时向上的 ．火箭竖直向上发射， 速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火 速度达到 ， 箭向上的速度为0？ 箭向上的速度为 ？
按规律s(t)=at2+1作直线运动， 作直线运动， 例4．质点 按规律 ．质点M按规律 作直线运动 若质点M在 时的瞬时速度为 时的瞬时速度为8m/s，求常 若质点 在t=2时的瞬时速度为 ， 的值。 数a的值。 的值 解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1) 因为△ △ － =2at△t+a(△t)2， △ △ 所以
2
∆s 25∆t + 3(∆t ) = lim(25 + 3∆t ) = 25 析：v = lim = lim ∆x →0 ∆t ∆x →0 ∆x →0 ∆t
2
1 1 2 E = mv = ×10 × 252 = 3125( J ) 2 2
1 2 火箭的运动方程为h(t)=100t－ gt ， 解：火箭的运动方程为 － 2 在t附近的平均变化率为 附近的平均变化率为 1 1 2 2 [100(t + ∆t ) − g(t + ∆t ) ] −[100t − gt ] 1 2 2 － － △ =100－gt－ g△t 2 ∆t 当△t→0时，上式趋近于 －gt。 时 上式趋近于100－ 。 可见t时刻的瞬时速度 时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。 可见 时刻的瞬时速度 － 。 100 100 ≈ ≈ 10.2( s ) 令h’(t)=100－gt=0，解得 t = － ， g 9.8 所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为 向上的速度变为0. 所以火箭熄火后约 向上的速度变为
∆ =[ 1 x +2 −( +2 =2 x+(∆ ) f ( +∆ ) ] 1 ) ∆ x
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
《导数的概念》课件
导数的定义
导数的定义是函数在某一点处的极限值。可以通过求导数来确定函数在该点 的切线斜率。
函数图像与导数的关系
函数的导数可以告诉我们函数的增减性、凹凸性以及极值的位置。导数为0的 点可能是函数的极值点。
复合函数求导法则
复合函数的导数可以通过链式法则来求解。这个法则是求导数中的重要工具， 能够简化复杂函数的求导过程。
高阶导数
高阶导数是指导数的导数。通过求高阶导数可以获得函数的更多信息，如函数的凹凸性和曲率。
求导数的方法总结
求导数的方法有很多种，如基本求导法则、常用函数导数表以及各种求导公式。掌握这些方法可以更有效地求 解导数。
导数的几何意义
导数有的重要作用。
《导数的概念》PPT课件
从导数的概念到应用，全面讲解微积分中的导数知识，帮助学生深入理解并 轻松掌握这一重要概念。
导数的概念简介
导数是微积分中的重要概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。通过导数可以分析函数的增减性、极值等 性质。
基本符号表示
导数可以使用不同的符号来表示，如f'(x)、dy/dx、y'等。这些符号是用来表示函数的变化率。
2021_2022学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2_2
所以切线方程为 y－2＝4(x－1)，即 4x－y－2＝0.]
1．瞬时速度、瞬时加速度即为当 Δt→0 时的ΔΔyt的极限值． 2．导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率． 3．在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切 线方程的关键是求切点坐标.
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( )
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ [提示] 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极 限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点． 3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ [提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个 函数．
联系：函数 f(x)在 x0 处的导数就是导函数 f′(x)在 x＝x0 时的函数 值．
(2)设斜率为－13的切线的切点为 Qa，1a， 由(1)知，k＝f′(a)＝－a12＝－13，得 a＝± 3.
所以切点坐标为
3， 33或－
3，－ 33.
故满足斜率为－13的曲线的切线方程为
y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝－13(x＋ 3)， 即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
【例 1】 (1)以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为 s＝2t3，则物体在第 t＝1 时的瞬时速度是 __________．
1．瞬时速度、瞬时加速度即为当 Δt→0 时的ΔΔyt的极限值． 2．导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率． 3．在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切 线方程的关键是求切点坐标.
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( )
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ [提示] 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极 限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点． 3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ [提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个 函数．
联系：函数 f(x)在 x0 处的导数就是导函数 f′(x)在 x＝x0 时的函数 值．
(2)设斜率为－13的切线的切点为 Qa，1a， 由(1)知，k＝f′(a)＝－a12＝－13，得 a＝± 3.
所以切点坐标为
3， 33或－
3，－ 33.
故满足斜率为－13的曲线的切线方程为
y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝－13(x＋ 3)， 即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
【例 1】 (1)以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为 s＝2t3，则物体在第 t＝1 时的瞬时速度是 __________．
人教a版数学【选修2-2】1.1.2《导数的概念》ppt课件
常数 叫做t0时刻的瞬时速度．即 常数 ，我们就把这个______ 于______
st0＋Δt－st0 Δs lim Δt Δt→0 v＝ lim ＝ ______________________. → Δt
Δt 0
故瞬时速度就是运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的 单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( ) A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0m/s [答案] D
Δx 0
典例探究学案
瞬时速度
1 2 已知自由落体的运动方程为s＝2gt ，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平均 速度 v 在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出 平均速度，再求 v 当Δt→0时的极限值．
)
f1＋Δx－f1 1 1 [解析] 原式＝3 lim ＝3f ′(1)． Δx Δx→0
4．(2013· 揭阳一中段考)若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值 为( ) A．1 C．± 1 [答案] C B．－1 D．3 3
fx0＋Δx－fx0 [解析] ∵f ′(x0)＝ lim Δx Δx→0 x0＋Δx3－x3 0 ＝ lim Δx Δx→0
3．对导数定义的理解要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但 Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自 变量改变量之___的极限．因此，它是一个常数而不是变量 ； 比
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2 Δy f (2 x) f (2) 4x (x) 7x x 3 = x Δx x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0 同理可得 f (6) 5.
f (2)
和 f (6).
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述具体运动状态.
新课导入
在高台跳水运动中，平均速度不能反映 他在这段时间里运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢？
汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢？
3.1.2 导数的概念
+ △t,2]这段时间内
h 2 h 2 t 4.9Δt 2 +13.1Δt v = -4.9Δt - 13.1 = 2 2 t -Δt
当△t=-0.01时， v =-13.051； 当△t=-0.001时，v =-13.0951； 当△t=-0.0001时， v =-13.09951； 当△t=-0.00001时， v =-13.099951；
或 y | x x0 , 即
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 ) 与x0 的值有关，不同的x0 其导数值一般也不相同 . 2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
旧知回顾
平均变化率的定义 我们把式子
f x2 - f x1 x2 - x1
称为函数
f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . （ average rate of change）
探究讨论：
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
65 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间的平均速度，思考 49 下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗？
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示“当t =2, Δ t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探
究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 y | x x0 , 即 f ( x ) lim f (x0 Δx ) f ( x0 ) . 0 x 0 x
例题2
求函数y=x2在x=1处的导数.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需 要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: o C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
当△t=0.000001时，v =-13.1000049； …...
h v 13.1 4.9t t 当Δ t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δ t |无限变小时, 平均速度 v
当△t=-0.000001时， v =-13.0999951； …...
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 +Δ t - h 2 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 +Δ t - 2 -Δt
当△t=0.01时， v =-13.149； 当△t=0.001时， v=-13.1049； 当△t=0.0001时，v =-13.10049； 当△t=0.00001时，v =-13.100049；
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
求：从2s到(2+Δ t)s这段时间内平均速度
h h(2 t ) h(2) v 13.1 4.9t t t
△t<0时，在[2
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
根据导数的定义,
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
Байду номын сангаас
练习（第6页） 解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变 化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义： Δy f(3 +△x) - f(3) = = △x - 1 Δx △x Δy 所以，f(3)= ′ lim = -1 x→0Δ x 同理：f(5)= ′ 3 说明在第3h附近，原油的温度大约 以1℃/h的速率下降，原油温度以大约 以3℃/h的速率上升.
f (2)
和 f (6).
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述具体运动状态.
新课导入
在高台跳水运动中，平均速度不能反映 他在这段时间里运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢？
汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢？
3.1.2 导数的概念
+ △t,2]这段时间内
h 2 h 2 t 4.9Δt 2 +13.1Δt v = -4.9Δt - 13.1 = 2 2 t -Δt
当△t=-0.01时， v =-13.051； 当△t=-0.001时，v =-13.0951； 当△t=-0.0001时， v =-13.09951； 当△t=-0.00001时， v =-13.099951；
或 y | x x0 , 即
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 ) 与x0 的值有关，不同的x0 其导数值一般也不相同 . 2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
旧知回顾
平均变化率的定义 我们把式子
f x2 - f x1 x2 - x1
称为函数
f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . （ average rate of change）
探究讨论：
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
65 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间的平均速度，思考 49 下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗？
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示“当t =2, Δ t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探
究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 y | x x0 , 即 f ( x ) lim f (x0 Δx ) f ( x0 ) . 0 x 0 x
例题2
求函数y=x2在x=1处的导数.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需 要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: o C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
当△t=0.000001时，v =-13.1000049； …...
h v 13.1 4.9t t 当Δ t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δ t |无限变小时, 平均速度 v
当△t=-0.000001时， v =-13.0999951； …...
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 +Δ t - h 2 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 +Δ t - 2 -Δt
当△t=0.01时， v =-13.149； 当△t=0.001时， v=-13.1049； 当△t=0.0001时，v =-13.10049； 当△t=0.00001时，v =-13.100049；
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
求：从2s到(2+Δ t)s这段时间内平均速度
h h(2 t ) h(2) v 13.1 4.9t t t
△t<0时，在[2
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
根据导数的定义,
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
Байду номын сангаас
练习（第6页） 解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变 化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义： Δy f(3 +△x) - f(3) = = △x - 1 Δx △x Δy 所以，f(3)= ′ lim = -1 x→0Δ x 同理：f(5)= ′ 3 说明在第3h附近，原油的温度大约 以1℃/h的速率下降，原油温度以大约 以3℃/h的速率上升.