2008年高考数学命题趋势预测与考场创优策略

2008年高考数学命题趋势预测与考场创优策略一、高考数学命题趋势预测 （一）高考命题原则及解读1、保持整体稳定，考查个性品质； ①试卷结构的稳定；②题型设计及题干的表述上的稳定； 2、深化能力立意，注重适度创新①对逻辑思维能力的考查置于考查的核心. ②对计算能力的考查，注意算理算法.③对空间想象能力，着重考查图形辨识、几何元素的位置关系和几何量的计算. ④对分析问题和解决问题的能力考查，兼顾纯数学问题和数学应用题，设计背景公平取材恰当合理，切合中学数学实际.3、突出主干知识4、在知识网络交汇处、思想方法的交织线上、能力层次的交叉区内命题.5、关注数学素养、考查理性思维、凸显学科能力.6、综合测试双基，重点考查新增内容.①基本技能、基础知识和基本方法的考查要求始终主旋律.②试卷对新知识、新思想、新方法的考查设计集中体现命题指向.总之，2008年高考数学命题将会体现出“保持整体稳定，注重知识重组，强化实践应用，渗透课改理念”的鲜明特征.（二）考点命题特点及趋势展望1、传统内容常考常新，重要考点重点凸现. 1.1函数、导数与不等式函数与不等式是高中数学的主干知识，也是数学高考的重点内容之一，而导数是研究函数不等式的一个桥梁，它能将二者进行有机的结合. 纵观近几年高考各地试题，重要的考点主要表现在以下几个方面：1.1.1函数的图象与性质函数的定义域、值域、最值、函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性等历年都是高考的热点内容，不过题目多以基础题出现.[题1]（2007年重庆卷）已知定义域为R 的函数f(x)在(8,)+∞上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则（ ）、 A ．f(6)>f(7) B ．f(6)>f(9) C ．f(7)>f(9) D ．f(7)>f(10)[解析]：由已知得y=f(x)的对称轴为x=8，f(x)在(8,)+∞上为减函数，则f(x)在(,8)-∞上为增函数，所以f(6)=f(10)<f(7)=f(9)，故选D. [答案]：D[点评]：本题考查函数的单调性、奇偶性、对称性等.[题2]（2007湖南卷）函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1[解析]：作f(x)，g(x)的图象如图，观察图象，两图象有3个交点，故选B.[答案]B[点评]本题考查基本函数的图象，但在画图象时，由于函数y=2log x 的图象画得不到位，很容易得出2个交点.1.1.2 三个“二次”的关系纵观近几年来高考数学试题，涉及二次函数及其应用的题型连年出现，归纳起来主要有两种类型：一种是直接考查二次函数知识的试题；另一种是运用构造二次函数求解的试题.由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景仍将是一个热点.[题3] （2006浙江卷）设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0,(1)0f f >>，求证：（1）a>0，且21ba-<<-； （2）方程f (x )=0在(0, 1)内有两个实根. 解析：（1）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件a+b+c=0，消去b ，得a>c>0；由条件a+b+c=0，消去c 得0,20a b a b +<+>.故21ba-<<-. （2）抛物线2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a--，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<. 又因为(0)0,(1)0f f >>， 而22()033b a c acf a a+--=-<，所以方程f (x )=0在区间(0,)3b a -与(,1)3b a -内分别有一实根.故方程f (x )=0在(0, 1)内有两个实根.[点评]高考对三个“二次”的联考，常存常新，特别是充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了。

1.1.3函数与不等式的综合问题[题4]（2007年全国卷）设函数()xxf x e e -=-. （1）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（2）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围.[解析] （1）略；（2）令()()g x f x ax =-，则()()x xg x f x a e e a -''=-=+-，（1）若2a ≤，当x >0时，()20xx g x e e a a -'=+->-≥，故g (x )在(0，+∞)上为增函数，所以，x ≥0时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥.（2）若a >2，方程()0g x '=的正根为1x =，此时，若1(0,)x x ∈，则'()0g x <，故g(x)在该区间为减函数.所以，1(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上，满足条件的a 的取值范围是(,2]-∞[点评]：导数知识与不等式知识的结合求解一类参数的取值范围，是在知识的交汇点上设计的题目，能考查学生对各知识点进行渗透及综合分析问题的能力，每年的高考都有不少这样的题，今年也如此.1.2 数列与不等式数列与不等式既是高考的主干知识，又是数学高考的重点内容之一，近几年的高考试题中，既注重数列、极限等自身内容的综合，也注重考查思维能力，在数列与不等式这一部分，常以压轴题的形式出现，它主要从以下几个部分考查：1.2.1 等差、等比数列等差数列和等比数列的基本概念，通项和前n 项和公式的应用，等差、等比数列的性质是历年高考的必考内容. 常以基础题的形式出现.[题5]（2007福建卷）等差数列{a n }的前n项和为13,19n S a S ==+ （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和S n ； （2）设(*)nn S b n N n=∈，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 解析：（1）由已知得111,=2339a d a d ⎧=⎪∴⎨+=+⎪⎩，故21(n n a n S n n =-= （2）由（1）得nn S b n n==假设数列{b n }中存在三顶b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =，即2((q p r =，∴2()(20.q pr q p r -+--=∵ 20,,,*,20,q pr p q r N p p r ⎧-=∈∴⎨--=⎩∴ 22(),()0,,2p r pr p r p r +=-=∴=与p ≠r 矛盾. 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.[点评]：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力.1.2.2 递推数列.递推数列是近几年高考命题的一个热点内容之一。

常考常新模型化归是解题的常用方法：化归为等差或等比数列解决；借助数学归纳法解决；推出通项公式解决；直接利用递推公式推断数列的性质解决.[题6]（2007天津理）在数列{a n }中，1112,(2)2(*)n n n n a a a n N λλλ++==++-∈，其中0λ>.求数列{a n }的通项公式.[解析]方法1：根据已知条件得2233442342,22,32a a a λλλ=+=+=+，据此猜想(1)2n n n a n λ=-+，然后用数学归纳法证明如下：（略）方法2：将11(2)2.n n n n a a λλλ++=++- 两边同除以1n λ+，则11(2)2()1nn nn na a λλλλλ++-=++即：11122()()1n nn n n na a λλλλ+++-=-+. 令2()nn nn a b λλ=-.则11n n b b +-=.∴{b n }为等差数列，公差d=1. 且1120.a b λλ=-=∴ (1)n b n =-从而，2[(1)()](1)2n n n nn a n n λλλ=-+=-+. [点评]解法1通过求出234,,a a a 的基础上，猜想出a n 的通项公式，然后用数学归纳法给出证明，而解法2利用等价转换的思想，将数列转化为等差数列，注重了对能力的考查.1.2.3 数列与不等式数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式、求不等式中的参数范围、求数列中的最大项、最小项、比较数列中的项的大小关系、研究数列的单调性等问题. 数列不等式的证明和解决要调动证明不等式的各种手段，如比较法、放缩法、函数法、反证法，均值不等式法、数学归纳法、分析法等. 因此，这类问题解决方法相当丰富，是考查逻辑推理、演译证明、运算求解、归纳抽象等理性思维推理以及数学联结能力的好素材.[题7]（2006天津卷），已知数列{},{}n n x y 满足12121,2x x y y ====，并且1111,n n n n n n n n x x y yx x y y λλ++--=≥（λ为非零参数，n=2,3,…） （1）若125,,x x x 成等比数列，求参数λ的取值范围. （2）当λ>0时，证明11(*)n nn nx x n N y y ++≤∈； （3）当λ>1时，证明1122223311(*)1n n n n x y x y x y n N x y x y x y λλ++---+++<∈----解析：（1）（略）（2）由已知，120,1x x λ>==及122y y ==，可得0,0.n n x y >>由不等式的性质，有211112121.n n n n n n n n y y y yy y y y λλλλ--+---≥≥≥≥= 另一方面，211112121n n n n n n n n x x x xx x x x λλλλ--+---===== . 因此，111(*).n n n n ny xn N y x λ-++≥=∈故 11(*)n nn nx x n N y y ++≤∈. (3)当λ>1时，由（2）可知1(*).n n y x n N >≥∈ 又由（2）11(*)n n n n x x n N y y ++≤∈，则111,n n n n n ny x y xx x +++--≥ 从而1111(*).n n n n n n ny x x n N y x x λ-+++-≥=∈-因此1112222331111()111()111nn n n n n x y x y x y x y x y x y λλλλλλ-++----+++≤+++=<-----. [点评]：本题中的（2）是利用不等式的性质进行证明的，而（3）利用放缩法转化数列求和进行证明的.1.3 三角与向量三角函数题主要考查考生的运算能力及灵活运用基本公式的能力。