2016届高考文科数学第一轮复习教(学)案——选修4-5不等式

选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式对应学生用书P172基础盘查一绝对值三角不等式(一)循纲忆知理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.(二)小题查验1．判断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立( )(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立( )(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材习题改编)f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________．解析：∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1,∴f(x)min＝1.答案：13．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2＝5.答案：5基础盘查二绝对值不等式的解法(一)循纲忆知会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.(二)小题查验1．判断正误(1)|ax＋b|≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c( )(2)若|x|＞c的解集为R，则c≤0()(3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．解析：由|x－a|＜1，则－1＜x－a＜1，∴a－1<x＜a＋1，∴a＝2.答案：23．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)对应学生用书P172考点一绝对值不等式的解法|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax ＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．[提醒] 解含绝对值号的不等式要注意分类讨论思想的应用．[题组练透]1．解不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0.解：法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|， 两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－2x ＋1＋2x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，2x ＋1＋2x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，2x ＋1－2x －1＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.2．(2014·高考改编)解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5. 解：当x <－2时，原不等式即1－x －x －2≥5⇒x ≤－3， 此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋x ＋2≥5，此时无解； 当x >1时，原不等式即x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2， 此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{ x |x ≤－3或x ≥2}． 3．解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解：①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[类题通法]含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．考点二 绝对值不等式的证明|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. [提醒] 绝对值不等式的证明实质是放缩思想的运用．[典题例析](2015·三模)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.[类题通法]证明绝对值不等式主要的三种方法1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． 2．利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． 3．转化为函数问题，数形结合进行证明．[演练冲关]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[典题例析](2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.[类题通法]解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决．[演练冲关]1．(2015·调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，数a 的取值围． 解：(1) 当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3， ∴①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－2x ＋2－x ≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜2，2x －1＋2－x ≤3或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＋x －2≤3.解①求得0≤x ＜12；解②求得12≤x ＜2；解③求得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (2)∵当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立， 即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4的最大值为6－4＝2,4－x 的最小值为4－2＝2， ∴2a ＝2，∴a ＝1， 即a 的围为{1}．1．若函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －m |－4的定义域为R ，数m 的取值围． 解：根据题意，不等式|x ＋2|＋|x －m |－4≥0恒成立，所以(|x ＋2|＋|x －m |－4)min ≥0.又|x ＋2|＋|x －m |－4≥|m ＋2|－4，所以|m ＋2|－4≥0⇒m ≤－6或m ≥2.2．(2014·高考改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，数a 的取值围．解：|2x －1|＋|x ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－x ＋2＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.3．(2015·模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，所以f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，等价于|x －2＋2t |－|x －2|≤t . 当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －2－x ≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －2－x ≤t或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －x －2≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ≤2－t2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R; 当t ＞0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤2－t 2.4．(2015·模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |. (1)求不等式f (x )＞0的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≤m 成立，数m 的取值围．解：(1)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ＜－12，3x ＋1，－12≤x ≤0，x ＋1，x ＞0.当x ＜－12时，由－x －1＞0得x ＜－1，当－12≤x ≤0时，由3x ＋1＞0得x ＞－13，即－13＜x ≤0，当x ＞0时，由x ＋1＞0得x ＞－1，即x ＞0.综上，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞－13.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≤m 成立，即m ≥－12.∴实数m 的取值围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 5．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值围． 解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解； 当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值围为[－3,0]．6．(2015·联考)已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. 解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)． (2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.7．(2015·模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )<|1－2a |的解集不是空集，数a 的取值围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，数m 的取值围．解：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |>4，∴a <－32或a >52，∴实数a 的取值围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0， 即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6， ∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >32，2m ＋1＋2m －3≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤m ≤32，2m ＋1－2m －3≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，－2m ＋1－2m －3≤6.∴32<m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m <－12， ∴实数m 的取值围是[－1,2]．8．(2015·模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|. (1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)<m 成立，求m 的取值围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值围．解：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5， ∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)<m 成立的m 的取值围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|， 当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号，∴x 的取值围是(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.第二节不等式的证明对应学生用书P175基础盘查不等式证明的方法(一)循纲忆知了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(二)小题查验1．判断正误(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”()(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0( )答案：(1)×(2)√2．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________．解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.答案：n ≥m考点一 比较法证明不等式|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)求差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法．(2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法．[题组练透]1．已知c >b >a ，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 证明：ab 2＋bc 2＋ca 2－(a 2b ＋b 2c ＋c 2a ) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2)＋b (b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝(c 2－b 2)(b －a )＋(b 2－a 2)(b －c ) ＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a )．对应学生用书P175∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2＋bc 2＋ca 2>a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，证明：a a b b≥(ab )a ＋b2.证明：a ab b ab2a b +＝a2a b -b2b a -＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b -，当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b -＝1.当a >b >0时，a b>1，a －b2>0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1. 当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b ->1.综上可知，a a b b≥(ab )2a b +成立．[类题通法]用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解．考点二 综合法与分析法|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．3．平均值不等式定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典题例析]1．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：法一：1a＋1b＋1c＝(a ＋b ＋c )1a＋1b＋1c≥3·3abc ·3·31abc＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立. 法二：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．2．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．[类题通法]1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a 2≥0；(2)|a |≥0；(3)a 2＋b 2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等；(4)a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a >0)，b a ＋a b≥2(ab >0)，b a ＋ab≤－2(ab <0)等．2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．[演练冲关](2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.对应A 本课时跟踪检测六十七1．(2014·高考)已知x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 2．已知n ≥2，求证：1n>n －n －1.证明：要证1n>n －n －1，只需证1n>n －n －1n ＋n －1n ＋n －1.即1n >1n ＋n －1，只需证 n ＋n －1>n ， 只需证n －1>0，只需证n >1， 因为n ≥2>1，所以1n>n －n －1.3．已知a ，b ，c 均为正数，求证：(1)b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥a ＋b ＋c ；(2)a b ＋c ＋b a ＋c ＋ca ＋b ≥32.证明：(1)b 2a ＋c 2b ＋a 2c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c －(a ＋b ＋c ) ≥2b 2a ·a ＋2c 2b ·b ＋2a 2c·c －(a ＋b ＋c ) ＝a ＋b ＋c (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)，得证． (2)ab ＋c ＋ba ＋c ＋ca ＋b＝a ＋b ＋c b ＋c ＋a ＋b ＋c a ＋c ＋a ＋b ＋ca ＋b－3 ＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3 ≥12×33a ＋b a ＋c b ＋c ×331a ＋ba ＋cb ＋c－3＝92－3＝32， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，得证． 4．已知a >2，求证：log a (a －1)<log (a ＋1)a . 证明：∵a >2，∴a －1>1， ∴log a (a －1)>0，log (a ＋1)a >0.由于log a a －1log a ＋1a＝log a (a －1)log a (a ＋1)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a －1＋log a a ＋122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a 2－122. ∵a >2，∴0<log a (a 2－1)<log a a 2＝2.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a 2－122<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a 222＝1.∴log a (a －1)<log (a ＋1)a .5．(2014·市质检)已知a ，b ，c 全为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)ab ＋bc ＋ca ≤1； (2)a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：(1)∵a ，b ，c 全为正数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)；b ＋c ≥2bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)； c ＋a ≥2ca (当且仅当c ＝a 时等号成立)，∴2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)． ∴ab ＋bc ＋ca ≤1(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)． (2)a 2＋b 2＋c 2≥13⇔a 2＋b 2＋c 2≥a ＋b ＋c 23⇔a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2≥2ab 当且仅当a ＝b 时等号成立b 2＋c 2≥2bc 当且仅当b ＝c 时等号成立c 2＋a 2≥2ac 当且仅当a ＝c 时等号成立2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ⇒a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)．6．设a ，b ，c 均为正实数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 证明：∵a ，b ，c 均为正实数， ∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ， 当且仅当c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 7．已知x ，y ∈R ，且|x |<1，|y |<1. 求证：11－x 2＋11－y 2≥21－xy. 证明：法一：分析法：∵|x |<1，|y |<1， ∴11－x 2>0，11－y 2>0， ∴11－x 2＋11－y2≥21－x21－y2.故要证明结论成立， 只要证明21－x21－y2≥21－xy 成立． 即证1－xy ≥1－x 21－y2成立即可．∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2， ∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥1－x21－y2>0.∴不等式成立．法二：综合法：∵211－x 2＋11－y2≤1－x 2＋1－y22＝2－x 2＋y 22≤2－2|xy |2＝1－|xy |，∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．8．(2014·高考)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞，1－x ，x ∈－∞，1.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤ 34， 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤ 34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎪⎫x －122≤14.。