2018-2019学年沪教版数学八年级下册 17.3一元二次方程根的判别式
《一元二次方程的根的判别式》word教案 (公开课获奖)沪科版
《17.3 一元二次方程根的判别式》教学目标：1、能说出一元二次方程根的判别式及判别式定理．2、不解方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的存在情况．3、会根据根的存在情况确定方程中字母的取值或取值范围．过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力．情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神．教学重点：根的判别式定理．教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用．教学过程：一、通过看书自学：思考：一元二次方程ax 2+bx +c =0〔a ≠0〕有实根，包括哪两种情况？当△≥0时，方程的根有哪两种情况？方程x 2+Px +q =0，当满足关系式 时，有两个不相等的实根；满足关系式 时，有两个相等的实根；满足关系式 时，无实根；满足关系式 时，有实根．〔1〕由此可见：在解()22004ax bx c a b ac ++=≠-一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据24b ac -的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△〔读作delta ，它是希腊字母〕〞来表示．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它表达了数学的简洁美．〔2〕注意：224.b ac ≠-（）注意：△而应为：△＝ 〔3〕通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？一元二次方程根的情况果真有三种吗？请同学们认真阅读课本P35的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释．由此我们就得出了关于()200ax bx c a ++=≠一元二次方程的根的判别式定理： ()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝假设△＞0那么方程有两个不相等的实数根；假设△=0那么方程有两个相等的实数根；假设△＜0那么方程没有实数根．二、典例分析：例1、不解方程，利用一元二次方程根的判别式，判断以下方程的根的情况．5〔x 2+1〕-7x =0针对训练：2x 2+3x -4=0 16y 2+9=24y思考：求△时，应先将方程化成什么形式？然后确定好哪三个数值？例2、k 为何值时，〔1〕方程kx 2-〔2k +1〕x +k =0有两个不相等的实根〔2〕方程〔k -4〕x 2=〔2k -1〕x -k 有两个相等的实根注意：假设一元二次方程二次项系数含有字母，在确定该字母的取值范围时，一定注意考虑什么条件？三、练习稳固：1、分层练习：A 层：关于x 的方程x 2+〔m +1〕x +〔m -2〕2=0有两个相等的实数根．〔1〕求m 的值．〔2〕求出这时方程的根．B 层：k 为何实数时，以下方程有二实根？无实根？〔1〕x 2+〔2k -5〕x +k 2=0 〔2〕2kx 2 +〔8k +1〕x =-8k思考：“有二实根〞、“有二相等实根〞、“有二不等实根〞三种说法有何本质区别？C 层拓展：1、方程x 2 +2x =k -1没有实数根，求证方程x 2 +kx =1-2k 必定有两个不相等的实根．2、a 、b 是△ABC 的两边，且方程〔a 2+b 2〕x 2 +2a 〔a +b 〕x +b 〔a +b 〕=0有相等的实数根．求证：△ABC 是等腰三角形． 有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
沪教版八下数学17.3 一元二次方程根的判别式
沪科版·八年级数学下册
新课导入
交流
在前面的学习中，你是否注意到：方 程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条 件是什么？何时有两个相等的实数根？何 时有两个不相等的实数根？
新课探究
通过配方得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）
有两个不等的实数根.
4. 已知 2mx2 + 8m（x + 1）= –x，当 m 为何 值时，
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：原方程可化为 2mx2 + (8m + 1)x b2 – 4ac = (8m + 1)2 – 4×2m×8m
= 52 – 4×1×6
=1>0 方程有两个不 等的实数根
9x2 + 12x + 4 = 0； Δ = b2 – 4ac = 122 – 4×9×4
=0 方程有两个相 等的实数根
2x2 + 4x – 3 = 2x – 4 ； x（x + 4）= 8x + 12.
化简得 2x2 + 2x + 1 = 0 Δ = b2 – 4ac = 22 – 4 ×2×1
= 16m + 1 （1）当 Δ = 16m + 1 ＞ 0，即 m ＞ – 1 ，且 m ≠0 时，方程有两个不等的实数根；16
（2）当 Δ = 16m + 1 = 0，即 m = – 1 时，方程
有两个相等的实数根；
16
（3）当 Δ = 16m + 1 ＜ 0，即 m ＜ – 1 时，方
沪科版八年级下册数学：17.3 一元二次方程的根的判别式 (共13张PPT)
在灾难面前不屈服，而应更加勇敢地去正视它。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。 你的选择是做或不做，做不一定会成功，但不做就永远不会有机会。 进取用汗水谱写着自己奋斗和希望之歌。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到达尽头，而在乎你有没有跑完全程。 所有欺骗中，自欺是最为严重的。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 你今天必须做别人不愿做的事，好让你明天可以拥有别人不能拥有的东西。 成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。 你若要喜爱你自己的价值，你就得给世界创造价值。 ——歌德 宁可自己去原谅别人，莫等别人来原谅自己。
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
知识点 1 一元二次方程根的判别式
定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即 Δ＝b2－4ac.
例1 方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，
a＝___2_____，b＝___-_7____，c＝___-_4____， b2－4ac＝___8_1__．
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数学教材是八年级数学学习的重要组成部分，其中课本目录收录了哪些知识呢?小编整理了关于沪科版八年级数学下册的目录，希望对大家有帮助!
沪科版八年级数学下册课本目录
第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1 多边形内角和
19.2平行四边形
19.3 矩形菱形正方形
19.4 中心对称图形
19.5梯形
第20章数据的初步分析
20.1数据的频数分布
20.2数据的集中趋势与离散程度
20.3综合与实践体重指数
泸科版八年级数学下册知识点：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
沪科版2018八年级(下册)数学第十七章一元二次方程 全章课件
第17章 一元二次方程
你学过的方程类型有哪些？试举例说明。 1.一元一次方程 5 2.二元一次方程
4
3.三元一次方程
（1）某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为 100t，计划2011年无公害蔬菜产量比2009年翻一 番（即200t），要实现这一目标，2010年和2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 分析：设这个增长率为x，根据题意得
(1)5 x 10; (3) x 160;
2
(2)9 x 4 x 6 1 2 (4) y 0 y
2
(5)3 x y 6; (7)ax 4 x 0
2
(6)4 x 6 x 3x 4 x
2
2
提示：（1）都是整式方程， （2）只含有一个 未知数 ， （3）未知数的最高次数是 2。
20 32
x
若设小路的宽是xm， 那么横向小路的面积为 32x 2，纵向小路的面积 ____m 是 2×20x m2,两者重叠的 面积是 2x2 m2.由于花坛 的总面积是570m2， 根据题意，列出方程
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 （4 ）
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
4.将下列方程写成一般形式，并分别指出它们的二次 项系数、一次项系数和常数项：
(1) x 5 x 7
2
(2)6 y 6 y
2
(3)( x 2)( x 3) 1
x 4 ( x 2)
2 2
2
2）（x-2）(x+3)=8
17.3一元二次方程的根的判别式
即△2＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根；
变式
已知关于x的方程x²+3x-a+2＝0(其中a是实数) 有两
？ a数关y++)2于a有＝-y1两0的＝(其个一0的中实元根a数二是的根次实情方况程．ay²+2（△a+≥10）
？ △ ？ 0
关于y的一元二次方程 ay²+2（a+1）y+a-1 ＝0的根的情况
例3已知关于x的方程x²+3x-a+2＝0(其 中a是实数) 有两个实数根,试判断关于 y的一元二次方程ay²+2（a+1）y+a-1 ＝0的根的情况．
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
形成概念、归纳性质： 我们把 b²-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0
的根的判别式，通常用“△”表示。
当△>0 时，方程有两个不等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△<0 时，方程没有实数根。
反之亦然．
师生互动 学用交流
＝4+72＝76 〉0， ∴ 原方程有两个相等的实数根．
（3）2x²＋（6）x-3=0； 2x²＋5x-3=0
a与c异号 即ac ＜ 0
2x²- 2x - 3=0 △ =b²-4ac ＞0 ．
方程有两个不 相等的实数根
结论：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0 （a≠0）当a 与c异号时方程一定有两 个不相等的实数根
八年级数学下册 17.3 一元二次方程的根的判别式教案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册
讨论补充记录
板书
设计
教 学 反 思
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一元二次方程的根的判别式
教学
目标
知识与能力：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
2、会运用根的判别式，求一元二次方程中字母系数的取值X围。
过程与方法：培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；培养学生的协作精神。
重、难点
重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。
一二次方程 根的情况由 来定
我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“ ”
来表示。即 =
2.一般地，方程
=
3、例1、4、补例
巩固练习（10分钟左右）
1.不解方程，判别下列方程的根的情况
(2).在一元二次方程
A、有两个不相D、根的情况无法确定。
(3)方程有等根时,实数a的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
(4)关于 x 的一元二次方程
有两个实数根，则m的取值X围为_________.
小结 ：本节课你有哪收获？（2分钟左右）
八年级数学下册 一元二次方程根的判别式教学课件 沪科版
You made my day!
我们，还在路上……
一元二次方程根的判别式
一元二次方程的一般形式：
a2xb xc0(a0)
二次项系数 二次方程的方法： 直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
一元二次方程的求根公式：
xbb24acb24a c0 2a
用公式法解下列方程
x23x20
x28x16 0
3y2102y
2x2 3x10
5x23x20
解：
这里a=5，b=-3，c=-2， △=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49>0， 所以方程有两个不相等的实数根．
25y2420y
解：原方程化为:25y2-20y+4=0
这里a=25，b=-20，c=4， △=b2-4ac=400-4×25×4=0， 所以方程有两个相等的实数根．
xbb24acb24a c0 2a
一元二次方程根的判别式
b24ac
想一想
对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
一元二次方程的根的情况：
1.当b24ac 0时，方程有两个不相等的实数根
2.当 b24ac 0时，方程有两个相等的实数根
3.当 b24a c0时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，b24ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时，b24ac 0 3.当方程没有实数根时，b24a c0
问题一：不解方程，判断一元二次方程的根的情 况
5x23x20
25y2420y
解：(m2)24(1m21)
4m8 4
2017-2018学年八年级数学下册 17.3 一元二次方程的根的判别式课后拓展练习 (新版)沪科版
17.3 一元二次方程的根的判别式1.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )．A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 2．不解方程，判断下列方程中无实数根的是( )．A ．x 2＋4x －1＝0B ．x 2－x ＋14＝0C ．240xD ．x 2＋x ＋1＝0 3．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )．A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．若一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0有实数根，则k 的取值范围是( )． A ．k ≤32B ．k ＜32C ．k ≤32且k ≠1D ．k ≥32 5．已知关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )．A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠2 6．已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )．A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根7．若ac ＜0，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是__________．8．如果关于x 的一元二次方程2x (kx －4)－x 2＋6＝0没有实数根，那么k 的最小整数值为__________．9．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，求22224ab a b (-)+-的值．10．如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．11．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三条边的长，并且关于x 的二次方程2ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个相等的实数根，当∠B ＝90°时，试判断△ABC 的形状．参考答案1．D 点拨：计算根的判别式可知，x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，故选D.2．D 点拨：判断方程有无实数根，要看一元二次方程的根的判别式Δ，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根，D 中，Δ＝1－4＝－3＜0，所以方程没有实数根．3．A 点拨：根的判别式b 2－4ac ＝(－m )2－4×1×(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0，∴关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0有两个不相等的实数根，故选A.4．C 点拨：由题意， 得22413010.k k k k ⎧∆=()-(-)(+)≥⎨-≠⎩解，得k ≤32且k ≠1. 5．C 点拨：由题意，得2220214210.m m m -≠⎧⎨(+)-(-)⨯>⎩ 解得m ＞34且m ≠2.故选C. 6．A 点拨：根的判别式(2c )2－4(a ＋b )2＝4c 2－4(a ＋b )2＝4[c 2－(a ＋b )2]＝4(c ＋a ＋b )[c －(a＋b )]．∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴c ＋a ＋b ＞0，a ＋b ＞c (两边之和大于第三边)．∴c －(a ＋b )＜0.∴(c ＋a ＋b )[c －(a ＋b )]＜0，∴方程没有实数根，故选A.7．有两个不相等的实数根 点拨：因为ac ＜0，所以a 、c 都不为0.所以此方程为一元二次方程，且Δ＝b 2－4ac 中b 2≥0，又－4ac ＞0，所以Δ＞0.所以方程有两个不相等的实数根．8．2 点拨：将原方程化为一般形式为(2k－1)x2－8x＋6＝0.因为方程没有实数根，所以Δ＝(－8)2－4×(2k－1)×6＜0，解得k＞116.所以k的最小整数值为2.9．解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴根的判别式b2－4a＝0，即b2＝4a.∴22222 22222224 244444ab ab ab ab ba b a a b a a b a a===== (-)+--++--+.10．解：∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0.∴m＞4.对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，当m＝5时，方程有一个实数根；当m≠5时，Δ1＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．∵m＞4，∴3m＋1＞13.∴Δ1＝4(3m＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根．综上，当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．11．解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝(2b)2－4×2a×c＝0，即b2＝2ac.①又因为∠B＝90°，所以a2＋c2＝b2.②由①②得a2＋c2＝2ac，(a－c)2＝0.从而a＝c.所以△ABC为等腰直角三角形．。
17.3 一元二次方程根的判别式教学反思
17.3一元二次方程根的判别式教学反思甘通过本节课教学，主要是让学生理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判别根的情况。
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了学生自学教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对Δ=b2-4ac 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究Δ=b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以课堂上通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
课堂上先让学生通过自学阅读课本内容解决相关的老师提出的问题，从而了解到了本节课的学习目标，通过模仿课本例题的解题格式进一步理解了根的判别式的意义，从而调动了学生学习的积极性，又很自然地进入本课所研究的重点内容。
在整个课堂学习中，学生口、脑、手并用，小组讨论交流，整体合作，解决问题，既提高了学生的自学能力，又提高了学生分析问题、解决问题的能力。
同时，学生通过自己自学、讨论、合作解决问题，体会到探索的乐趣和成功的欢乐，进一步培养了学生热爱数学的思想。
整节课的实施过程很顺利，部分学生对本课的知识掌握程度不错，能很好地达到本课的教学目的。
在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，在分层教学方面体现少，“让每位学生都有收获”达不到，所以在教学设计方面还有待改进。
在往后的教学中，课堂练习要设计不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量。
对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求。
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17.3一元二次方程的根的判别式
学习目标：1.了解掌握根的判别式；
2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；
3.通过探究某些无解的一元二次方程得出一元二次方程的判别式
4.学生通过观察，分析，讨论相互交流，培养与他人交流的能力，
通过观察，分析，感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。
学习重点：用根的判别式解决实际问题； 学习难点：根的判别式的发现； 一． 预习思考
1．请同学们用公式法求解下列方程：
22
2(1)3250;(2)(2)0;(3)20;x x x x x --= -= ++=
2．把______叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠的根的判别式，常用符号_____来表示。
3．一般地，方程20(0)ax bx c a ++= ≠当_____时，有两个不相等的实数根；当_______时，有两个相等的实数根；当_______时，没有实数根，反过来，也成立。
4．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. 2210x x --=
B. 2230x x -+=
C.
23x =- D. 2440x x -+=
二．探究活动
（一）独立思考·解决问题
1．求根公式2b a -±是否对于每一个一元二次方程都适用？
2．进一步观察一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠ （1）当24b ac ->0时，12x x = = （2）当24b ac -=0时，12x x == （3）当24b ac -<0时，方程_________. （二）师生探究·合作交流
1．定义：把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，即∆=24b ac -，一般地，方程
20(0)
a x
b x
c a ++
= ≠
2．小英说：“不解方程23240x x -+=”，我也知道它的根的情况，现在你知道她是怎么做的了吧？那我们也来尝试一下。
例1：不解方程，判别下列方程根的情况：
222(1)210;(2)210;(3)230x x x x x x -+= --= -+=
例2：m 为何值时，关于x 的一元二次方程22(21)410mx m x m -++-=；
（1） 有两个相等实数根；
（2） 有两个不相等的实数根； （3） 无实数根。
三． 自我测试
1．方程x 2-ax+9=0有两个相等的实数根，则a=________
2．关于x 的方程(m+1)x 2-2x-(m-1)+0 的根的判别式等于４，m=_________ 3．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且一元二次方程(a-b)x 2+2(a-b)-(b-c)=0 有两个相等
的实数根，试判断△ABC 的形状 .
4．当m 为何值时，（1）关于x 的方程mx 2+(2m-3)x+(m+2)=0有两个实数根。
（2）关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根。
（3）关于x 的方程mx 2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根。
四． 应用与拓展
已知关于x 的方程2110x p x q ++=和2220x p x q ++=，且
12122()p p q q =+，证明：这两个方程中至少有一个实数根。