《函数的概念习题课》示范课教学设计【高中数学人教版】

《函数的概念及其表示习题课》教学设计◆教学目标1．复习函数的概念以及构成函数的要素，能求简单函数的定义域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；能用分段函数正确表示一些相关的函数问题，构建函数性质的概念及其表示的知识结构．2．能应用函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合的思想进行抽象概括、运算求解，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：理解函数的概念，结合实际问题选择恰当的方法表示函数，掌握分段函数的表示及其图象．教学难点：在具体的问题中，如何抓住条件，解决问题．◆课前准备用软件制作动画；PPT课件．◆教学过程一、复习导入问题1：请同学们浏览第3.1节（课本P60～P71）的内容，你能梳理一下本小节的学习过程吗？师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充．预设的答案：答案如图1．图1设计意图：引导学生梳理学习内容，构建函数的概念及其表示的知识结构． 引语：函数是贯穿高中数学课程的主线，这节课我们一起来夯实与之相关的基本概念．（板书：函数的概念及其表示习题课）二、新知探究1．函数的概念及其构成要素 例1 （习题3.1 P 72第1题） 求下列函数的定义域： （1）f (x )＝3xx －4； （2）f (x )＝x 2； （3）f (x )＝6x 2－3x ＋2；（4）f (x )＝4－xx －1． 师生活动：老师先引导学生回忆求定义域的一般步骤，然后学生独立完成，老师点评． 追问：求解函数定义域的一般步骤是什么？（第一步：根据解析式有意义转化成不等式；第二步：解不等式或不等式组求得原来函数的定义域．）预设的答案：（1）要使该函数有意义，则需x －4≠0．解得：x ≠4．所以函数f (x )的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)． （2）要使该函数有意义，则需x 2≥0．解得：x ∈R ．所以函数f (x )的定义域为R ．（3）要使该函数有意义，则需x 2－3x ＋2≠0．解得：x ≠1且x ≠2．所以函数f (x )的定义域为 {x |x ≠1且x ≠2}．（4）要使该函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0x －1≠0．解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4x ≠1．所以函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，4]．设计意图：例1借助求解函数的定义域，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用函数与方程的思想进行运算求解的能力．例2 （习题3.1 P 72第2题）下列哪一组中的函数f (x )与g (x )是同一个函数？ （1）f (x )＝x －1，g (x )＝x 2x －1；（2）f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4； （3）f (x )＝x 2，g (x )＝3x 6．追问：判断两个函数是否相等的一般的步骤是什么？（第一步，求两个函数的定义域．第二步，判断定义域是否相同．若否，则不是相等函数，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，化简两个函数的解析式，若解析式也相同，则为相等函数；若解析式不相同，则不是相等函数．）师生活动：老师先引导学生回忆判断函数是否相等的一般步骤，然后学生独立完成，老设计意图：例2借助判断函数是否相等，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用化归与转化的思想进行运算求解的能力．例3 （习题3.1P 74第16题）给定数集A ＝R ，B ＝(－∞，0]，方程u 2＋2v ＝0，①（1）任给u ∈A ，对应关系f 使方程①的解v 与u 对应，判断v ＝f (u )是否为函数并说明理由；（2）任给v ∈B ，对应关系g 使方程①的解v 与u 对应，判断u ＝g (v )是否为函数并说明理由．追问1：判断某个给定的对应关系是否函数的依据是什么？（函数的概念，具体内容是：对于数集A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．）师生活动：老师引导学生寻找判断的依据，学生应用函数的概念独立判断，老师点评． 预设答案：（1）根据u 2＋2v ＝0，可得v ＝－u 22，任给u ∈A ，根据对应关系v ＝－u 22，在数集B 中都能找到唯一的元素v ＝－u 22与之对应，所以是函数．（2）根据u 2＋2v ＝0，可得u ＝±－2v ，任给v ∈B 且v ≠0，根据对应关系u ＝±－2v ，在数集A 中都能找到两个元素u ＝±－2v 与之对应，所以不是函数．追问2：结合v ＝f (u )和u ＝g (v )的图象验证你的判断，其中v ＝f (u )和u ＝g (v )的图象分别如图2和图3．点（u 0，v 0），即对于任意的u 0∈R ，按照对应关系①有唯一的v 0与之对应，所以v ＝f (u )是函数．根据图5，在横轴负半轴上任取一点v ＝v 0，过该点作横轴的垂线，与曲线有两个交∙点（v0，u0）、（v0，－u0），即对于任意的v0∈(－∞，0)，按照对应关系①有两个值与之对应，所以u＝g(v)不是函数．）（u＝－－2v 追问3：根据方程u2＋2v＝0，写出一个对应关系h使它成为u关于v的函数．或u＝－2v．）设计意图：通过例3对函数概念进行辨析，帮助学生深入理解函数的概念，感受函数对应关系的多样性．2．求函数的解析式例4（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；（3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．师生活动：第（1）小题大部分学生能比较顺利地完成，其它两个小题需要老师合理的引导、讲解、示范以及学生的模仿练习完成．预设答案：（1）由f(x)是二次函数，设f(x)＝a x2＋bx＋c（a≠0），由f(0)＝1，得c＝1，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(a x2＋bx＋1)＝2a x＋a＋b＝2x这个式子对于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，解析式为f(x)＝x2－x＋1．（2）方法一：令x＋1＝t，则x=t－1．将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．（3）因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2……②，所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2……③，2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，则解析式为f (x )＝－3x －23．教师点拨：第（1）题中的方法叫待定系数法，适用于当函数类型给定，且函数某些性质已知时求函数解析式的题型．第（2）题中的方法一叫换元法，适用于已知函数f (g (x ))的表达式，求f (x )的解析式的题型．具体步骤为：令g (x )＝t ，并反解出x ，然后x 把代入f (g (x ))中，求出f (t )，从而求出f (x )；第（2）题中的方法二叫凑配法，适用于已知函数f (g (x ))的解析式，且f (g (x ))的表达式可变形为关于g (x )的形式，从而将式子两端的g (x )看成一个整体代换为函数的自变量，从而求出f (x )；在这两种方法中，都要注意函数的定义域，方法一中函数的定义域为新元t 的取值范围；方法二中函数的定义域为g (x )的值域．第（3）题中的方法叫方程组法，适用于当函数f (x )满足形如a f (x )＋b f (－x )＝g (x )（a ≠b 且ab ≠0）或a f (x )＋b f (1x )＝g (x )（a ≠b 且ab ≠0）等关系时，我们可以用－x 或1x 代替关系式中的x ，将得到的新式子与原关系式联立方程组，经消元后将f (x )从方程组中解出来．设计意图：解析式是高中阶段函数的主要表示方法，同时也是我们研究函数的主要依据．但函数解析式较为抽象，求解析式对于高一学生是一个难点，例4涉及了四种常见的求函数解析式的方法，帮助学生初步理解抽象问题的处理方法，提升学生的数学抽象和数学运算素养．3．分段函数例5 （习题3.1P 73第13题）函数f (x )＝[x ]的函数值，表示不超过x 的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．当x ∈(－2.5，3]时，写出函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象．预设答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，－2.5＜x ＜－2，－2，－2≤x ＜－1，－1，－1≤x ＜0，0，0≤x ＜1，1，1≤x ＜2，2，2≤x ＜3，3，x ＝3．函数f (x )的图象如图6．追问1：设函数g (x )＝x －[x ]，x ∈(－2.5，3]，写出函数g (x )的解析式，并画出函数g (x )的图象．（g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，－2.5＜x ＜－2，x ＋2，－2≤x ＜－1，x ＋1，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，x －1，1≤x ＜2，x －2，2≤x ＜3，0，x ＝3．函数g (x )的图象如图7．）追问2：求函数f (x )与g (x )的值域．（函数f (x )的值域为{－3，－2，－1，0，1，2，3}，函数g (x )的值域为[0，1)．）追问3：求方程g (x )＝0.5的解集.（当－2.5＜x ＜－2时，令g (x )＝0.5，则x ＋3＝0.5，解得x ＝－2.5，－2.5∉(－2.5，－2)，此时方程无解；当－2＜x ＜－1时，令g (x )＝0.5，则x ＋2＝0.5，解得x ＝－1.5，－1.5∈[－2，－1)，此时方程的解为x ＝－1.5；同理可以求得其他区间内的解．综上，方程g (x )＝0.5的解集为{－1.5，－0.5，0.5，1.5，2.5}．）设计意图：例4加深学生对分段函数的了解，训练学生运用分类与整合、数形结合的思想进行运算求解的能力，提升学生的直观想象和数学抽象素养．三、归纳小结，布置作业问题2：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题： （1）你能谈谈对函数的对应关系的认识吗？图7（2）你能谈谈函数图象在解决问题中的作用吗？ 师生活动：师生一起总结．预设的答案：（1）对应关系f 是函数的核心要素，只要满足：对于数集A 中的任意一个数x ，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么f ：A →B 就为从集合A 到集合B 的一个函数；它的表现形式多种多样：文字语言、解析式、表格、图象、方程等，可以根据需要灵活选择．（2）函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．设计意图：引导学生提炼本节课的主要内容和方法． 作业布置：教科书复习参考题3第1，2，7，8，13题． 四、目标检测设计1．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A ．y ＝|x |，u ＝v 2 B ．y ＝x 2 ，s ＝(t )2C ．y ＝x 2－1x －1 ，m ＝n ＋1D ．y ＝x ＋1·x －1，y ＝x 2－1设计意图：考查对函数概念的理解． 2．函数y ＝x ＋1＋12－x定义域是___________． 设计意图：考查函数定义域的求解．3．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝___________．设计意图：考查对分段函数的了解，以及运用函数与方程的思想进行运算求解的能力． 4．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆的单词的基础上增加50个新单词的记忆量．（1）该同学记忆的单词总量y 是关于记忆天数x 的函数吗？如果是，你能用哪些方法表示这个函数；如果不是，请你说明理由．设计意图：考查对函数概念的理解，以及运用函数与方程的思想进行抽象概括的能力． 参考答案： 1．A ．2．[－1，2)∪(2，＋∞)．3．－3．4．解：用x表示记忆天数，用y表示记忆的单词总量，那么y＝50x＋250，x∈A，其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数．原因如下：对于数集A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中的任一个天数x，根据对应关系y＝50x＋250，在数集B＝{300，350，400，450，500，550，600，650，700，750}中，都有唯一的单词总量y与之对应．用解析法可将该函数表示为y＝50x＋250，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．用列表法可将该函数表示为用图象法可将该函数表示为图8．。