广义坐标形式的高斯最小拘束原理及其推广
最小作用量原理
张英杰
最小作用量原理
序
最小作用量原理是物理学中描述客观事物规 最小作用量原理是物理学中描述客观事物规 律的一种重要方法。其内容是说：从某一个特定 律的一种重要方法。其内容是说： 角度比较客体一切可能的运动（经历）， ），认为客 角度比较客体一切可能的运动（经历），认为客 体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出， 体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出， 作用量最小的那个经历即为客体的实际历经。 作用量最小的那个经历即为客体的实际历经。 正如对称性、守恒律、因果律一样， 正如对称性、守恒律、因果律一样，最小作 用量原理将自然规律含蓄地统一在一起。 用量原理将自然规律含蓄地统一在一起。它的高 度概括性与简洁的美感将自然科学与自然哲学之 美体现得淋漓尽致。 美体现得淋漓尽致。本片将带你进入最小作用量 原理的奇幻世界，领略它的奇妙与深邃。 原理的奇幻世界，领略它的奇妙与深邃。
最小作用量原理
历史回顾
拉格朗日（Lagrange Joseph Louis，法国，1736～ Louis，法国，1736～ 拉格朗日（ 1813）充分的发展了欧拉的思想。 1813）充分的发展了欧拉的思想。他不仅把欧拉的结论从 r r 一个质点推广到了质点系， 一个质点推广到了质点系，即作用量变为了 ∑m ∫ v • ds 。而 且，拉格朗日将最小作用量原理提升到了力学根本原理的 地位。 地位。拉格朗日的最小作用量原理不仅以要求某种积分不 变的条件限制质点或质点系的运动， 变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以单值的形式 指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。 指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。 能量守恒原理所指出的正是什么样的运动是可能的。 能量守恒原理所指出的正是什么样的运动是可能的。而可 能的条件正是： 能的条件正是： δ A = δ ∫s m(E −U)ds = 0 ，其中 A = ∫s 2Ek ⋅ dt为作
广义坐标和约束体系
广义坐标和约束体系在物理学和工程学中，广义坐标和约束体系是描述多体系统运动的重要工具。
广义坐标是一组描述系统状态的独立变量，而约束体系则是一组将系统中各个部分联系在一起的条件。
本文将介绍广义坐标的概念和应用，并探讨约束体系在多体系统动力学中的作用。
一、广义坐标的概念和应用在传统的牛顿力学中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置和运动。
然而，在复杂的多体系统中，使用笛卡尔坐标系来描述每个质点的运动往往变得非常复杂。
为了简化问题，引入广义坐标的概念就显得尤为重要。
广义坐标是一组相互独立的变量，它们可以用来描述系统的状态。
与笛卡尔坐标不同的是，广义坐标可以是质点的位置坐标、质点的广义速度、质点的质心位置、刚体的欧拉角等等。
通过引入广义坐标，我们可以用更简洁的方式描述系统的状态，简化求解的过程。
广义坐标的应用十分广泛。
在理论物理中，广义坐标常常用于构建拉格朗日力学和哈密顿力学的数学框架。
在工程学中，广义坐标常常用于描述机械系统中各个零件的运动和变形。
例如，通过引入关节的旋转角度作为广义坐标，可以简化机械臂的运动学分析。
二、约束体系在多体系统动力学中的作用在多体系统中，各个质点之间通常存在一定的约束关系。
这些约束条件可以是几何约束（如刚度约束、长度约束等）或非几何约束（如速度约束、加速度约束等）。
约束体系是将约束条件用方程形式表示的系统。
约束体系在多体系统动力学中发挥着重要作用。
它可以用来限制系统的自由度，从而简化问题的求解。
通过引入拉格朗日乘子的方法，我们可以将约束条件与系统的动力学方程相结合，得到描述系统运动的广义拉格朗日方程。
在这个过程中，广义坐标发挥了重要的作用，它将系统状态映射到一个更简洁的空间中。
约束体系还可以用来分析系统的稳定性和振动特性。
通过线性化约束方程，我们可以得到系统的模态分析，从而了解系统的固有振动频率和模式形态。
这对于设计和优化振动系统非常重要。
三、结论广义坐标和约束体系在多体系统的描述和分析中起到了至关重要的作用。
广 义 坐 标
广义坐标
例如：把小球A用长度为 l 的刚性杆连பைடு நூலகம்起来，用平面 铰链悬挂在O点。小球 A所 满足的约束方程为
x2 y2 l2 0
x
O
l A A0
y
广义坐标
运动约束－ 约束方程中含有质点的速度，则被称为运动约束， 或速度约束。通常的约束方程为：
f1
(r1,
r2
,
f
2
(r1,
到了18世纪后期，由于工业的迅速发展，需要研究和解决机器 的各种运动问题。而这些运动恰恰是质点组或者刚体组的约束运动。 由于时代的需要，力学的发展，产生了新的理论和新的方法。
广义坐标
1788年，拉格朗日出版了一本非常有名的著作-叫《分析力学》。 他采用了抽象的数学分析方法，用拉格朗日方程作为力学的基本方程， 发展了牛顿力学。它特别适用于研究约束系统的力学问题。
广义坐标
但是，当我们处理复杂的质点组问题时，实际上存在很大的困难。 因为研究一个自由质点的运动，一般需要求解3个二阶微分方程。n 个自由质点的运动，则需要求解3n个二阶微分方程。当质点组受到k 个约束的时候，方程的数目就变成了3n+k，这就使得问题更为复杂， 求解更加困难。
（2） 分析力学的特点和优势
广义坐标
例如：用刚性杆连接的小球 ，是双面约束。单摆是单面约束。
O
x
O
x
l
A A0 y
x2 y2 l2(双面约束)
l A
A0 y x2 y2 + z2 l2(单面约束)
广义坐标
（4） 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 几何约束和可以积分的运动约束，被称为完整约束。
f1(r1, r2 ,
4高斯最小拘束原理
n
3
证：将拘束改写为 1 n 1 Z = ( Fi − m i a i ) ⋅ ( Fi − m i a i ) 2 i =1 m i
∑
设真实运动的加速度为 && ，约束允许的可能加速度 r 为 && + δ&& ，则拘束Z的变化： r r
1 n 1 ∆ Z = ∑ {[ Fi − m i ( && + δ &&)] ⋅ [ Fi − m i ( && + δ &&)] − r r r r 2 i =1 m i ( Fi − m i &&) ⋅ ( Fi − m i &&)} r r 1 n 1 = ∑ [ m i2δ && ⋅ δ && − 2 m i ( Fi − m i &&)δ &&] r r r r 2 i =1 m i n 1 n = ∑ m i δ && ⋅ δ && − ∑ ( Fi − m i &&)δ && r r r r 2 i =1 i =1
16
根据高斯原理： ∂Z ∂Z ∂Z & && + && + δZ = δx δy δϕ& = 0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
∂Z ∂Z ∂Z = 0， = 0， =0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
即：
∂&&1 x ∂&&2 x m1 ( &&1 − g sin α ) x + m2 ( &&2 − g sin α ) x = 0 (6) ∂&& x ∂&& x ∂&&1 y ∂&&2 y m1 &&1 y y + m2 &&2 = 0 (7) y y ∂&& ∂&& ∂&&1 x ∂&&1 y ∂&&2 x ∂&&2 y m1 ( &&1 − g sin α ) x + m1 &&1 y + m2 ( &&2 − g sin α ) x + m2 &&2 y =0 && && && && ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
虚拟样机技术 上
例如，在美国航空航天局（NASA）的火星探路者号探测器发射前，喷气推进实验室（JPL）的工程师们运用虚拟样机技术预测到由于制动火箭与火星风的相互作用，探测器很可能在着陆时滚翻并最后六轮朝上，于是针对这个问题修改了技术方案，保证了火星登陆计划的成功 。
目前国外虚拟样机技术的商品化过程已经完成，有二十多家公司在这个日益增长的市场上竞争，比较有影响的产品包括美国MDI公司的ADAMS、比利时LMS公司的DADS、德国航天局的SIMPACK、韩国的Recurdyn等 。
除了上述通用的虚拟样机分析软件外，国外还出现了一些专用的虚拟样机系统。例如，美国VPI公司的商业性虚拟样机系统包括4个组成部分 ：
虚拟样机技术 上
D
成产品研发过程。由于虚拟样机比物理样机更易于产生和显示，能方便快捷地反复修改，因此可以有效地节省研制资金的投入和缩短研制周期，提高设计质量和效率，满足市场需求和竞争的需要。
虚拟样机技术是许多技术的综合，其产生的技术背景比较复杂。它的核心部分是多体系统运动学与动力学建模理论及其技术实现，作为应用数学一个分支的数值算法及时地提供了求解这种问题的有效的快速算法，近年来的计算机可视化技术及动画技术的发展为这项技术提供了友好的用户界面。
[3].实现有效的数据后台处理，采用动画显示、图表或其它方式提供数据处理结果。
经过30多年的发展，多体系统动力学已经比较完善。多体系统动力学包括多刚体系统动力学和多柔体系统动力学。多刚体系统动力学已发展出多种较为成熟的方法，如牛顿—欧拉方法将刚体在空间的一般运动分解为随其上某点的平动和绕此点的转动，分别用牛顿定律和欧拉方程处理；拉格朗日方法则从系统的观点出发，建立混合的微分—代数方程组；罗伯逊—维登伯格方法的特点是应用离散数学中图论的一些概念来描述多刚体系统的结构特征，使各种不同结构的系统能用统一的数学模型描述；凯恩方法是建立一般多自由度离散系统动力学方程的普遍方法，其特点是以伪速度作为独立变量来描述系统的运动，既适用于完整系统，也适用于非完整系统；高斯最小拘束原理方法不需建立系统的动力学方程，而是以加速度作为变量，根据泛函的极值条件，利用系统在每个时刻的坐标和速度值解出真实加速度，从而确定系统的运动规律。多刚体系统动力学将系统中各部件均抽象为刚体，但可以计及各部件连接点处的弹性、阻尼等影响。而多柔体系统动力学则在此基础上进一步考虑部件的变形。在考虑弹性变形方面，多柔体系统动力学融入了有限段理论、模态理论、动态子结构方法和有限元理论 。
广义坐标
广义坐标所谓约束体系是指其状态在运动过程中受到了某种限制而不能自由变化的体系。
数学上，这意味着描述体系的状态参量——位置和速度——是满足某种关系的，这种关系就称为是约束方程，一般来说它具有如下的形式()()1212,,,,,,,,,,0n nf r r r r r r t f r r t ==K K K K K K K K "" (1) 这里以及以后，在不引起混淆的情况下，我都将把函数中的一组带有下标的自变量缩记为一个不带下标的量。
譬如刚体就是一个特殊的约束体系，因为其中任何两点的距离在运动过程中都是不变的，即const.ab a b r r r =−=K K 。
上一章最后的那个例子也是一个约束问题，在那里，不仅要求下面那个楔形物体只能在水平方向运动[约束方程]，而且还要求两个物体在运动过程中是始终保持接触的[2const.y =()121tan y x x θ=−]。
再比如一个限制在某个曲面上运动的粒子，约束方程就是该曲面的方程，而如果曲面本身又是在空间按给定方式运动——譬如一个粒子在半径以某个给定速度不断增大的球面上的运动——那么约束方程就将显含时间：()()222212312300,,,0f x x x t x x x a v t =++−+= (2) 物体之所以不能自由运动，究其原因是由于对体系施加约束的物体（约束物）提供了一个力，这个力与其他的力的一起作用恰好使得物体只能在约束上运动。
这种由约束物提供的、使得运动物体只能按照给定方式运动的力就称为约束力，而其他的力则都被称为是主动力。
约束力本质上是物体形变后产生的恢复力。
当运动物体挤压、拉伸约束物时，二者都会发生形变，并相互以恢复力作用于对方，这就产生了约束力，如果约束力不够大，则物体的运动将有不遵循约束的趋势，于是就会进一步压迫约束物，约束力也就相应地增大，一直到物体的运动恰好遵循约束为止。
总之，约束力的特点是应运而生的——因运动需要而产生的。
广义坐标
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常用的广义坐标有线量和角量两种。例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作 广义坐标；用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义坐标。广义坐标对时间的导数 称广义速度。同样，因为问题需要也会有广义加速度、广义动量、广义角动量等。
例子
例如以长为l的细绳，悬挂一质点A于固定点O，使它在Oxy平面内运动(见图)。质点坐标为(x,y)，即n=2，它 与一个约束方程x2+y2=l2相，故N=n－1=1，只有一个广义坐标。按问题的性质，选用绳与铅垂线的夹角θ为广义 坐标。这样，便有 ：
虽然我们可能会遇到复杂的系统时，这转换方程具有足够的灵活性来选择最合适的坐标。在思考虚位移与广 义力时，这转换方程也可以用来建造微分。
理论说明
对于含有n个质点的质点系，在空间有3n个坐标。若这些质点间存在k个有限约束，则约束方程可写为： fs(x1,x2,…,x3n;t)=0（s=1,2,…,k）。利用约束方程消去3n个坐标中的k个变量，剩下N=3n－k个变量是独立 的。利用变量转换，可将这N个变量用其他任何N个独立变量q1,q2…,qN来表示。因此，n个x坐标可用N个q表示为 xi=xi(q1,q2…,qN;t)（i=1,2…,3n）。这种相互独立的变量称为广义坐标，其数目N等于完整系统的自由度。
广义坐标
数学术语
目录
01 由来及意义
03 理论说明
02 独立 04 例子
广义坐标是用来描述系统位形所需要的独立参数，或者最少参数。当分析有的问题时（尤其是当有许多约束 条件的时候），尽量选择独立的广义坐标。因为这样可以减少代表约束的变量。但是，当遇到非完整约束时，或 者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相应的广义坐标。
量子力学中的约束系统与广义坐标变换
量子力学中的约束系统与广义坐标变换量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中的粒子和能量的行为规律。
约束系统是指在物理过程中存在某种限制条件的系统，这些限制条件可以是空间几何形状、运动轨迹或其他物理特性。
广义坐标变换是一种数学工具，用于描述约束系统中不同坐标系之间的转换关系。
本文将探讨量子力学中的约束系统与广义坐标变换的相关内容。
首先，我们来了解一下约束系统在量子力学中的作用。
在量子力学中，约束系统可以用来描述粒子的运动轨迹或能量的限制。
例如，一个自由粒子可以在三维空间中自由运动，而一个受到约束的粒子则受到某种限制，只能在特定的运动轨迹上运动。
这种约束可以通过势能函数来描述，势能函数可以限制粒子的运动范围，使其只能在特定的区域内运动。
在量子力学中，约束系统的描述需要使用广义坐标变换。
广义坐标变换是一种数学工具，用于描述不同坐标系之间的转换关系。
在量子力学中，我们通常使用广义坐标来描述约束系统的状态。
广义坐标是指在约束系统中，用于描述系统状态的坐标变量。
这些坐标变量可以是位置坐标、动量坐标或其他物理量的变量。
通过广义坐标变换，我们可以将约束系统的描述从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而得到不同坐标系下的系统描述。
在量子力学中，广义坐标变换可以通过变换矩阵来实现。
变换矩阵是一个数学工具，用于描述不同坐标系之间的转换关系。
通过变换矩阵，我们可以将一个坐标系中的物理量转换到另一个坐标系中。
在约束系统中，变换矩阵可以描述约束系统的状态在不同坐标系下的表示。
通过变换矩阵，我们可以将约束系统的状态从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而得到不同坐标系下的系统描述。
除了广义坐标变换，量子力学中还存在其他与约束系统相关的数学工具。
例如，拉格朗日乘子法可以用于处理约束系统中的动力学问题。
拉格朗日乘子法是一种数学方法，用于处理具有约束条件的动力学系统。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束系统的动力学问题转化为无约束系统的动力学问题。
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广义坐标形式的高斯最小拘束原理及其推广
姚文莉;戴葆青
【期刊名称】《力学与实践》
【年(卷),期】2014(0)6
【摘要】当采用广义坐标描述系统的运动时,相比质点形式的高斯最小拘束原理,通过广义坐标形式的高斯最小拘束原理来建立动力学优化模型,计算效率更高.从高斯原理的变分形式出发推导了广义坐标形式的高斯最小拘束原理,并研究了非理想约束、单边约束及刚体碰撞情形下的高斯最小拘束原理的形式.研究认为:对刚体碰撞情形下,高斯最小拘束原理不能取代碰撞恢复定律,碰撞恢复定律以碰撞后广义速度的约束方程形式起作用.%When the generalized coordinates are used to describe the motion of a system,a higher computational efficiency will be achieved in using the Gauss principle of least constraint,as compared with in the form of mass points.Based on the Gauss principle in the form of variation,the Gauss principle of least constraint in generalized coordinates is derived.The principle is generalized to cases of non-ideal constraints,unilateral constraints and the collision of rigid body systems.For the collision problem of rigid body systems,it is shown that the collision law cannot be replaced by the Gauss principle of least constraint and it should be used in the form of constraint equations for generalized velocities after collision.
【总页数】5页(P779-782,785)
【作者】姚文莉;戴葆青
【作者单位】青岛理工大学理学院,山东青岛266520;山东科技大学泰山科技学院,山东泰安271019
【正文语种】中文
【中图分类】O313.4
【相关文献】
1.基于高斯最小拘束原理的多体系统动力学分析 [J], 袁萍萍;戈新生
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3.单柔体与多柔体动力学的高斯最小拘束原理 [J], 郝名望;叶正寅
4.基于高斯最小拘束原理的广义质量矩阵奇异性问题研究 [J], 杨流松;姚文莉;;
5.基于广义坐标形式的高斯最小拘束原理的多刚体系统动力学建模 [J], 姚文莉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。