广义高斯函数积分
高斯积分ppt课件
结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1
5
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
Rn
f (2n) ()
(2n)!
b a
Hale Waihona Puke (x)wn2(
x)dx
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.
1
n
f (x)
-1
wi f (xi )
i0
的代数精度最高不
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
1
3
t(5)
2
A(5) 5
1
3
t(5)
5
0.69314719
积分精确值为
I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
9
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 1
f (xk )
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
• Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数 Ak都有表可以查询.
6
Gauss - Legendre 求积公式
1
n
f (x)dx
1
04-04 高斯积分法及其应用
§4-4 高斯积分法及其应用● 由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。
因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。
● 数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
● 数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。
一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式● 一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi )是被积函数在积分点ξi 处的数值，H i 为加数系数，n 为积分点数目。
● 可以证明， ✧对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。
✧由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。
● 例如， ✧n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a)不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。
因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c)✧当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e)数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C 0～C 3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H✧同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H即可保证得到精确的积分值。
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
06.6-广义积分与Г-函数
.
故原广义积分发散.
第18页
例11 计算广义积分 0
解
3
dx ( x 1)
2 3
.
x 1瑕点
0 0 1
1
3
dx ( x 1) dx ( x 1) dx ( x 1) 3 dx
2 3 2 3 2 3
1 0
dx ( x 1)
1
2 3
3 1
第14页
设函数 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上仅有瑕点 x a , x b . 如果广义积分 a f ( x ) dx 和 c f ( x ) dx 都收敛，则 定义
c b
a
b
f ( x )dx
a
c
f ( x )dx f ( x )dx
c
b
lim
1 0
第6页
例 3 证明广义积分 当 p 1时 发 散 .
1 x
p
1
dx 当 p 1 时 收 敛 ，
证 ( 1 ) p 1 , 1
( 2 ) p 1,
1 x
p
dx
1
1 x
dx ln x 1 ,
1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 当 p 1时广义积分发散.
0 a
b
f ( x ) dx
其中函数 f ( x ) 在 b 的左邻域内无界
x b 称为 f ( x ) 的瑕点
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
第13页
设函数 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上仅有内部的瑕点
4.3 高斯积分
节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2
高斯积分的求解方法
高斯积分的求解方法高斯积分是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
因此，掌握高斯积分的求解方法显得尤为重要。
本文将从基础概念入手，逐步介绍高斯积分的求解方法。
1. 高斯积分的基础概念高斯积分又称为普通高斯积分，是一种重要的定积分类型。
其表达式为：∫e^(-x^2) dx其中e表示自然常数，x为自变量。
高斯积分在物理学和工程学中经常出现，例如在求解等离子体（plasma）中的含量分布、计算图像处理算法中的模糊因素以及发电机中的电磁场等方面。
因此，我们需要掌握高斯积分的求解方法。
2. 求解高斯积分的方法2.1 用幂级数求解首先，我们可以采用幂级数的方法求解高斯积分。
在求解过程中，我们设定一个幂级数：e^(-x^2) = ∑a_n x^n对于任意正整数n，可以得到如下的递推公式：a_n = -a_(n-2)/n当n为奇数时，a_n = 0；当n为偶数时，a_n = (-1)^n/[(n/2)!]。
通过递推公式，我们可以逐步求得幂级数中的系数。
这样一来，我们就可以得到高斯积分的表达式：∫e^(-x^2) dx = ∑a_n x^n其中，系数a_n的求解过程已在上一步骤中介绍，这里不再赘述。
2.2 用换元法求解除了用幂级数求解高斯积分之外，我们也可以采用换元法求解。
将高斯积分中的x代入sinh(t)中，即：x = sqrt(2)sinh(t)此时，可得dx / dt = sqrt(2)cosh(t)。
将x代入高斯积分中，可以得到：∫e^(-x^2) dx = ∫e^(-2sinh^2(t)) sqrt(2)cosh(t) dt再对右式的函数做一个缩放变换：t' = sqrt(2)t即可得：∫e^(-x^2) dx = (1/sqrt(2)) ∫e^(-2sinh^2(t')) dt'最后，可以用数值积分的方法求解∫e^(-2sinh^2(t')) dt'，从而求得高斯积分的近似解。
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
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广义高斯函数积分
广义高斯函数积分是一种数学函数的积分形式，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
广义高斯函数积分可以用来描述复杂的波动现象、概率分布和信号处理等问题。
本文将介绍广义高斯函数积分的定义、性质和应用，并探讨其在实际问题中的意义。
我们来定义广义高斯函数积分。
广义高斯函数积分是指形如以下形式的积分：
∫exp(-ax^2)dx
其中，a是常数，x是变量。
这个积分是一个特殊的积分形式，被称为广义高斯函数积分。
广义高斯函数积分具有以下几个重要的性质。
首先，积分结果是一个实数。
其次，当a大于零时，积分的结果是一个无穷大的实数。
当a等于零时，积分结果是一个常数。
当a小于零时，积分结果是一个开方函数。
这些性质使得广义高斯函数积分在概率分布、信号处理和波动现象等领域中得到了广泛的应用。
广义高斯函数积分在概率分布中的应用非常重要。
概率密度函数通常用广义高斯函数来描述，而积分就可以得到概率分布函数。
概率分布函数描述了随机变量取值落在某个区间的概率。
通过对广义高斯函数积分的计算，可以得到不同的概率分布函数，如正态分布、二项分布和泊松分布等。
这些概率分布在统计学和金融学等领域中有着广泛的应用。
广义高斯函数积分在信号处理中也起着重要的作用。
信号处理是指对信号进行采样、滤波和重构等处理的过程。
广义高斯函数积分可以用来描述信号的频率特性和时域特性。
通过对广义高斯函数积分的计算，可以得到信号的功率谱密度和频谱等重要参数。
这些参数对于信号处理和通信系统设计具有重要意义。
广义高斯函数积分在波动现象中也有广泛的应用。
波动现象是指波的传播和干涉等现象。
广义高斯函数积分可以用来描述波的传播和干涉过程。
通过对广义高斯函数积分的计算，可以得到波的幅度和相位等重要参数。
这些参数对于光学、声学和电磁学等领域的研究具有重要意义。
广义高斯函数积分在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
它可以用来描述复杂的波动现象、概率分布和信号处理等问题。
广义高斯函数积分的定义、性质和应用都具有重要的意义。
通过对广义高斯函数积分的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
因此，对广义高斯函数积分的深入研究具有重要的理论和实际意义。