高斯分布
生活中高斯分布例子
生活中高斯分布例子
高斯分布是一种常见的概率分布，可以在许多不同的现实生活中
得到应用。
下面举几个例子：
1. 人口分布：在一个大城市中，人口分布通常显示出高斯分布
的特征。
通常市中心地区的人口密度较高，而随着距离市中心的增加，人口密度逐渐减少。
2. 身高分布：男性和女性的身高分布通常显示出高斯分布的特征。
大多数人的身高集中在平均值附近，而非常高或非常矮的人的数
量较少。
3. 考试成绩：考试成绩通常会呈现高斯分布的模式。
大多数学
生会获得中等水平的分数，而极高或极低分数的学生数量相对较少。
4. 薪资分布：在一个行业中，员工的薪资通常显示出高斯分布
的特征。
大多数员工的薪水集中在平均水平附近，而高收入或低收入
的员工相对较少。
5. 温度变化：某地区的日均温度通常显示出高斯分布的特征。
在一个季节中，温度大多数时间都在平均值附近波动，而极端寒冷或
极端炎热的天气出现的次数相对较少。
这些例子只是生活中高斯分布的几个应用场景，高斯分布在自然
科学、社会科学以及工程领域都有广泛的应用。
在这些领域中，研究
人员可以使用高斯分布来描述和分析各种现象。
高斯分布 置信度
高斯分布置信度1. 什么是高斯分布高斯分布，也称为正态分布，是概率论中最重要的分布之一。
它的分布函数具有双峰性，即左右两侧的概率密度相等，且较大的概率都集中在均值附近，呈现出钟形曲线。
高斯分布广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域，是一种重要的统计模型。
例如，在物理学中，高斯分布可以用来描述测量误差；在社会科学中，高斯分布可以用来描述人口统计数据；在金融领域中，高斯分布可以用来预测股票市场变化。
2. 高斯分布的特点高斯分布的概率密度函数可以表示为：$$ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} $$其中，μ是高斯分布的均值，σ是标准差。
标准差越大，曲线越平缓；标准差越小，曲线越陡峭。
均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的宽度和形状。
高斯分布具有以下几个特点：1.对称性：高斯分布呈对称性，左右两边的概率密度相等。
2.集中性：高斯分布的大部分概率密度都集中在均值附近，随着距离均值的距离增大，概率密度逐渐减小。
3. 可加性：高斯分布的加和仍然是高斯分布。
3. 高斯分布的应用——置信度在实际应用中，高斯分布常常用于计算置信度。
置信度是指给定一个样本，样本中的值与某一给定的值相差在一定范围内的概率。
在机器学习、统计分析等领域中，置信度被广泛应用于比较模型之间的区别、评估模型的预测能力等。
例如，假设我们要对一批学生进行测量，记录这批学生的身高，假设我们已知这批学生的身高分布符合高斯分布，我们可以计算这批学生的平均身高和标准差。
然后，我们可以根据样本的平均值和标准差，计算在一定的置信度下这批学生的平均身高范围。
如果我们设置置信度为95%，即我们相信平均身高值在一定范围内的概率为95%，那么我们可以计算这个范围是多少。
通常情况下，计算出来的范围为平均身高± 1.96倍标准误差，其中1.96是高斯分布的标准正态分布表中对应的概率。
多元高斯分布及其性质
多元高斯分布及其性质高斯分布，也叫正态分布，是自然界中普遍存在的分布。
多元高斯分布是高斯分布在多维空间上的推广，是统计学中重要的概率分布之一。
本文将对多元高斯分布进行讨论，并介绍其性质。
一、多元高斯分布定义设X=(X1, X2, …, Xn)T是一个n维随机变量，若它的各个分量X1, X2,…, Xn之间的联合密度函数为：f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\sum|^{1/2}}exp[-\frac{1}{2}(x-\mu)^\mathrm{T}\sum^{-1}(x-\mu)]其中，μ=(μ1, μ2,…, μn)T是X的n个分量的均值向量，Σ是n×n的协方差矩阵，|Σ|表示Σ的行列式，Σ-1表示Σ的逆矩阵。
上式称为n维多元高斯分布的密度函数，记作：X ~ N(μ, Σ)其中，N表示正态分布的英文首字母。
二、多元高斯分布的几何意义多元高斯分布的几何意义可以通过它的等高线图来表示。
假设n=2，那么二元多元高斯分布的密度函数为：f(X) = \frac {1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left[ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right]其中，μ1、μ2分别为两个随机变量的均值，σ1、σ2分别为两个随机变量的标准差，ρ为它们的相关系数。
画出密度函数的等高线图，当二元正态分布的相关系数ρ= 0时，它的密度函数的等高线图是椭圆形。
而当ρ> 0或ρ< 0时，它的密度函数的等高线图变成斜的椭圆形。
三、多元高斯分布的性质多元高斯分布具有许多良好的性质，下面列举其中几个。
偏态高斯分布
偏态高斯分布偏态高斯分布是一种常见的概率分布，它是正态分布在数据偏斜时的近似形式。
像正态分布一样，偏态高斯分布的形状也是钟形曲线，但是有一个或多个额外的特征，例如偏斜或压缩。
在现实生活中，我们常常遇到偏态分布，例如收入分布、购买金额和房屋价格等。
本文将针对偏态高斯分布进行详细阐述，包括定义、特征、概率密度函数等。
定义偏斜高斯分布也称为偏态正态分布或斜正态分布，通常是从正态分布中获取的数据，在分布过程中呈现出一定的偏斜性。
它的中心与正态分布的中心相同，但是它的形态有所不同。
通常，偏态分布的一部分将比正态分布的一部分更长，而另一部分则更短。
例如，偏态分布可能会呈现出明显的右偏形式，其中大多数值较小，但是少数极端值更大。
特征偏态分布有许多特征。
以下是一些常见的特征：1. 经常以左偏或右偏形式呈现，其中一个尾巴比另一个尾巴更长。
2. 平均值通常不等于中位数。
3. 它可能是单峰的，也可能有多个峰。
4. 通常比正态分布更陡峭。
5. 它通常具有更长的尾部。
概率密度函数偏态正态分布的概率密度函数可以使用以下公式表示：$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，μ：平均值σ：标准差e：自然对数的底数x：随机变量值得注意的是，这个概率密度函数只是偏态高斯分布的一种表示形式。
在真实的统计实践中，分别具有不同形式和参数的偏态分布可以用来近似许多真实数据的分布。
偏斜性度量偏斜性度量是一种用于描述偏态分布的重要指标。
如果数据分布的偏斜程度为正，则称其为正偏斜或右偏斜。
如果数据分布的偏斜程度为负，则称其为负偏斜或左偏斜。
正偏斜意味着大部分观测值位于中间和下部值之间，而左偏斜则意味着大部分观察值位于中间和上部值之间。
偏态程度的值通常以斯皮尔曼（Spearman）或皮尔森(Pearson)相关系数表示。
应用偏态高斯分布在现实生活和研究中有广泛的应用。
高斯分布 二项分布
正态分布与二项分布
一、什么是正态分布
Normal Distribution（或者叫高斯分布）是非常常见的连续概率分布。
正态分布的概率密度函数为：其中(mu)是分布的均值，或者叫期望值；(sigma)是标准差
( f(x|mu,sigma^2) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-(x-u)^2/(2sigma^2)} )
当(mu=0)和(sigma=1)的时候，正态分布就是标准正态分布了，标准正态分布是关于x=0对称的
二、正态分布的表示符号：
正态分布经常可以用( N(mu,sigma^2))来表示，因此，当一个随机变量X是一个均值为( mu)和标准差为( sigma)的正态偏差时，我们可以用这个形式表达：( X sim N(mu,sigma^2) )
三、概率值
一个样本落在${mu-sigma}$和${mu+sigma}$的概率为：0.6826，落在${mu-2sigma}$和${mu+2sigma}$的概率为：0.9544，落在${mu-3sigma}$和${mu+3sigma}$的概率为：0.9974
四、二项分布
n次独立重复实验：也叫伯努利实验，由n次实验构成，且每次实验相互独立，并且每次实验的结果只有两种对立状态，$p$和非$p$
在N次独立重复实验中，事件A恰好发生K次的概率为：
$P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1,2,...,n$。
两个相关的高斯分布 和的分布
一、概述在统计学和概率论中，高斯分布（又称正态分布）是一个非常重要且常见的概率分布。
它具有许多重要的数学性质，被广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域。
在研究高斯分布的基础上，人们发现了两个相关的高斯分布和的分布的关系，这一关系对于深入理解高斯分布具有重要意义。
二、高斯分布的概念和特点高斯分布又称正态分布，是以数学家卡尔·费迪南德·高斯命名的概率分布。
其概率密度函数具有钟型曲线，均值为μ，标准差为σ，具有独特的对称性和稳定性。
高斯分布在统计学中具有重要应用，能够描述自然界中许多现象的分布规律，如身高、体重、温度等。
三、两个相关的高斯分布1. 独立高斯分布当两个变量X和Y的分布都是高斯分布，并且它们之间是独立的时候，它们的和Z=X+Y也是高斯分布。
具体来说，如果X服从均值为μ1，方差为σ1^2的高斯分布，Y服从均值为μ2，方差为σ2^2的高斯分布，那么Z=X+Y就服从均值为μ1+μ2，方差为σ1^2+σ2^2的高斯分布。
这个结论在实际应用中具有重要意义，例如在信号处理中，当两个信号相加时，如果信号的分布都是高斯分布，那么和信号的分布也是高斯分布，这为信号处理提供了重要的理论基础。
2. 相关高斯分布当两个变量X和Y的分布都是高斯分布，并且它们之间存在一定的相关关系时，它们的和Z=X+Y的分布不再是简单的高斯分布。
具体来说，如果X和Y之间的相关系数为ρ，均值分别为μ1和μ2，方差分别为σ1^2和σ2^2，那么Z=X+Y就服从均值为μ1+μ2，方差为σ1^2+σ2^2+2ρσ1σ2的分布。
这个结论揭示了在实际应用中，如果两个变量之间存在相关关系，它们的和的分布会受到相关系数ρ的影响，这对于数据分析和风险控制具有重要意义。
四、高斯分布和的分布的关系两个相关的高斯分布和的分布的关系是高斯分布理论中的一个重要课题。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对多个高斯分布进行求和的情况，因此了解和的分布的特性对于概率分布的计算和应用具有重要意义。
高斯分布的累积分布函数
高斯分布的累积分布函数高斯分布的累积分布函数是指，在高斯分布中，随机变量X小于或等于x的概率，也就是求出P(X≤x)的概率。
高斯分布，也被称为正态分布，是一种连续型概率分布，它在实际应用中非常常见。
高斯分布是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯发现的，因而得名。
高斯分布被广泛应用于自然科学，经济学，金融学，医学等领域中。
在概率论和统计学中，高斯分布是最重要的分布之一，因为它涉及到了许多重要的概率和统计量。
高斯分布的累积分布函数可以用以下公式表达：F(x)=P(X≤x)=∫(-∞,x)f(x)d(x)其中F(x)是累积分布函数，f(x)是高斯分布的概率密度函数，P(X≤x)是指随机变量X小于或等于x的概率。
对于高斯分布，概率密度函数可以用以下公式表示：f(x)=1/(σ√2π)e^(-[x-μ]/2σ^2)其中，μ是均值，σ是标准差，π是圆周率，e是自然对数的底数。
从这个公式中可以看出，概率密度函数在μ处达到最大值，也就是均值。
因此，高斯分布的图像呈钟形曲线，上下对称，且在μ处取得峰值。
高斯分布的累积分布函数的图像也呈现出一种典型的S型曲线。
当x距离μ越远，其累积分布函数的值越小，而当x接近μ时，其累积分布函数的值趋近于1。
这是因为在高斯分布中，均值是整个分布的中心，而其它部分的概率值则以一定的概率密度分布在均值周围的区域。
因此，均值处的概率最大，而距离均值越远的区域概率值越小。
高斯分布的累积分布函数在实际应用中非常有用。
例如，它可以用于求解统计数据中的百分位数。
百分位数是指一组数据中有x%的数据小于这个数据点，而(N-x)%的数据大于这个数据点。
通过累积分布函数求解百分位数的方法就是，给出一个百分位数值，将它带入高斯分布的累积分布函数中，找到与它最接近的一组数据点。
这个数据点就是所求的百分位数。
这种求解方式可以确保精度，同时也很快速和容易计算。
此外，在金融领域中，高斯分布的累积分布函数也被用于计算风险价值（VaR）。
高斯分布特征函数
高斯分布特征函数高斯分布（Gaussian distribution）是概率论与统计学中常用的一个连续概率分布。
它又称为正态分布，是一种对称的钟形曲线，特点是均值和标准差，可以通过概率密度函数来描述。
在机器学习中，高斯分布经常被用于对数据的建模。
特征函数是将输入空间映射到特征空间的函数，用于提取数据的特征。
在高斯分布中，特征函数用于计算每个样本的特征向量。
高斯分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以表示为：f(x，μ,σ)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底。
特征函数是一种从输入空间到特征空间的映射，可以将原始数据转化为可以更容易处理的特征向量。
在高斯分布中，特征函数可以是各种形式的函数，用于提取数据的特征。
常见的特征函数有多项式函数、高斯函数、指数函数等。
在机器学习中，高斯分布特征函数被广泛应用于分类、回归以及聚类等任务中。
对于分类任务，可以使用高斯分布特征函数来构建分类器，通过计算样本在特征空间中的距离或相似度，来判断其属于哪个类别。
对于回归任务，可以使用高斯分布特征函数来建立回归模型，通过拟合数据的概率分布来预测输出。
对于聚类任务，可以使用高斯分布特征函数来表示每个类别的概率分布，通过最大化概率来将样本划分为不同的簇。
在实际应用中，高斯分布特征函数可以根据具体问题进行选择和设计。
常用的特征函数包括多项式特征函数、高斯核函数、拉普拉斯核函数等。
多项式特征函数可以通过多项式扩展将低维数据映射到高维特征空间，从而增加模型的表达能力。
高斯核函数和拉普拉斯核函数则可以通过非线性映射将样本映射到高维空间，从而更好地建模非线性关系。
总结来说，高斯分布特征函数是一种将输入空间映射到特征空间的函数，用于提取数据的特征。
在高斯分布中，特征函数可以是各种形式的函数，用于计算每个样本的特征向量。
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几乎所有的经济模型都有假设前提，学过计量经济学的同学都知道古典假设，而正态分布又在假设中占有十分重要的作用，小编偶然间在我爱自然语嫣处理这个博客中发现了《正态分布前世今生》的系列文章，文章以名人、故事为主线简单的描述了正态分布的前世今生，这里特推荐给大家。
神说，要有正态分布，就有了正态分布。
神看正态分布是好的，就让随机误差就服从了正态分布。
创世纪-数理统计
一、正态分布
学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉。
这个钟型的分布曲线不但形状优雅，其密度函数写成数学表达式e −( x −μ) 2 2 σ2
也非常具有数学的美感。
其标准化后的概率密度函数
e −x 2 2
更加的简洁漂亮,两个最重要的数学常量π和e都出现在了公式之中。
在我个人的审美之中，它也属于top-N 的最美丽的数学公式之一，如果有人问我数理统计领域哪个公式最能让人感觉到上帝的存在，那我一定投正态分布的票。
因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。
正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。
去过德国的兄弟们还会发现，德国的钢镚和10马克的纸币上都留有高斯的头像和正态密度曲线。
正态分布被冠名高斯分布，我们也容易认为是高斯发现了正态分布，其实不然，不过高斯对于正态分布的历史地位的确立是起到了决定性的作用。
正态曲线虽然看上去很美，却不是一拍脑袋就能想到的。
我在本科学习数理统计的时候，课本一上来介绍正态分布就给出密度分布函数，却从来不说明这个分布函数是通过什么原理推导出来的。
所以我一直搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布曲线的，又是怎么发现误差服从这个奇妙的分布的。
直到我读研究生的时候我的导师给我介绍了陈希儒院士的《数理统计简史》这本书，看了之后才了解了正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用，也是经过了几百年的历史。
正态分布的这段历史是很精彩的，我们通过讲几个故事来揭开她的神秘面纱。
二、邂逅，正态曲线的首次发现
第一个故事和概率论的发展密切相关，主角是棣莫弗(De Moivre) 和拉普拉斯(Laplace)。
拉普拉斯是个大科学家，被称为法国的牛顿；棣莫弗名气可能不算很大，不过大家应该应该都熟悉这个名字，因为我们在高中数学学复数的时候都学过棣莫弗定理( c o s θ+ i s i n θ) n = c o s ( n θ) + i s i n ( n θ)
古典概率论发源于赌博，惠更斯、帕斯卡、费马、贝努力都是古典概率的奠基人，他们那会研究的概率问题大都来自赌桌上，最早的概率论问题是赌徒梅累在1654年向帕斯卡提出的如何分赌金的问题。
统计学中的总体均值之所以被称为期望(Expectation), 就是源自惠更斯、帕斯卡这些人研究平均情况下一个赌徒在赌桌上可以期望自己赢得多少钱。
有一天一个哥们，也许是个赌徒，向棣莫弗提了一个和赌博相关的一个问题：A,B 两人在赌场里赌博，A，B各自的获胜概率是p,q=1-p ,赌n 局，若A 赢的局数X>np,则A付给赌场X-np元，否则B 付给赌场np-X 元。
问赌场挣钱的期望值是多少。
问题并不复杂，本质上是一个二项分布，最后求出的理论结果是: 2 n p q b ( n , p , n p )
其中
是常见的二项概率。
但是对具体的n , 要把这个理论结果实际计算出数值结果可不容易，因为其中的二项公式中有组合数.这就驱动De Moivre寻找近似计算的方法计算。
与此相关联的另一个问题，是遵从二项分布的随机变量X ∼B ( n , p ) , 求X 落在二项分布中心点一定范围的概率Pd = P ( | X −n p | ≤d )
对于p=1/2 的情形，棣莫弗做了一些计算并得到了一些近似结果，但是还不够漂亮，幸运的是棣莫弗和Stirling 处在同一个时代，而且二人之间有联系，Stirling 公式是在数学分析中必学的一个重要公式(事实上Stirling 公式的形式其实是棣莫弗最先发现的，但是Stirling 改进了公式：
1733 年，棣莫弗很快利用Stirling 公式进行计算并取得了重要的进展。
考虑n 是偶数的情形，令二项概率
通过Stirling 公式做一些简单的计算容易得到，
于是有
使用上式的结果，并在二项概率累加求和的过程中近似的使用定积分代替求和，很容易就能得到
看，正态分布的密度函数的形式在积分公式中出现了！这也就是我们在数理统计课本上学到的二项分布的极限分布是正态分布。
以上只是讨论了p=1/2 的情形，棣莫弗也对p≠1/2 做了一些计算，后来拉普拉斯对p≠1/2 的情况做了更多的分析，并把二项分布的正态近似推广到了任意p 的情况。
这是第一次正态密度函数被数学家勾画出来，而且是以二项分布的极限分布的形式被推导出来的。
熟悉基础概率统计的同学们都知道这个结果其实叫棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
[De Moivre-Laplace 中心极限定理]
设随机变量Xn(n=1,2,…) 服从参数为p 的二项分布，则对任意的x , 恒有
我们在大学学习数理统计的时候，学习的过程都是先学习了正态分布，然后才学习中心极限定理。
而学习到正态分布的时候，直接就描述了其概率密度的数学形式，虽然数学上很漂亮，但是当时很容易困惑数学家们是如何凭空就找到这个分布的。
读了陈希孺的《数理统计学简史》之后，我才明白正态分布的密度形式首次发现是在棣莫弗-拉普拉斯的中心
极限定理中。
数学家研究数学问题的进程很少是按照我们数学课本的安排顺序推进的，现代的数学课本都是按照数学内在的逻辑进行组织编排的，虽然逻辑结构上严谨优美，却把数学问题研究的历史痕迹抹得一干二净。
DNA 双螺旋结构的发现者之一Waston 在他的名著《DNA 双螺旋》序言中说：“科学的发现很少会像门外汉所想象的一样，按照直接了当合乎逻辑的方式进行的。
”
棣莫弗出他的发现后40年（大约是1770），拉普拉斯建立了中心极限定理较一般的形式，中心极限定理后续又被其它数学家们推广到了其它任意分布的情形，而不限于二项分布。
后续的统计学家发现，一系列的重要统计量，在样本量N 趋于无穷的时候，其极限分布都有正态的形式，这构成了数理统计学中大样本理论的基础。
棣莫弗在二项分布的计算中瞥见了正态曲线的模样，不过他并没有能展现这个曲线的美妙之处。
棣莫弗的这个工作当时并没有引起人们足够的重视，原因在于棣莫弗不是个统计学家，从未从统计学的角度去考虑其工作的意义。
正态分布(当时也没有被命名为正态分布) 在当时也只是以极限分布的形式出现，并没有在统计学，尤其是误差分析中发挥作用。
这也就是正态分布最终没有被冠名棣莫弗分布的重要原因。
那高斯做了啥工作导致统计学家把正态分布的这顶桂冠戴在了他的头上呢？。