挠度和转角计算公式
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梁的挠度及转角(1)
A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
5-1梁的挠度及转角
A
x y
cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw
（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0
Fab(l b) 6lEI
B
2
xl
Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
x3
l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算 梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
梁的变形及刚度条件
f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核 梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示 梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用 允许挠度和跨长的比值 作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大 挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长 度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将 会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后， 其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向 竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性 轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中 荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］ ＝170MPa， 。试校核梁正应力强度和 刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面 （二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。 所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作 用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它 们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作 用下的挠度或转角。
理论力学11梁的位移计算汇总.
9
梁的位移计算
确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。 边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零 或为已知
y
l
x
y
l
x
固定铰链支座
固定端约束
x = 0, v = 0
x = l, v = 0
⎧v = 0 x = 0⎨ θ =0 ⎩
10
梁的位移计算
变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处 的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度 相等。
第十一章 梁的位移计算
梁的位移计算
工程实例
2
梁的位移计算
工程实例
3
梁的位移计算
工程实例
本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及 简单静不定梁进行简要介绍。
4
梁的位移计算
§１１－１
挠度、转角及其相互关系
挠曲线：梁变形后的轴线。
在小变形情况下，任意横 截面的形心位移是指ｙ方向的 线位移，截面形心垂直于轴线 方向的线位移称为挠度
y
2l 3 l
x
边界条件
变形连续条件
2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3
2 x = l , v1 = v2 ,θ1 = θ 2 ; 3
11
梁的位移计算
思考：
用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和 连续条件是什么？
y
q
x
l
答：边界条件 x = 0 v = 0 连续性条件 x = l
2
A
a
F
b
Bx
a F l
17
例
３
２、分两段积分
b
2
第四章(弯曲挠度3-Lu)
§4-9 用积分法计算梁旳挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
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EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
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3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
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F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
挠度与转角的关系重点
dy tan y dx
因工程中构件的 值很小， tan ，则有
dy y dx
即梁横截面的转角函数等于梁的挠度y函数对x的一阶导数。
工程力学
/
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
工程力学
挠度与转角的关系
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-3平面弯曲梁的变形
3.挠度与转角的关系
曲线方程的一般形式为 由微分学可知
y y 的函数，则挠 挠度 与转角 的数值随截面的位置 而变， x x 和 均为
y f ( x)
因工程中构件的 值很小， tan ，则有
dy y dx
即梁横截面的转角函数等于梁的挠度y函数对x的一阶导数。
工程力学
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主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
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挠度与转角的关系
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-3平面弯曲梁的变形
3.挠度与转角的关系
曲线方程的一般形式为 由微分学可知
y y 的函数，则挠 挠度 与转角 的数值随截面的位置 而变， x x 和 均为
y f ( x)
第十三讲：第九章 梁的弯曲-变形刚度计算概要
例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A
x
e
解：
1.列微分方程并积分
B
M e Me x e M e FAy= M M EIy xx M l l l Me 2 EIy x Me x C 2l Me 3 Me 2 EIy x x Cx D 6l 2
33 5 Fl Fl Fl 2 l 6EI EI 2 EI 3
五、 叠加法求梁的变形
基本原理 由几个外力同时作用时所引起的梁的变形 转角和挠度 等于
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F M
e
y yq y F y M e
例13 求B和yB 解： 1. Me单独作用时 2Mel BM e EI 2 2 2 M l M 2 l e y BM e e EI 2 EI 2. F单独作用时 2 Fl BF CF 2 EI yBF yCF CF l
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2.数学方面
A
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
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挠度和转角计算公式
《挠度和转角计算公式》
挠度(sag)和
1、挠度的定义：
挠度(sag)是指弹性体经受内力时形变的程度，也可以定义为弹性体在受力后，其形状发生的偏移量。
2、挠度的计算公式
挠度的计算公式为：挠度S=F×L/E×I，其中，F为外力，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。
3、转角的定义
转角(twist angle)指的是当被施加外力时，弹性体的一端相对于另一端转动的角度。
4、转角的计算公式
转角的计算公式为：转角α=F×L/G×J，其中，F为外力，L为梁的长度，G为梁的刚度系数，J为梁的惯性矩。
- 1 -。