第六章第四节 计划的定量方法

二、线性规划法线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究两方面的问题：一是研究在人力、物力、财力一定的条件下，如何合理利用这些资源取得最大利润；二是在任务一定的条件下，如何统筹安排，以最小的资源消耗来完成任务。

计划管理的重要任务，就是要合理利用组织的有限资源，取得最佳的经济效益。

因此，线性规划法可以在计划管理中广泛应用。

它具体可以解决以下一些最优化问题：资源的合理利用、生产任务的合理分配、工作的合理安排、机床负荷的合理安排、零件加工顺序的合理安排、物资运输的最优调配、原材料的合理下料、厂址的选择和工厂的合理布置等问题。

（一）线性规划的运用条件运用线性规划必须具备以下基本条件：1、有明确的目的。

如追求最大利润、最低成本、最短时间等。

2、资源有限。

如果可供利用的资源是无限的，则无需进行合理规划。

3、有多种可行方案。

如果只有一个达到目的的方案，则无优选的必要。

4、线性相关。

即各因素（变量）之间必须线性相关，可以用线性方程式表示。

（二）线性规划的数学模型线性规划所要解决的问题，就是要求一组变量在同时满足一定约束条件下使目标函数最优化。

因此，线性规划问题的数学模型一般包括目标函数和一组约束条件方程。

目标函数：()n n x c x c x c x f +++= 2211（取最大值或最小值）约束条件：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++决策变量的非负要求n i x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a mn mn m m n n n n ,,2,10,,,122112222212111212111（三）线性规划的应用步骤第一步：建立线性规划模型。

即根据所提出的问题和希望达到的目的，建立目标函数；根据所给出的限制条件，建立约束条件方程组。

例：设某企业生产A 、B 两种产品，A 产品每件可获利润70元，B 产品每年可获利润120元。

两种产品都要用甲、乙、丙三种原材料，各产品的材料消耗定额及原材料下月的可供量如表3—2所列。

试决定下月的生产计划，使其利润最大。

A 、B 产品原材料消耗定额表 表3—2 产品 材料材料消耗定额（公斤/件） 下月材料可供 量（公斤） A B 甲 9 4 3,600 乙 4 5 2,000 丙3103,000解：设X 1，X 2分别为A 、B 产品下月的计划产量（决策变量），S 为利润额。

依题意，其线性规划数学模型如下：目标函数：2112070x x S +=约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0,300010320005436004921212121x x x x x x x x 第二步：求解。

即找出在同时满足约束条件下使目标函数（利润）最大的计划方案。

此处可用图解法求解。

首先，以X 1为横轴，X 2为纵轴，根据约束条件方程在平面直角坐标系中作出图形（见图3—5），找出可行解区域。

图3—5从图中可以看出，各直线所围成的凸多边形OABCD就是该问题的可行解区域。

其次，从可行解区域中找出最优解。

办法可采用枚举法，将凸集各顶点的坐标值分别代入目标函数求值，进行比较，取最大值。

目标函数最大值所对应的变量值即为所求。

在本例中，利用约束条件方程组，很容易求出各顶点的坐标值：O（0，0），A（0，300），B（200，240），C（345，124），D（400，0）分别代入目标函数方程求值得：S0=0S A=70×0+120×300=3600S B=70×200+120×240=42800S C=70×345+120×124=39030S D=70×400×+120×0=28000比较得知：在B点的目标函数值最大，即当X1=200，X2=240时，利润最大。

所以，下月应安排生产A产品200件，B产品240件。

用图解法求解比较简单，但只适用于含两个决策变量的问题。

要解决含多个变量的问题，应采用“单纯形法”，限于篇幅，此处不作介绍。

计划工作的一个重要步骤是综合平衡，其中包括处理好计划与各种资源限制间的协调。

线性规划法正是进行综合平衡，并由此选择优化方案，而在实践中常用的一种计划工具。

三、网络计划法（一）网络计划法的含义和适用范围网络计划法是指以网络图的形式反映和表达计划的安排，控制和协调生产或工作的进度和资源消耗，选择最优方案的一种科学有效的计划方法。

网络计划方法最主要的适用范围是一次性的大规模工程项目，此外还有着十分广泛的适用领域，如企业、行政事业单位的很多工作安排均可以用网络计划法进行，甚至个人或家庭的生活也可用网络计划法进行规划。

在工业企业管理中，诸如设备维修、新产品试制及单件小批生产计划的安排较适合于运用网络计划法。

（二）网络图的构成网络计划法的基础是网络图，掌握网络图的结构是正确绘制网络图的首要条件。

一个完整的网络图，应由以下要素构成：1、活动。

这是指在工艺技术和组织管理上相对独立的工作、任务或作业等，因此活动也叫工作、任务或作业。

在网络图中，活动用一条箭线（→）表示，箭尾代表活动的开工，箭头则代表活动的完工，箭线之长短与活动大小无关。

在箭线的上下方可标明一些符号或数据，以表示活动的代号或活动对某种资源的消耗量。

2、事件。

这是指相邻活动在时间上的分界点，也叫结点。

在网络图中，结点用圆圈（O）表示，并可以进行编号。

一个网络图只能有一个起点结点和一个终点结点，起点结点代表整个计划的开始，而终点结点则代表整个计划的完工。

除起点结点和终点结点以外，中间的任何一个结点都具有双重含义，它既代表前面活动的完工，又代表后续活动的开始。

3、路线。

这是指从网络图的起点结点开始，顺着箭线的方向，连续不断地达到终点的一条通路。

一个网络图往往有多条路线，其中周期最长的路线称为关键路线，关键路线的周期也即整个计划的周期。

在网络图中，关键路线用粗线、双线或有色线表示。

（三）网络图的绘制规则作为网络计划之基础的网络图，如果绘制出错，则整个计划的安排就失误。

为此，绘制网络图时需遵循以下规则：1、任意相邻的两结点之间只能连一条箭线，并仅以表达一项活动，即同一活动在网络图中不能重复表达。

2、网络图中不能出现封闭的循环路线。

所谓封闭的循环路线是指从某结点出发，顺箭线方向经过若干活动后又回到原结点所形成的路线，如此情况的出现说明计划项目总在某局部循环而始终难以到达终点，计划任务永远无法最终完成。

3、网络图中不能出现缺口。

所谓缺口是指出现了无法到达终点的活动。

网络图中任何一项活动都应能顺箭线方向到达终点，否则，就无法完成计划任务。

4、网络图中平行活动必须用虚箭线进行连接。

所谓平行活动是指两个以上的活动，其先行活动和后继活动相同且必须同时进行的活动；而虚箭线则是指代表作业时间为零的箭线，用“----→”表示，它不占用时间，也不消耗资源，主要作用是用来衔接活动的相互关系。

如某设备大修，要经过4项活动：先进行设备解体（a），之后同时进行电气修理（b）和机械修理（c），最后安装（d）。

则应绘成的网络图如图3—6所示。

图3—65．网络图中结点必须编号，且箭尾结点编号应小于箭头结点的编号。

（四）网络图的绘制步骤1、调查研究工程项目的有关情况凡计划项目涉及到的所有资料都必须进行收集、调查和分析，其中最主要的内容有两项，一是项目的工艺流程；二是整个计划及计划内各活动的资源消耗。

否则就无法进行网络计划安排。

因为网络计划法最主要的适用对象是那些一次性的大规模工程项目，以前没有进行过，故计划的资源消耗并无现成资料可以借鉴。

这就需要我们深入地进行调查研究，用科学的方法进行环境预测，尽可能准确地掌握所需要的计划资料。

2、进行工程项目的分解这里主要指将整个计划项目分解成若干独立的活动。

分解时要掌握每个活动的紧前活动、紧后活动，了解有多少平行活动。

在此基础上，可绘制出一张活动逻辑关系表。

设某企业进行某新产品试制，共经过10项活动，各项活动的逻辑关系及所需时间如下表所示：活动逻辑关系表3、按规则绘图绘图时，必须遵循网络图的绘制规则。

如上例，绘制的网络图如图3—7所示。

图3—7 新产品试制网络图（五）网络时间参数的计算1、作业时间。

即某活动从开工到完工的延续时间。

作业时间分肯定型和非肯定型两类。

所谓肯定型作业时间是指以前进行过的活动，其时间长短有资料可以借鉴，经过整理后可直接求出的时间；而非肯定型作业时间是指以前没进行过的活动，其所需时间无资料可借鉴，此时用三点估计法进行估算，然后求其加权平均值得出的时间，即对各项活动先估计出最乐观时间（a ）、最悲观时间（b ）和最可能时间（m ）三个值，然后求其加权平均值，以此作为该活动的估计作业时间（T ）：64bm a T ++=2、结点时间。

结点时间有两个：①结点最早开工时间（ES i ），指从某结点出发的活动最早可能的开工时间，在这之前不具备开工条件。

结点最早开工时间在图上用□表示，计算时顺箭线方向按结点编号逐一进行。

先令ES 1=0，其它结点最早开工时间按下式计划：{}T ES ES i j +=max即箭头结点最早开工时间，等于箭尾结点最早开工时间加该箭线的作业时间，如果有多条箭线指向该结点，则取其相加后的最大值。

②结点最迟完工时间（LFi ），指所有指向该结点的活动最迟必须完工的时刻，否则，就会影响后续活动的开工甚至整个计划的完工。

结点最迟完工时间在图上用△表示，计算时逆箭线方向进行。

令ES 终=LF 终，其他结点最迟完工时间按下式计算：{}T LF LF j i -=min即箭尾结点最迟完工时间，等于箭头结点最迟完工时间减该箭线的作业时间，如果有多条箭线从该结点出发，则取其相减后的最小值。

上述计算结果如图3—7所示。

3、活动时间。

活动有四个时间：①活动最早开工时间（ES ij ） ES ij =ES i②活动最早完工时间（EF ij ） EF ij =ES ij +T③活动最迟完工时间（LF ij ） LF ij =LF j④活动最迟开工时间（LS ij ） LS ij =LF ij —T即活动的最早开工与最迟完工时间直接利用结点的最早开工与完工时间进行转换。

⑤总时差（S ）。

它是指某活动的开工与完工时间可以提前或推迟的机动余地。

若某活动从最早开工时间开工，到最迟完工时间完工，则从最早开工到最迟完工为该活动最大允许的活动范围，该范围如果超过了活动的作业时间，就会产生时差。

见图3—8图3—8可见，S= LF ij —EF ij 或 S= LS ij —ES ij（六）关键路线和计划周期的确定以总时差为零的活动为关键活动，由关键活动连接起来的路线即为关键路线。

关键路线的周期就是网络计划的周期。