一阶逻辑推理规则

5.3 一阶逻辑的推理理论

例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明：不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。解：设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（））， →H（结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+）全称量词引入规则（简称UG UG ，） xA（ A（y）⇒∀xA（x）公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-）存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c）公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。，指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ，（）提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ，（） ① ∀x∃y F（x，y）前提引入 ∃ （，） ② ∃y F（z，y）（，） ① UI规则 ③ F（z，c）（，） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则（，）解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个）（1）前提引入规则（2）结论引入规则（3）置换规则

05 一阶逻辑等值演算与推理

例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提前讲
证只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明对无分配律, 而对无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组代换实例命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式.

4一阶逻辑公式及解释

4一阶逻辑公式及解释一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）是数理逻辑中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、计算机科学和人工智能等领域。

在一阶逻辑中，逻辑公式是推理的基础，能够对命题进行符号化的描述和推理。

本文将介绍一阶逻辑的基本概念和常见的一阶逻辑公式，并对其进行解释。

一、一阶逻辑基本概念1. 常量：在一阶逻辑中，常量是指代具体对象的符号，如a、b、c 等。

常量一般用小写字母表示。

2. 变量：变量是用来占位的符号，可以代表任意对象。

在一阶逻辑中，变量一般用大写字母表示，如X、Y、Z等。

3. 函数：函数是一种从一个或多个参数到一个值的映射关系。

在一阶逻辑中，常用的函数包括算术函数、关系函数等。

函数一般用小写字母或希腊字母表示，如f(x)、g(x)等。

4. 谓词：谓词是描述对象性质的符号，可以表示真假的陈述。

在一阶逻辑中，常用的谓词包括等于、大于、小于等。

谓词一般用小写字母或希腊字母表示，如P(x)、Q(x)等。

二、一阶逻辑公式在一阶逻辑中，公式是用符号表示的逻辑陈述，包括原子公式和复合公式两类。

1. 原子公式原子公式是一阶逻辑中最基本的公式，它不再含有其他公式作为子公式。

原子公式由一个谓词和一个或多个常量、变量组成，形式为P(t1,t2,...,tn)，其中P为谓词，t1,t2,...,tn为常量、变量。

举例：P(a,b)表示P是一个二元谓词，a和b是其两个参数。

2. 复合公式复合公式由一个或多个公式通过逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）组合而成。

- 否定（¬）：如果φ是一个一阶逻辑公式，则¬φ也是一个一阶逻辑公式。

- 合取（∧）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∧ψ)也是一个一阶逻辑公式。

- 析取（∨）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∨ψ)也是一个一阶逻辑公式。

- 蕴含（→）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ→ψ)也是一个一阶逻辑公式。

举例：如果P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是聪明的”，那么复合公式可以表示为：(P(x)∧Q(x))，表示“x是人且x是聪明的”。

第5章一阶逻辑等值演算与推理

二、基本规则．置换规则设Φ()是含公式的公式，Φ()是用公式取代
Φ()中所有的之后的公式，若，则Φ() Φ(). 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置
换规则形式上完全相同，只是在这里，是一阶逻辑公式。
．换名规则设为公式，将中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为'，则' .
．存在量词引入规则(简称规则或)
该式成立的条件是：（）是特定的个体常项。（）取代的不能在()中出现过。
．存在量词消去规则(简记为规则或)
该式成立的条件是：（）是使为真的特定的个体常项。（）不在()中出现。（）若()中除自由出现的外，还有其它自由
出现的个体变项，此规则不能使用。
三、一阶逻辑自然推理系统定义自然推理系统定义如下：
()→() (换名规则) 原公式中，，都是既约束出现又有自
由出现的个体变项，只有仅自由出现。而在最后得到的公式中，，，，，中再无既是约束出现又有自由出现个体变项了。还可以如下演算，也可以达到要求。
()→() ()→() (代替规则) ()→() (代替规则)
(2)(()→()) (()→()) (代替规则)
本例说明，全称量词“”对“∨”无分配律。同样的，存在量词“”对“∧”无分配律。但当()换成没有出现的时，则有
(()∨) ()∨ () (()∧) ()∧ ()
例设个体域为＝{}，将下面各公式的量词消
去： () (()→()) () (()∨()) () () 解 () (()→())
(()→())∧(()→())∧(()→()) () (()∨())

一阶逻辑推理理论

一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使用量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明：（1）x（F(x)→G(x)）前提引入（2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入（4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数，取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )

一阶逻辑的推理理论

前提引入 ① US 否定结论引入 ③ 置换 ④ US ②⑤合取 ⑥置换前提引入 ⑧ US ⑦⑨合取
练习：构造下面推理的证明：前提： x(P(x) → Q(x)), ┐Q(a) 结论： ┐p(a)
一阶逻辑推理理论（简介）
福建师范大学数学与计算机科学学院
一阶逻辑推理规则
（1）前提引入规则
（2）结论引入规则
（3）置换规则
（4）代入规则（代换实例）
一阶逻辑推理规则
（5）全称特定化规则（US）（6）存在特定化规则（ES）
xA( x) A( y)
xA( x) A(c)
（7）全称一般化规则（UG）
（8）存在一般化规则（EG）
A( x) yA( y)
A(c) yA( y)
例 1 证明苏格拉底三段论：前提：凡人必死 x(M(x)→F(x))，M(x):x是人；F(x):x必死苏格拉底是人 M(c), c：苏格拉底结论：苏格拉底必死 F(c) 证明：
① x(M(x)→F(x))
一阶逻辑推理理论简介福建师范大学数学与计算机科学学院福建师范大学数学与计算机科学学院一阶逻辑推理规则一阶逻辑推理规则1前提引入规则2结论引入规则换3置换规则4代入规则代换实例一阶逻辑推理规则一阶逻辑推理规则5全称特定化规则us6存在特定化规则es全称化则ayxax??xaxac??aaxa?7全称一般化规则ug8存在一般化规则egyay??acyay??例1证明苏格拉底三段论
② M(c)→F(c) ③ M(c) ① US
前提引入
前提引入
④ F(c)
②③假言推理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 构造下面推理的证明：前提： x(P(x)∨Q(x)), x ┐P(x) 结论： x Q(x)

离散数学-第一部分-数理逻辑-第五章一阶逻辑等值演算与推理

(4) 量词分配等值式 ① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) ② x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
注意：对，对无分配律
5
量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
14
实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
15
实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
17
前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))

第4章_一阶逻辑

Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
7
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
8
一阶逻辑基本概念
当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元谓词。当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时，得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得到：杭州位于南京和北京之间，真值为0。当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
18
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域为不大于4的所有正整数。则xP(x)的真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
19
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域为数计学院的所有学生集合。解答：对于数计学院的任意一个学生x来说，x有一台计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，数计学院的所有学生要么有一台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
从苏格拉底三段论到一阶逻辑
苏格拉底苏格拉底三段论：人都是会死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。