4一阶逻辑公式及解释
屈婉玲离散数学第四章
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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F4一阶逻辑基本概念
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
一阶逻辑公式及解释
引入量化
一阶逻辑可以通过引入全称量词和存在量词来扩展其表达能力，使其能够描述更复杂的概念和关系。
函数符号
通过引入函数符号，一阶逻辑可以表达更丰富的语义信息，例如集合的运算和关系。
约束变量
通过引入约束变量，一阶逻辑可以表达更复杂的约束关系，例如集合的约束和时序约束。
语义解释
语义解释关注公式所表达的逻辑关系和意义，即公式在何种情况下为真或假。语义解释通常涉及对公式中命题变元的解释以及它们之间逻辑关系的理解。
总结词
语义解释着重于理解公式所表达的逻辑关系和意义，需要结合具体情境和背景知识进行解释。
详细描述
在语义解释中，我们需要对公式中的命题变元进行解释，明确它们所代表的实体或概念。此外，我们还需要理解公式中各个逻辑运算符的含义和作用，以及它们所表达的逻辑关系。通过结合具体情境和背景知识，我们可以深入理解公式的意义和真观察和实验数据推导出结论。
科学推理
在法律领域，推理规则用于根据法律条文和事实判断案件的合法性。
法律推理
在数学、哲学和计算机科学等领域，推理规则用于证明定理和推导结论。
逻辑推理
一阶逻辑的应用场景
CATALOGUE
05
知识表示
一阶逻辑是知识表示的常用工具，能够将知识以结构化的方式进行表达和存储，为推理提供基础。
公式的有效性：判断一个逻辑公式是否在所有情况下都为真。如果公式在所有可能的情况下都为真，则称为有效公式。
一阶逻辑推理规则
CATALOGUE
04
演绎推理
从一般到特殊的推理方式，即从普遍性前提推出特殊性结论。
归纳推理
从特殊到一般的推理方式，即从特殊性前提推出普遍性结论。
第4章_一阶逻辑
Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
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一阶逻辑基本概念
当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。 例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元 谓词。当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时， 得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值 为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得到： 杭州位于南京和北京之间，真值为0。 当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域 为不大于4的所有正整数。则xP(x)的 真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域为数计学院的所有学生集合。 解答：对于数计学院的任意一个学生x来说，x有一台 计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，数计学院的所有学生要么有一 台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
从苏格拉底三段论到一阶逻辑
苏格拉底苏格拉底三段论：人都是会死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
ch4 一阶谓词公式
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 1、个体常项: 独立存在的个体，如“杨圣洪”、“老 王”. 2、个体变元 a, b, c 表示某个范围(个体域)任意对象。 t表示“老师”中任一位,p表示“人”类中任一位。 3、谓词 大写字母表示F，G，H 刻画一个对象的性质或多个对象之间的关系。 如：杨圣洪是老师，杨圣洪是男人 杨圣洪与刘晓华是同事。 x是老师，y是男人，x与y是同事 F(x)表示x是老师，F(杨圣洪) M(y)表示y是男人，M(杨圣洪) L(x,y)表示x与y是同事，L(杨圣洪,刘晓华) 谓词常项：含义是确定，如F、M、L。 谓词变项：含义是不确定，如K(x,y),P(x,z)，简称谓词 当谓词常项中没有变元时，它为命题，如F(杨圣洪) 当谓词中不含有个体变元时，称为0元谓词。K(杨圣洪,
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 例3 (1)兔子比乌龟跑得快 (2)有的兔子比所有的乌跑得快 (3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 (4)不存在跑得同样快的两只兔子. 解：H(x,y)表示x比y跑得快. L(x,y)表示x与y一样快 R(x)表示x是兔子 T(x)表示x是乌龟 (1) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (2) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (3) xy(R(x)T(y)H(x,y)) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (4) xy(R(x)R(y)L(x,y)) xy(R(x)R(y) L(x,y))
dom(x)=D2=实数集R F(x)表示x是自然数，G(x)表示x是整数。 x(F(x)G(x))：所有的自然数都是整数，值为T.
例4.7：xy (F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)) f(x,y),g(x,y)是函数变元，一元谓词公式F(x),二 元谓词G与H。 x与y的个体域：全总个体域。 F(x):x是实数 G(x,y):xy H(x,y):x>y f(x,y)=x2+y2 g(x,y)=2xy 这时整个公式的含义： 对于任意的x和y，若x与y是实数且xy，那么 x2+y2 >2xy ，其真值为1. 如果H(x,y): x<y，则以上解释为假。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
一阶逻辑的合适公式及解释
一阶逻辑的合适公式及解释一、一阶逻辑合适公式是啥呢？一阶逻辑里的合适公式啊，就像是这个逻辑世界里的“合法居民”。
你想啊，就像在一个游戏里，每个角色都得符合一定的规则才能存在，合适公式也是这样。
它是按照一阶逻辑的语法规则构建出来的表达式。
比如说，原子公式就是那些最基本的构建块，像P(x)这种，P呢可能是一个谓词，比如说“是红色的”，x就是一个变量，可以代表某个东西。
然后呢，我们可以用逻辑连接词，像“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）这些把原子公式组合起来，就像搭积木一样，搭出更复杂的合适公式。
比如说，P(x) ∧ Q(x)，这就表示x既满足P又满足Q这个情况。
二、合适公式的解释又是什么鬼呢？哈哈，这个解释啊，就像是给这些公式赋予生命一样。
我们给变量、谓词都赋予实际的意义。
比如说，我们说这个变量x代表“苹果”，谓词P代表“是甜的”，那P(x)就是说这个苹果是甜的。
在解释的时候，我们还得确定一个论域，就是这个变量能取的值的范围。
比如说，我们的论域是所有的水果，那x就只能是水果啦。
而且啊，不同的解释会让同一个公式有不同的结果哦。
就像同样一句话，在不同的场景下意思就不一样。
比如说，P(x)在一种解释下可能是真的，换一种解释可能就变成假的了。
三、那合适公式和解释之间有啥好玩的联系呢？这就有趣啦。
合适公式就像是一个没有被填满的框架，解释呢就是把这个框架变成一个有血有肉的东西。
比如说，一个合适公式就像一个菜谱，变量和谓词是那些原料和步骤，解释就是真正按照菜谱做出一道菜来。
而且啊，通过改变解释，我们可以探索这个合适公式的各种可能性。
就像我们可以用不同的食材按照同样的菜谱做出不同口味的菜一样。
我们可以通过对合适公式进行不同的解释来看看它在不同情况下的表现。
这就像是在探索一个神秘的逻辑世界，每一种解释都是打开一扇新的门，让我们看到这个公式不同的一面。
四、举些例子来瞅瞅呗。
比如说我们有个合适公式∀x (P(x) → Q(x))。
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4一阶逻辑公式及解释
一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）是数理逻辑中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、计算机科学和人工智能等领域。
在一阶逻辑中，逻辑公式是推理的基础，能够对命题进行符号化的描述和推理。
本文
将介绍一阶逻辑的基本概念和常见的一阶逻辑公式，并对其进行解释。
一、一阶逻辑基本概念
1. 常量：在一阶逻辑中，常量是指代具体对象的符号，如a、b、c 等。
常量一般用小写字母表示。
2. 变量：变量是用来占位的符号，可以代表任意对象。
在一阶逻辑中，变量一般用大写字母表示，如X、Y、Z等。
3. 函数：函数是一种从一个或多个参数到一个值的映射关系。
在一
阶逻辑中，常用的函数包括算术函数、关系函数等。
函数一般用小写
字母或希腊字母表示，如f(x)、g(x)等。
4. 谓词：谓词是描述对象性质的符号，可以表示真假的陈述。
在一
阶逻辑中，常用的谓词包括等于、大于、小于等。
谓词一般用小写字
母或希腊字母表示，如P(x)、Q(x)等。
二、一阶逻辑公式
在一阶逻辑中，公式是用符号表示的逻辑陈述，包括原子公式和复
合公式两类。
1. 原子公式
原子公式是一阶逻辑中最基本的公式，它不再含有其他公式作为子
公式。
原子公式由一个谓词和一个或多个常量、变量组成，形式为
P(t1,t2,...,tn)，其中P为谓词，t1,t2,...,tn为常量、变量。
举例：P(a,b)表示P是一个二元谓词，a和b是其两个参数。
2. 复合公式
复合公式由一个或多个公式通过逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）组合而成。
- 否定（¬）：如果φ是一个一阶逻辑公式，则¬φ也是一个一阶逻
辑公式。
- 合取（∧）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∧ψ)也是一
个一阶逻辑公式。
- 析取（∨）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∨ψ)也是一
个一阶逻辑公式。
- 蕴含（→）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ→ψ)也是一
个一阶逻辑公式。
举例：如果P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是聪明的”，那么复合公
式可以表示为：(P(x)∧Q(x))，表示“x是人且x是聪明的”。
三、解释一阶逻辑公式
解释一阶逻辑公式是指为公式中的变量赋予具体值，使得公式成立。
解释一阶逻辑公式需要给出一个解释域和一个指派函数。
- 解释域：指示了变量可能取值的范围，可以是整数、实数、布尔值等。
- 指派函数：将变量映射到解释域中的值。
通过给变量赋值，我们可以判断一个公式在某个解释下是否成立。
如果在所有可能的解释下都成立，那么该公式就是有效的。
综上所述，一阶逻辑是对命题进行符号化描述和推理的工具，其中逻辑公式是推理的基础。
原子公式和复合公式是一阶逻辑中常见的公式形式，可以通过逻辑连接词进行组合。
解释一阶逻辑公式需要给变量赋具体值，可以判断公式的成立性。
了解和掌握一阶逻辑公式的概念和解释方法对于理解和应用一阶逻辑具有重要意义。