一阶逻辑等值演算与推理
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则
05 一阶逻辑等值演算与推理
例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
第二章一阶逻辑
本命题符号化为 ┐ x(W(x)→B(x))。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。 解 ⑴兔子比乌龟跑得快。 令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。 本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))， 或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。 本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。 本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。 这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性 质。 个体词：是表示个体的符号。 谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关 系。一般用大写英文字母表示谓词。 例 张三比李四高。 有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关 系。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。 解 ⑴兔子比乌龟跑得快。 令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。 本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))， 或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。 本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。 本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。 这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性 质。 个体词：是表示个体的符号。 谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关 系。一般用大写英文字母表示谓词。 例 张三比李四高。 有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关 系。
离散数学一阶逻辑等值演算
推理系统通常由一组公理和推理规则组成，公理是 不需要证明的基本命题，而推理规则则指导如何从 已知命题推导出新命题。
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
第二章 一阶逻辑
存在量词 的意义由个体域确定。
每个人都有心脏。
取人的集合为个体域。
P(x)：x 有心脏。符号化为 xP(x)。
取所有生物的集合为个体域。
R(x)：x 是人。
符号化为 x(R(x) P(x)) ：对于每个生物 x，
如果 x 是人，则 x 有心脏。
x(R(x) P(x)) 表达“每个生物都是人，并且都
有心脏”，是假命题。
有的狗会飞。
取狗的集合为个体域。
P(x)：x 会飞。 符号化为 xP(x) 。
取所有动物的集合为个体域。
D(x)：x 是狗。
符号化为 x(D(x) P(x)) ： 存在一个动物 x，
x 是狗，并且 x 会飞。
x(D(x) P(x)) 表达“有一个动物，如果它是
用大写英文字母表示谓词。可以把 n 元谓词看 做自变量从个体域取值，函数值为真值的 n 元函数。
设个体域是有理数集。用 P 表示一元谓词 “„是整数”，P(x) 并不表示命题，没有确 定的真值，因为 x 的值不确定。P(2) 表示真 命题“2 是整数”，P(2) = 1。P(1.5) = 0。 用 F 表示二元谓词“„等于„”，则 F(2,2) = 1，F(3,2) = 0。
有的有理数是整数。
取个体域为实数集。
Q(x)：x 是有理数。 P(x)：x 是整数。 符号化为 x(Q(x) P(x)) 每个计算机系的学生都学离散数学。 取个体域为全校学生的集合。 P(x)：x 是计算机系的学生。 R(x)：x 学离散数学。 符号化为 x(P(x) R(x))
B(x)：x 是北京人。 W(x)：x 是在北京工作的人。 这句话否定了在北京工作的人都是北京人。 符号化为 x(W(x) B(x)) 有的在北京工作的人不是北京人。 也可符号化为 x(W(x) B(x))
一阶逻辑的推理演算
1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
一阶逻辑演算
T, ③辖域扩张
US, ④
US, ⑤
UG, ⑥
说明:1)不能对∃F()→∀G()消量词, 因为它不是前束范式
2)对此题不能用附加前提证明法
例5.11构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G()), ∃F()
结论: ∃G()
证明: ①∃F()
P
②∀(F()→G())
P
③ F()
量词辖域扩张等价式
量词辖域扩张等价式
∃∀∀((P() ∨ Q())→R())
注：
1)∀、∃与∀z不能颠倒；
2)前束范式的各指导变元应是各不相同的；
3)原公式中自由出现的个体变元, 在前束范式中还是自由出现的；（可用来判定正确性）
4)在求前束范式时, 要保证它们约束和自由出现的身份与次数都不能改变, 并且不能混淆
例5.9用附加前提法构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G())
结论: ∀F()→∀G()
证明:
① ∀F()
CP
② F()
US, ①
③ ∀(F()→G())
P
④ F()→G()
US, ③
⑤ G()
T, ②④假言推理
⑥ ∀G()
UG, ⑤
例5.10构造下述推理证明
消去量词等值式
设D={a1,a2,…,an}
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
第2组
量词否定等值式
设A(x)是含x自由出现的公式
xA(x) x A(x)
xA(x)x A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x
定义5.2 前束范式:形如(Q11)(Q22)…(Qkk)B的一个合式公式, 被称为前束范式。其中
US, ④
US, ⑤
UG, ⑥
说明:1)不能对∃F()→∀G()消量词, 因为它不是前束范式
2)对此题不能用附加前提证明法
例5.11构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G()), ∃F()
结论: ∃G()
证明: ①∃F()
P
②∀(F()→G())
P
③ F()
量词辖域扩张等价式
量词辖域扩张等价式
∃∀∀((P() ∨ Q())→R())
注：
1)∀、∃与∀z不能颠倒；
2)前束范式的各指导变元应是各不相同的；
3)原公式中自由出现的个体变元, 在前束范式中还是自由出现的；（可用来判定正确性）
4)在求前束范式时, 要保证它们约束和自由出现的身份与次数都不能改变, 并且不能混淆
例5.9用附加前提法构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G())
结论: ∀F()→∀G()
证明:
① ∀F()
CP
② F()
US, ①
③ ∀(F()→G())
P
④ F()→G()
US, ③
⑤ G()
T, ②④假言推理
⑥ ∀G()
UG, ⑤
例5.10构造下述推理证明
消去量词等值式
设D={a1,a2,…,an}
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
第2组
量词否定等值式
设A(x)是含x自由出现的公式
xA(x) x A(x)
xA(x)x A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x
定义5.2 前束范式:形如(Q11)(Q22)…(Qkk)B的一个合式公式, 被称为前束范式。其中
第五章等值演算与推理
直观上为什么等价？
22
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
❖ x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x y (F(x) G(y))
23
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
x F(x,y) y G(x,y)
P80,12(4)
G(c)) ❖ x y F(x,y) y (F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (F(a,a) F(b,a) F(c,a)) (F(a,b)
F(b,b) F(c,b)) (F(a,c) F(b,c) F(c,c))
16
5.1 等值式与置换规则
给定解释I如下：
❖ D={2, 3} ❖ a* = 2 ❖ f*(2) = 3, f*(3) = 2 ❖ F*(2) = F, F*(3) = T ❖ G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T,
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换
置换
12
实例
(2) 不是所有的人都爱看电影 解 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
该结论是错误的，原因在于
c不在Γ的任何公式出现
36
5.3 推理理论
全称量词引入规则(UG)，给定前提 Γ={A1,…,An} A(x) 结论：x A(x)
条件：
❖x不在Γ中任何公式自由出现
思考：假设Γ={F(x), F(x)G(x)}
❖Γ⊢ G(x) ❖是否有Γ⊢ x G(x)？
22
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
❖ x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x y (F(x) G(y))
23
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
x F(x,y) y G(x,y)
P80,12(4)
G(c)) ❖ x y F(x,y) y (F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (F(a,a) F(b,a) F(c,a)) (F(a,b)
F(b,b) F(c,b)) (F(a,c) F(b,c) F(c,c))
16
5.1 等值式与置换规则
给定解释I如下：
❖ D={2, 3} ❖ a* = 2 ❖ f*(2) = 3, f*(3) = 2 ❖ F*(2) = F, F*(3) = T ❖ G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T,
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换
置换
12
实例
(2) 不是所有的人都爱看电影 解 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
该结论是错误的，原因在于
c不在Γ的任何公式出现
36
5.3 推理理论
全称量词引入规则(UG)，给定前提 Γ={A1,…,An} A(x) 结论：x A(x)
条件：
❖x不在Γ中任何公式自由出现
思考：假设Γ={F(x), F(x)G(x)}
❖Γ⊢ G(x) ❖是否有Γ⊢ x G(x)？
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刘芳
第5章 一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式 5.2 一阶逻辑前束范式
5.3 一阶逻辑的推理理论
2015-1-9 1
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5.1 一阶逻辑等值式
定义5.1
设A,B是一阶逻辑中的 任意两公式，若A B为永真
式，称A和B等值，记为AB，称AB 是等值式。
④ F(c) →G(c) ⑤ G(c)
⑥ xG(x)
⑤ +
26
2015-1-9
?能否将③④步与①②步互换。 注意：必须先消存在量词！
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.10 （习题23-1）
前提：x (F(x)→G(x)) ， x(F(x) H(x)) 结论： x(G(x) H(x ) )
Group 2: 由基本等值式生成的推理定律
2015-1-9
17
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 3:一阶逻辑的两个重言蕴含式
一 阶 逻 辑 等 值 式 和 前 束 范 式
（1） xA(x)∨ xB(x) x(A(x)∨B(x))
证明：
若xA(x)∨xB(x) 为1，即xA(x)为1，或xB(x) 为
则称A为前束范式。
例如:
xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x)) x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
2015-1-9
13
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5.2一阶逻辑前束范式
例5.6 (P71) ：求如下公式的前束范式：
5.量词的交换
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) y xA(x,y)
5
2015-1-9
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5.1 一阶逻辑等值式
例5.3：设个体域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量词:
(1) x(F(x)G(x))
(F(a)G(a))(F(b)G(b))(F(c)G(c))
x(BA(x))BxA(x)
2015-1-9
4
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5.1 一阶逻辑等值式
4.量词分配等值式
设A(x) 和B(x)都是包含自由变元x的谓词公式，则：
x(A(x) ∧B(x)) xA(x) ∧ xB(x) x(A(x)∨ B(x)) xA(x)∨ xB(x)
换名规则
将公式A中某量词的指导变元及其在辖域内的所有 约束出现改成该量词辖域内未曾出现的某个个体 变项, 其余部分不变, 记所得公式为A, 则AA。
2015-1-9 9
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5.1 一阶逻辑等值式
例如：
xP(x) →Q(x) yP(y) →Q(x)
x (P(x,y) →Q(x,y) ) ∨P(x,z)
(2) x(F(x)yG(y))
xF(x)yG(y) 量词辖域收缩 (F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))
(3) xyF(x,y) x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))(F(b,a)F(b,b)F(b,c)) (F(c,a)F(c,b)F(c,c))
1，故x(A(x)∨B(x)) 为1。
找反例说明二者不等值
D ：正整数集合 A(x) ：x是奇数
B(x) ：x是偶数
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一 阶 逻 辑 等 值 式 和 前 束 范 式
Group 3:一阶逻辑的两个重言蕴含式 （2） x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧ xB(x) 证明： 若 x(A(x)∧B(x))为1，即至少有一个c∈D，使A(c) ∧
3
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5.1 一阶逻辑等值式
3.量词辖域收缩与扩张等值式 设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现 关于全称量词的：
x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
关于存在量词的:
x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
3.存在量词引入规则(Existential Generalization， +)
A( c ) xA( x )
c是论域中的某个个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则 4.存在量词消去规则(Existential Identification， -)
xA( x ) A( c )
c是论域中的某个个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一 阶 逻 辑 推 理 理 论
例: 证明苏格拉底论证是有效的。 证明：
设F(x):x是人， G(x):x是要死的， a：苏格拉底 则格拉底论证符号化为： 前提： x(F(x) →G(x))， F(a) 结论：G(a)
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一阶逻辑的推理定律
一 阶 逻 辑 推 理 理 论
Group 1: 命题逻辑推理定律的代换实例；
命题演算中的永真蕴涵式，以及由代入规则生成的永
真蕴涵式； （ P →Q）∧P Q （xP(x) → yE(y)） ∧ xP(x) yE(y)
t (P(t,y) →Q(t,y) ) ∨P(x,z)
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5.1 一阶逻辑等值式
3.自由变元的代替规则
一 阶 逻 辑 公 式 及 解 释
将公式A中某个自由出现的个体变项的所有出现用A
中未曾使用过的个体变项符号代替，A中其余部分不 变，所得公式A’， 则AA。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.9：在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：
前提： x(F(x) →G(x)) ， xF(x) 一 阶 逻 辑 推 理 理 论 结论： xG(x) 证明： ① xF(x) 前提引入 ① -
② F(c)
③ x(F(x) →G(x))
前提引入
③ ②④假言推理
基本等值式
Group 1.命题逻辑中基本等值式的代换实例
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P →Q ┐P ∨Q xP(x) → yE(y) ┐ xP(x) ∨ yE(y) x(P(x) → Q(x)) x (┐P (x) ∨ Q(x))
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5.1 一阶逻辑等值式
group2 1.消去量词等值式 • 对有限个体域D＝{a1,a2, …,an}中
xF(x) ∧ ┐xG(x) xF(x) ∨ ┐ xG(x)
定理5.1：(前束范式存在定理) 例5.7 (P73)
一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
1.推理的形式结构
一 阶 逻 辑 的 推 理 理 论
形式1： A1A2…AkB 形式2： 前提： A1, A2, … , Ak
B(c)为1，也就是A(c) 为1， B(c)为1，故 xA(x)∧ xB(x)为1。
找反例说明二者不等值
D ：正整数集合
A(x)：x是奇数； B(x)：x是偶数
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
1.全称量词消去规则(Universal Identification， - )
例5.11(习题21)
前提：┐x (F(x) H(x))， x( G(x)→H(x)) 结论： x(G(x) → ┐F(x ) )
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xA( x) A(c)
c是论域中的任意个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
2.全称量词引入规则(Universal Generalization， + )
A(c) xA( x)
c是论域中的任意个体。
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5.1 一阶逻辑等值式
置换规则、换名规则、代替规则
1.置换规则
若AB, 则(A) (B).
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5.1 一阶逻辑等值式
2.换名规则
约束变元的换名依据
一个公式的约束变元可使用多个名称，具体符号 无关紧要，故可对约束变元进行换名。 例如：xP(x) yP(y)
xA(x) A(a1)∧A(a2)∧……∧A(an) xA(x) A(a1)∨A(a2)∨……∨A(an)
2.量词的否定等值式
（全称量词和存在量词之间的关系, A(x)是含x自由出现的公式）
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┐xA(x) x┐A(x) ┐ xA(x) x┐A(x)
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第5章 一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式 5.2 一阶逻辑前束范式
5.3 一阶逻辑的推理理论
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5.1 一阶逻辑等值式
定义5.1
设A,B是一阶逻辑中的 任意两公式，若A B为永真
式，称A和B等值，记为AB，称AB 是等值式。
④ F(c) →G(c) ⑤ G(c)
⑥ xG(x)
⑤ +
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?能否将③④步与①②步互换。 注意：必须先消存在量词！
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.10 （习题23-1）
前提：x (F(x)→G(x)) ， x(F(x) H(x)) 结论： x(G(x) H(x ) )
Group 2: 由基本等值式生成的推理定律
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 3:一阶逻辑的两个重言蕴含式
一 阶 逻 辑 等 值 式 和 前 束 范 式
（1） xA(x)∨ xB(x) x(A(x)∨B(x))
证明：
若xA(x)∨xB(x) 为1，即xA(x)为1，或xB(x) 为
则称A为前束范式。
例如:
xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x)) x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
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5.2一阶逻辑前束范式
例5.6 (P71) ：求如下公式的前束范式：
5.量词的交换
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) y xA(x,y)
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5.1 一阶逻辑等值式
例5.3：设个体域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量词:
(1) x(F(x)G(x))
(F(a)G(a))(F(b)G(b))(F(c)G(c))
x(BA(x))BxA(x)
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5.1 一阶逻辑等值式
4.量词分配等值式
设A(x) 和B(x)都是包含自由变元x的谓词公式，则：
x(A(x) ∧B(x)) xA(x) ∧ xB(x) x(A(x)∨ B(x)) xA(x)∨ xB(x)
换名规则
将公式A中某量词的指导变元及其在辖域内的所有 约束出现改成该量词辖域内未曾出现的某个个体 变项, 其余部分不变, 记所得公式为A, 则AA。
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5.1 一阶逻辑等值式
例如：
xP(x) →Q(x) yP(y) →Q(x)
x (P(x,y) →Q(x,y) ) ∨P(x,z)
(2) x(F(x)yG(y))
xF(x)yG(y) 量词辖域收缩 (F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))
(3) xyF(x,y) x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))(F(b,a)F(b,b)F(b,c)) (F(c,a)F(c,b)F(c,c))
1，故x(A(x)∨B(x)) 为1。
找反例说明二者不等值
D ：正整数集合 A(x) ：x是奇数
B(x) ：x是偶数
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一 阶 逻 辑 等 值 式 和 前 束 范 式
Group 3:一阶逻辑的两个重言蕴含式 （2） x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧ xB(x) 证明： 若 x(A(x)∧B(x))为1，即至少有一个c∈D，使A(c) ∧
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5.1 一阶逻辑等值式
3.量词辖域收缩与扩张等值式 设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现 关于全称量词的：
x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
关于存在量词的:
x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
3.存在量词引入规则(Existential Generalization， +)
A( c ) xA( x )
c是论域中的某个个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则 4.存在量词消去规则(Existential Identification， -)
xA( x ) A( c )
c是论域中的某个个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一 阶 逻 辑 推 理 理 论
例: 证明苏格拉底论证是有效的。 证明：
设F(x):x是人， G(x):x是要死的， a：苏格拉底 则格拉底论证符号化为： 前提： x(F(x) →G(x))， F(a) 结论：G(a)
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一阶逻辑的推理定律
一 阶 逻 辑 推 理 理 论
Group 1: 命题逻辑推理定律的代换实例；
命题演算中的永真蕴涵式，以及由代入规则生成的永
真蕴涵式； （ P →Q）∧P Q （xP(x) → yE(y)） ∧ xP(x) yE(y)
t (P(t,y) →Q(t,y) ) ∨P(x,z)
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3.自由变元的代替规则
一 阶 逻 辑 公 式 及 解 释
将公式A中某个自由出现的个体变项的所有出现用A
中未曾使用过的个体变项符号代替，A中其余部分不 变，所得公式A’， 则AA。
刘芳
5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.9：在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：
前提： x(F(x) →G(x)) ， xF(x) 一 阶 逻 辑 推 理 理 论 结论： xG(x) 证明： ① xF(x) 前提引入 ① -
② F(c)
③ x(F(x) →G(x))
前提引入
③ ②④假言推理
基本等值式
Group 1.命题逻辑中基本等值式的代换实例
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P →Q ┐P ∨Q xP(x) → yE(y) ┐ xP(x) ∨ yE(y) x(P(x) → Q(x)) x (┐P (x) ∨ Q(x))
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5.1 一阶逻辑等值式
group2 1.消去量词等值式 • 对有限个体域D＝{a1,a2, …,an}中
xF(x) ∧ ┐xG(x) xF(x) ∨ ┐ xG(x)
定理5.1：(前束范式存在定理) 例5.7 (P73)
一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。
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1.推理的形式结构
一 阶 逻 辑 的 推 理 理 论
形式1： A1A2…AkB 形式2： 前提： A1, A2, … , Ak
B(c)为1，也就是A(c) 为1， B(c)为1，故 xA(x)∧ xB(x)为1。
找反例说明二者不等值
D ：正整数集合
A(x)：x是奇数； B(x)：x是偶数
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
1.全称量词消去规则(Universal Identification， - )
例5.11(习题21)
前提：┐x (F(x) H(x))， x( G(x)→H(x)) 结论： x(G(x) → ┐F(x ) )
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xA( x) A(c)
c是论域中的任意个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
2.全称量词引入规则(Universal Generalization， + )
A(c) xA( x)
c是论域中的任意个体。
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5.1 一阶逻辑等值式
置换规则、换名规则、代替规则
1.置换规则
若AB, 则(A) (B).
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5.1 一阶逻辑等值式
2.换名规则
约束变元的换名依据
一个公式的约束变元可使用多个名称，具体符号 无关紧要，故可对约束变元进行换名。 例如：xP(x) yP(y)
xA(x) A(a1)∧A(a2)∧……∧A(an) xA(x) A(a1)∨A(a2)∨……∨A(an)
2.量词的否定等值式
（全称量词和存在量词之间的关系, A(x)是含x自由出现的公式）
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┐xA(x) x┐A(x) ┐ xA(x) x┐A(x)