命题逻辑和一阶逻辑
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
8一阶逻辑-概念公式4-14-1
4)∀x(F(g(x,a),x)→F(x,y) )
4)谓词 F(x,y): x=y
5)∀x∀y(F(f(x,a),y)→
F(f(y,a),x) )
6)∀x∀y∃z F(f(x,y),z)
例：给定解释I 1）个体域为整数集合Z 2） Z上的特定元素 a0=0，a1=1; 3)Z上的特定函数 f(x,y)=x-y, g(x,y)=x+y； 4)Z上的特定谓词 F(x,y): x < y;
任何数如果是整数则一定都是偶数－－是假命题
仅有个体与谓词还不能准确表示一些逻辑问题 如：N（x）：x是整数， O（x）:x是偶数 所有的整数是偶数可符号化为 N（x）→ O（x） 肯定为假 其否定应为真. 但 ┑（N（x）→O（x））等值于 N（x）∧┑O（x） 即： 所有的整数且不是偶数也为假 主要原因是：没有体现整体和个别的关系 所以在描述时必须引入反映数量关系的词
4、闭式定义 设A是公式，若A中不含自由出现的个体变项则称A为封闭的
公式，简称闭式
二、公式的解释（相当于命题公式的赋值） 按合式公式的形成规则形成的符号串是F中的公式，这种公式 没有确定意义．一旦将其中的变项(项的变项，谓词变项等)用 指定的常项代替后，所得公式就具备一定意义，有时就变成命 题了
一个解释不外乎指定个体域、个体域中一些特定的元素、特定 的函数和谓词等部分． 1、公式的解释 1）定义：F的解释I的内容一般由下面4部分组成： (a)指定非空个体域DI （个体域的取值范围） (b)指定DI中一些特定元素(常量)的集合{a1,a2，…ai}． (c)给定DI上特定函数集合{fi | i ≥ 1}． 具体的函数 (d)给定DI上特定谓词的集合{ Hi | i≥1}． 具体的谓词
在解释I下的公式A中的个体变项均取值于DI． 被解释I下的公式不一定全部包含解释中的四部分
第四章 一阶逻辑命题符号化
“ x , y 等表示个体域里的所有个体; 用 ”.
用 xF ( x ), yG ( y )等分别表示个体域里所有个体 都有性质 F 和都有性质 G .
2 存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”，“有一 个”，“有的”，“至少有一个” 等词统称为 存在量词，将它们都符号化为“”. 用 x , y 等表示个体域里有的个体;
三、量词
有了个体词和谓词之后, 有些命题还是不能准确 的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之
间数量关系的词. 称表示个体常项或变项之间数
量关系的词为量词. 量词可分两种:
全称量词
存在量词
1 全称量词
日常生活和数学中所用的“一切的”，“所 有的”,“每一个”，“任意的”，“凡”，“都” 等词可统称为全称量词，将它们符号化为
表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一
阶逻辑所研究的内容. 一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或 谓词逻辑.
第1节
一阶逻辑的符号化
一、个体词 二、谓词 三、量词
四、一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词和量词是一阶逻辑命题符号化
的三个基本要素. 下面讨论这三个要素.
一、个体词
个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体 的或抽象的客体. （1）将表示具体或特定的客体的个体词称作个体 常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示； （2）而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项， 常用x，y，z , …表示. （3）称个体变项的取值范围为个体域(或称论域).
(3) 函数符号: f, g, h, …, fi, gi, hi，…， i≥1
(4) 谓词符号: F, G, H,…,Fi , Gi , Hi ，…，i≥1
(5) 量词符号: ,
命题逻辑与一阶逻辑的异同
命题逻辑与一阶逻辑的异同
一、命题逻辑与一阶逻辑的异同
1、定义
命题逻辑是一切形式逻辑最具有重要性的一种，它是研究并证明形而上世界和经验世界等客观事物之间的有效关系的一类抽象数理系统。
一阶逻辑是以符号语言作为基础，主要研究建立定量的、确定的、可计算的逻辑系统和知识表示语言的一种逻辑学方法。
2、目的
命题逻辑的目的是证明一系列客观事物之间的有效关系，而一阶逻辑的目的是建立可计算的逻辑系统和知识表示语言。
3、应用
命题逻辑主要用于科学中的证明，比如经济学，会计学，金融学等；一阶逻辑主要用于计算机科学中的程序设计，人工智能，数据库等。
4、证明方法
命题逻辑使用演绎证明法来证明，而一阶逻辑则使用自然语言或者形式化程序设计来证明。
5、特点
命题逻辑特别关注两类事实的内在联系与关系，把客观事实转化为语义事实，它以自然语言的表达方式完成比较重要的推理；一阶逻辑则能够提供定量的计算技巧，把物理性知识转换成信息性知识，从而实现人工智能的目的。
一阶逻辑和命题逻辑
一阶逻辑和命题逻辑
一阶逻辑（first-order logic）和命题逻辑（propositional logic）
是数理逻辑中两种不同的形式系统，用于表示和推理关于命题和谓词的逻辑语句。
命题逻辑是最简单的逻辑系统，它只涉及命题（proposition）
和逻辑连接词（如“与”、“或”、“非”等），而不涉及个体和谓词。
命题逻辑中一切复杂的语句都可以用原子命题和逻辑连接词的组合来表示。
命题逻辑的推理只关注命题之间的逻辑关系，而不关注具体命题所代表的内容。
一阶逻辑是一种更为复杂的逻辑系统，它不仅涉及命题，还涉及个体和谓词。
在一阶逻辑中，命题可以包含变量和量词，可以表示更为复杂的逻辑语句，如“对于所有”的量化语句和“存在”的量化语句。
一阶逻辑允许进行更为精确的推理，可以表
示更复杂的逻辑关系和推导。
总的来说，命题逻辑更简单，只涉及命题的逻辑关系；而一阶逻辑更复杂，除了命题的逻辑关系，还涉及个体和谓词的逻辑关系。
离散数学-第1章
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
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命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
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练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
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第四章一阶逻辑的基本概念
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) M(x): x是人, G(x): x呼吸
合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式
如, F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x)) xy(F(x)G(y)L(x,y))等都是合式公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应 量词的辖域. 在x和 x的辖域中，x的所有出现都称为约束 出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.
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（3）存在唯一量词!，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语。
“(!x)R(x)”表示命题：“在个体域中恰好有一个个体使谓词R(x)为
真”。（了解）
全称量词、存在量词统称量词。量词是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大增强。
实例1
例1 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数
(3) 如果2>3，则3<4
解：在命题逻辑中： (1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）
(2) p→q, 其中, p：2 是无理数, q： 3 是有理数. 是假命题
(3) pq, 其中, p：2>3, q：3<4. 是真命题
第4章_一阶逻辑
Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
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一阶逻辑基本概念
当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。 例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元 谓词。当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时， 得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值 为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得到： 杭州位于南京和北京之间，真值为0。 当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域 为不大于4的所有正整数。则xP(x)的 真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域为数计学院的所有学生集合。 解答：对于数计学院的任意一个学生x来说，x有一台 计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，数计学院的所有学生要么有一 台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
从苏格拉底三段论到一阶逻辑
苏格拉底苏格拉底三段论：人都是会死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
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命题逻辑和一阶逻辑
逻辑学是哲学中的一个重要分支，它主要研究思维的规律，探讨
推理和证明的方法。
命题逻辑和一阶逻辑是逻辑学最基础的两种逻辑
系统，下面我们就来一一探讨。
1. 命题逻辑
命题逻辑是研究命题及其关系的逻辑系统。
命题是一个陈述性语句，可以是真、假或未知的。
命题逻辑包括命题合取、命题析取、命
题蕴含和命题等价等一系列逻辑运算符。
正是这些运算符使得我们能
够对不同的命题进行组合和推理，并得出新的结论。
例如，如果我们有两个命题p和q，它们有如下的真假情况：
p：今天是周一 => 真
q：天气晴朗 => 真
命题合取就是将这两个命题用“并且”的方式联系起来，得到新
的命题。
“今天是周一并且天气晴朗”是一个命题，它的真假情况是：p ∧ q：今天是周一并且天气晴朗 => 真
2. 一阶逻辑
一阶逻辑是研究复杂命题及其关系的逻辑系统。
它扩展了命题逻辑，引入了量词和变元等概念。
在一阶逻辑中，我们可以用变元代表
一个个体，用谓词表示个体的性质或关系，用量词表示个体的范围，
用量词的限定揭示个体之间的关系，有助于我们表达更加复杂的命题。
例如，如果我们需要表达“对于所有的人而言，如果他今天没有
打电话，那么他也没有发短信”，可以用一阶逻辑的方式表示成：∀x ( ¬Phone(x) → ¬Msg(x) )
其中，x是变元，表示一个人；Phone(x)表示x今天是否打电话；Msg(x)表示x今天是否发短信；→表示蕴含；¬表示非；∀表示全称量词。
可以看出，一阶逻辑比命题逻辑更加强大，能够灵活地表达更加
复杂的命题，因此在各个领域都有广泛的应用。
例如，在计算机科学
中，语义网、人工智能、数据库等都需要使用一阶逻辑进行描述和推理。
综上所述，命题逻辑和一阶逻辑都是逻辑学中的基础理论，其分别适用于不同的问题领域。
熟练掌握这两种逻辑系统，对于我们的推理和思考能力都有很大的帮助。