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模 拟 试 卷（一）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.

2．设，，则=

.，= ______.

1522

1

01

42

-⎡⎤⎢

⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

x ∞

A

1

x

3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]

3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491

[,,]15

f x x x =, 那么均差=

.

0238

[,,] 3

f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,15

2

,4516,907)4(2)4(1)

4(0

===C C C ＝ .

)

4(3

C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是

阶方法；

0(,)

()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为

，

123123123

530.13

260.722 3.51

x x x x x x x x x --=⎧⎪

-++=⎨⎪++=⎩

若取, 则

.

(0)

(1,1,1)=- x

(1)=

x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .

()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则

01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =

.

()n

k j

k k x x =∑

9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是

.

=Ax b (1)

()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为

(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .

二、综合题（每题10分，共60分）

1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30

p ''=，.

(2)57p =(2)72p '=

2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出1

010

1

()()(1)2

xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.

3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求

.

2ln =-x x ) ,2(∞81

10--<-k

k k x x x 4．用最小二乘法求形如

的经验公式拟合以下数据：

2

y a bx

=+i x 19253038i

y 19.0

32.3

49.0

73.3

5．用矩阵的直接三角分解法解方程组

.⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30

10

342110100201

4321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式

0(,)

(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩

，

1111(4)3

n n n n n h

y y f f f +-+-=+++其中.

(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）

设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足

x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20M

λ<<

λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*

x 参考答案

一、填空题

1．5； 2. 8, 9 ; 3.

； 4. ； 5. 二； 911516

456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()

123(1)

(1)()

2

13(1)(1)(1)312(330.1)/5

(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩

7. ; 8. ; 9. ;

1()

1()

k k k k k x f x x x f x +-=-

'-j x ()1B ρ<

10.

32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)

66

x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：

1

1122

1515155757

20204272

152230

78

1

233234

()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：

设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：

()1,f x x =,

, , .0112A A +=

011123A A +=013A =11

6

A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=5

24

=

∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设) ,2(∞s 2ln )(--=x x x f 则， ，Newton 法迭代公式为x

x f 11)('-

=2''1

)(x

x f =

， 1

)

ln 1(/112ln 1-+=

----

=+k k k k k k k k x x x x x x x x ,2,1,0=k 取，得。30=x 146193221.34=≈x s 4． ，，.2

{1,}span x Φ=2

22

21

11119253038T

⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

A 19.032.349.073.3T ⎡⎤=⎣⎦y 解方程组，其中 ，

T

T =A AC A y 3330433303416082T

⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

A A 解得：

1.416650.0504305⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

C 所以， .

0.9255577a =0.0501025b =5．解 设