集合论习题解析——经典习题与考研习题
集合论习题解析
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1）， A=B时不成立
/* 与不同*/
分析： I) ABAB=B： 因为BAB；对于任意xAB，如果 xA, 因为AB, 所以xB, 则对任意的 xAB， xB成立。所以AB=B。 • II) A=B AB=B，但AB不成立。
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• 可能 • A={1}, B={{1}, 1}.
• 3 设A, B, C是集合，判断下列命题真假， 如果为真，给出证明；如果为假，给出反 例： • 1) AB, BC AC; • 2) AB, BC AC; • 3) AB, BC AC; • 4) AB, BC AC; • 5) aA, AB aB.
1.1 与
• 1 设A, B, C是任意3个集合，如果AB, B C, 则AC可能吗？ AC常真吗？举例说 明。
• AC可能 A={1}, B={{1}}, C={{1}, {{1}}} • AC不常真 A={1}, B={{1}}, C={{{1}}}
• 2 设A, B是任意2个集合， A B与 AB同 时成立，这可能吗？
• 1）假 A={1}, B={2}, C={{2}} • 2）假 A={1}, B={2}, C={{1}} • 3）假 A={1}, B= {{1}}, C={{1}, 1}
• 4）假 A={1}, B={{1}, 1}，C={{1}, 2} • 5）真 子集定义
• 4 设A, B, C是U的子集，判断下列命题真假，如 果为真，给出证明；如果为假，给出反例： • 1) ABAB=B; • 2) ABAB=A; • 3) ABAB=A; • 4) ABAB=B; • 5) ABA(B-A)=B; • 6) BA(A-B)B=A;
x B或x C x B C x B C 所以，A B C .
集合论习题答案
P3 习题1.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x1，③x2+x+1，④x2x+1，①②x21，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5x4+x3x2+x1)}1.1.2 解⑴{x | x I+ , x<80}；⑵{x | x I且n I使x=2n+1}；⑶{x | x I且n I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y R , x2+y2<1}；⑸{(,)| ,R, >1}；⑹{ax+b=0| a,b R且a0}。
P5 习题。
1.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。
1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。
1.2.3 解：A=，B={0}，C={…,4,2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,4,2,0,2,4…}，F={2,4}，G=，H={…,4,2,0,2,4…}。
∴C=E=H，D=F，A=G。
1.2.4 答：四个全为真。
证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{} ；幂集的幂集{,{}}$⑵幂集{,{},{a},{,a}}；幂集的幂集零元素子集{,单元素子集{} , {{}} , {{a}} , {{,a}},双元素子集{,{}} , {,{a}} , {,{,a}} , {{},{a}} , {{},{,a}} , {{a},{,a}} ,三元素子集{,{},{a}} , {,{},{,a}} , {,{a},{,a}} , {{},{a},{,a}}}，四元素子集{,{},{a},{,a}} 。
集合大题的题目及解析
集合大题的题目及解析一、集合大题示例1. 题目设集合A = {x -2 ≤ x ≤ 5}，集合B = {x m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}。
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围。
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数；（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围。
2. 分值分布（1）这一问分值大概占30%。
（2）这一问分值大概占30%。
（3）这一问分值大概占40%。
3. 答案与解析（1）当B = ∅时，m+1>2m - 1，解得m<2。
当B≠∅时，要使B⊆A，则有\(\begin{cases}m + 1\leqslant2m - 1\\m+1\geqslant - 2\\2m - 1\leqslant5\end{cases}\)。
由m + 1≤2m - 1得m≥2。
由m + 1≥ - 2得m≥ - 3。
由2m - 1≤5得m≤3。
综合起来就是2≤m≤3。
综上，m的取值范围是m≤3。
（2）当x∈Z时，A={ - 2, - 1,0,1,2,3,4,5}，元素个数n = 8。
非空真子集个数为\(2^{n}-2=2^{8}-2 = 254\)。
（3）因为不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，所以A∩B = ∅。
①当B = ∅时，m + 1>2m - 1，解得m<2。
②当B≠∅时，则有\(\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\m +1>5\end{cases}\)或者\(\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\2m - 1< -2\end{cases}\)。
对于\(\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\m + 1>5\end{cases}\)，由m +1≤2m - 1得m≥2，由m + 1>5得m>4，所以m>4。
对于\(\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\2m - 1< - 2\end{cases}\)，由m + 1≤2m - 1得m≥2，由2m - 1< - 2得m<-\frac{1}{2}，无解。
集合练习题及解析答案
集合练习题及解析答案精品文档集合练习题及解析答案1.若集合M,{a，b，c}中元素是?ABC的三边长，则?ABC一定不是A(锐角三角形 B(直角三角形C(钝角三角形 D(等腰三角形2(定义集合运算:A*B,{ z|z,xy，x?A，y?B}.设A,{1，2}，B,{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为A(0 B( C( D(63(已知集合A,{2,3,4}，B,{2,4,6,8}，C,{| x?A，y?B，且logxy?N，}，则C 中元素的个数是A(9B(8C( D(44(满足{,1,0} M?{,1,0,1,2,3}的集合M的个数是A(4个 B(个 C(7个D(8个5(已知集合A,{,1,1}，B{x|ax，1,0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为A({,1} B({1} C({,1,1}D({,1,0,1}6.已知全集U,{1,2,3,4,5,6}，集合A,{1,2,5}，?UB,{4,5,6}，则集合A?B,A({1,2} B({5} C({1,2,3} D({3,4,6}7(设全集U,{1,3,5,6,8}，A,{1,6}，B,{5,6,8}，则?B,1 / 21精品文档A({6}B({5,8}C({6,8} D({3,5,6,8}2,x8(若A,{x?Z|2?1}，则A?的元素个数为A(0 B(1 C(2D(319(设U,R, M,{x|x2,x?0}，函数f的定义域为N，则M? x,1A([0,1)B( C([0,1] D({1}10(设U,R，集合A,{y|y,x,1，x?1}，B,{x?Z|x2,4?0}，则下列结论正确的是A(A?B,{,2，,1} B(?B,C(A?B,[0，，?)D(?B,{,2，,1}11(非空集合G关于运算?满足:?对于任意a、b?G，都有a?b?G;?存在e?G，使得对一切a?G，都有a?e,e?a,a，则称G关于运算?为融洽集，现有下列集合运算: G,{非负整数}，?为整数的加法;G,{偶数}，?为整数的乘法;G,{平面向量}，?为平面向量的加法;G,{二次三项式}，?为多项式的加法;其中G关于运算?的融洽集有________(12(设集合A,{1,2，a}，B,{1，a2,a}，若A?B，则实数a的值为________( 13(设集合A,{,1,1,3}，B,{a，2，a2，4}，A?B2 / 21精品文档,{3}，则实数a,________.214(已知集合A,{ x|x,5x，6,0}，B,{ x|mx，1,0}，且A?B,A，求实数m的值组成的集合(x,a15(记关于x的不等式若a,3，求P;若Q?P，求正数a的取值范围(116(已知由实数组成的集合A满足:若x?AA. 1,x设A中含有3个元素，且2?A，求A;A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由(1(解析:根据集合中元素的互异性知a?b?c，故选D.2(解析:依题意得A*B,{ z|z,xy，x?A，y?B},{0，2，4}，因此集合A*B 的所有元素之和为6，故选D.3(解析:C,{| x?A，y?B，且logxy?N，},{，，，}，故选D.4(解析:依题意知集合M除含有元素,1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个(因3而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，故有2,1,7个(故选C.5(D(A3 / 21精品文档7(解析:由于U,{1,3,5,6,8}，A,{1,6} ??UA,{3,5,8}，??B,{5,8}(答案:B12,x8(解析:A,{x?Z|2?1},{x|x>2或0 ? A?,{0,1}，其中的元素个数为2，选C.9(C10.D11.12(解析:?A?B，?a2,a,2或a2,a,a.若a2,a,2，得a,2或a,,1，根据集合A中元素的互异性，知:a?2，?a,,1.若a2,a,a，得a,0或a,2，经检验知，只有a,0符合要求(综上所述，a,,1或a,0.答案:,1或013(解析:?3?B，?a，2,3，?a,1.答案:1214(解析:?A,{ x|x,5x，6,0},{2，3}，A?B,A，?B?A.?m,0时，B,?，B?A;1?m?0时，由mx，1,0，得x. m4 / 21精品文档111?B?A，?,A，?,2,3， mmm11?11?得m,,或,.所以符合题意的m的集合为?0，,23.3??x,315(解析:由 Q,{x||x,1|?1 },{x|0?x?}.由a>0，得P,{x|,12，即a的取值范围是(116(解析:?2?A，?A，即,1?A， 1,21?11???AA，?A,?2，,1，2.??1,?,1?1假设A中仅含一个元素，不妨设为a, 则a?A，有A，又A中只有一个元素，1,a1?a，即a2,a，1,0，但此方程Δ ?不存在这样的实数a.故A不可能是单元素集合(1(已知A,{x|3,3x>0}，则下列各式正确的是A(3?AB(1?AC(0?A D(,1?A集合A表示不等式3,3x>0的解集(显然3,1不满足不等式，而0，,1满足不等式，故选C.C2(下列四个集合中，不同于另外三个的是A({y|y,2} B({x,2}C({2} D({x|x2,4x，4,0}{x,2}表示的是由一个等式组成的集合(故选B.5 / 21精品文档B3(下列关系中，正确的个数为________(1?2R?Q;?|,3|?N*;?|,?Q.1 本题考查常用数集及元素与集合的关系(显然2?R，?正确;2?Q，?正确;|,3|,3?N*，|3|,3?Q，?、?不正确(4(已知集合A,{1，x，x2,x}，B,{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值(因为集合A与集合B相等，所以x2,x,2.?x,2或x,,1.当x,2时，与集合元素的互异性矛盾(当x,,1时，符合题意(?x,,1.一、选择题1(下列命题中正确的?0与{0}表示同一个集合;?由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};?方程2,0的所有解的集合可表示为{1,1,2};?集合{x|4 示(A(只有?和? B(只有?和?C(只有? D(以上语句都不对6 / 21精品文档{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故?错误;?符合集合中元素的无序性，正确;?不符合集合中元素的互异性，错误;?中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示(故选C.C2(用列举法表示集合{x|x2,2x，1,0}为A({1,1} B({1}C({x,1} D({x2,2x，1,0}集合{x|x2,2x，1,0}实质是方程x2,2x，1,0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}(故选B.B3(已知集合A,{x?N*|,5?x5}，则必有A(,1?A B(0?A?A D(1?A?x?N*5?x5，?x,1,2，即A,{1,2}，?1?A.故选D.D4(定义集合运算:A*B,{z|z,xy，x?A，y?B}(设A,{1,2}，B,{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为A(0 B(2C( D(67 / 21精品文档依题意，A*B,{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.D二、填空题5(已知集合A,{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________(由互异性知a2?1，即a??1，故实数a不能取的值的集合是{1，,1}({1，,1}6(已知P,{x|2,x,a，x?N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a,________.用数轴分析可知a,6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.三、解答题7(选择适当的方法表示下列集合集(由方程x,0的所有实数根组成的集合;大于2且小于6的有理数;由直线y,,x，4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合(方程的实数根为,1,0,3，故可以用列举法表示为{,1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x,0}，有限集(由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列8 / 21精品文档举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x?Q|2 用描述法表示该集合为M,{|y,,x，4，x?N，y?N}或用列举法表示该集合为{，，，，}(8(设A表示集合{a2，2a,3,2,3}，B表示集合{2，|a，3|}，已知5?A且5?B，求a的值(因为5?A，所以a2，2a,3,5，解得a,2或a,,4.当a,2时，|a，3|,5，不符合题意，应舍去(当a,,4时，|a，3|,1，符合题意，所以a,,4.9(已知集合A,{x|ax2,3x,4,0，x?R}(若A中有两个元素，求实数a的取值范围;若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围(?A中有两个元素，?方程ax2,3x,4,0有两个不等的实数根，?a?0，99??即a,,16.?a,,16a?0. ?Δ,9，16a,0，4当a,0时，A,{,3};当a?0时，若关于x的方程ax2,3x,4,0有两个相等的实数根，Δ,9，16a,0，9 / 21精品文档9即a,,16若关于x的方程无实数根，则Δ,9，16a,0，9即a16;9故所求的a的取值范围是a?,16a,0.1(设集合A,{x|2?x,4}，B,{x|3x,7?8,2x}，则A?B等于A({x|x?3} B({x|x?2}C({x|2?x,3} D({x|x?4}B,{x|x?3}(画数轴可知选B.B2(已知集合A,{1,3,5,7,9}，B,{0,3,6,9,12}，则A?B,A({3,5} B({3,6}C({3,7} D({3,9}A,{1,3,5,7,9}，B,{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，?A?B,{3,9}(故选D.D3(50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________(10 / 21精品文档设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有人，只参加乙项的有人(+x+=50，?x=5.?只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，?仅参加一项的有45人(54(已知集合A,{,4,2a,1，a2}，B,{a,5,1,a,9}，若A?B,{9}，求a的值(?A?B,{9}，?9?A，?2a,1,9或a2,9，?a,5或a,?3.当a,5时，A,{,4,9,25}，B,{0，,4,9}(此时A?B,{,4,9}?{9}(故a,5舍去(当a,3时，B,{,2，,2,9}，不符合要求，舍去(经检验可知a,,3符合题意(一、选择题1(集合A,{0,2，a}，B,{1，a2}(若A?B,{0,1,2,4,16}，则a的值为A(0 B(1C( D(4?A?B,{0,1,2，a，a2}，又A?B,{0,1,2,4,16}，?{a，a2},{4,16}，?a,4，故选D.D2(设S,{x|2x，1>0}，T,{x|3x,5 1A(?11 / 21精品文档B({x|x 515C(} D({x|,}23151 S,{x|2x，1>0},{x|x>,，T,{x|3x,5 5D3(已知集合A,{x|x>0}，B,{x|,1?x?2}，则A?B,A({x|x?,1} B({x|x?2}C({x|0 集合A、B用数轴表示如图，A?B,{x|x?,1}(故选A.A4(满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M?{a1，a2，a3},{a1，a2}的集合M的个数是A(1 B(2高一数学集合的练习题及答案一、、知识点:本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
考研集合答案
第九章集合一、选择题1.若查找每个记录的概率均等，则在具有n个记录的连续顺序文件中采用顺序查找法查找一个记录，其平均查找长度ASL为( )。
【北京航空航天大学 2000 一、8 （2分）】A． (n-1)/2 B. n/2 C. (n+1)/2 D. n2. 对N个元素的表做顺序查找时，若查找每个元素的概率相同，则平均查找长度为( ) 【南京理工大学1998一、7（2分）】A．（N+1）/2 B. N/2 C. N D. [（1+N）*N ]/23．顺序查找法适用于查找顺序存储或链式存储的线性表，平均比较次数为（（1））,二分法查找只适用于查找顺序存储的有序表，平均比较次数为（（2））。
在此假定N为线性表中结点数，且每次查找都是成功的。
【长沙铁道学院 1997 四、3 (4分)】A.N+1B.2log2NC.logND.N/2E.Nlog2NF.N24. 下面关于二分查找的叙述正确的是 ( ) 【南京理工大学 1996 一、3 （2分）】A. 表必须有序，表可以顺序方式存储，也可以链表方式存储 C. 表必须有序，而且只能从小到大排列B. 表必须有序且表中数据必须是整型，实型或字符型 D. 表必须有序，且表只能以顺序方式存储5. 对线性表进行二分查找时，要求线性表必须（）【燕山大学 2001 一、5 （2分）】A.以顺序方式存储B.以顺序方式存储,且数据元素有序C.以链接方式存储D.以链接方式存储,且数据元素有序6．适用于折半查找的表的存储方式及元素排列要求为( ) 【南京理工大学 1997 一、6 （2分）】A．链接方式存储，元素无序 B．链接方式存储，元素有序C．顺序方式存储，元素无序 D．顺序方式存储，元素有序7. 用二分（对半）查找表的元素的速度比用顺序法( ) 【南京理工大学 1998 一、11 （2分）】A．必然快 B. 必然慢 C. 相等 D. 不能确定8．当在一个有序的顺序存储表上查找一个数据时，即可用折半查找，也可用顺序查找，但前者比后者的查找速度( )A．必定快 B.不一定 C. 在大部分情况下要快 D. 取决于表递增还是递减【南京理工大学 1997 一、7 （2分）】9. 具有12个关键字的有序表，折半查找的平均查找长度（）【中山大学 1998 二、10 （2分）】A. 3.1B. 4C. 2.5D. 510. 折半查找的时间复杂性为（）【中山大学 1999 一、15】A. O（n2）B. O（n）C. O（nlog n）D. O（log n）11．当采用分快查找时，数据的组织方式为 ( ) 【南京理工大学 1996 一、7 （2分）】A．数据分成若干块，每块内数据有序B．数据分成若干块，每块内数据不必有序，但块间必须有序，每块内最大（或最小）的数据组成索引块C. 数据分成若干块，每块内数据有序，每块内最大（或最小）的数据组成索引块D. 数据分成若干块，每块（除最后一块外）中数据个数需相同12. 二叉查找树的查找效率与二叉树的( （1）)有关, 在 (（2）)时其查找效率最低【武汉交通科技大学1996 一、2(4分)】(1): A. 高度 B. 结点的多少 C. 树型 D. 结点的位置(2): A. 结点太多 B. 完全二叉树 C. 呈单枝树 D. 结点太复杂。
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论测试答案
1. 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。
1、 证明R 是X 上的等价关系。
2、 求出X 关于R 的商集。
1、 证明：（1） 自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2） 对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3） 传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。
2、X/R=}]2,1{[R ><2. 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} 要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。
集合的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)集合与函数综合问题
集合的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）集合与函数综合问题1．设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i)(){}T f x x S =∈；(ii)对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A ．*,A N B N ==B ．{}13A x x =-≤≤， C ．{}01,A x x B R =<<= D ．,A Z B Q ==2．对于全集U 的子集A 定义函数()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-C ．()()()A BA B f x f x f x =⋅ D ．()()()ABA B f x f x f x =+3．已知集合()(){},|M x y y f x ==,若对于任意()11,x y M ∈,存在()22,x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”,给出下列四个集合: ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭;②(){},|sin 1M x y y x ==+;③(){}2,|log M x y y x ==;④(){},|2x M x y y e ==-;其中是“垂直对点集”的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④4．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1C ．{S}=2且{T}=2D ．{S}=2且{T}=35．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈6．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}； ②M={}； ③M={}； ④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④7．对于集合M 、N ，定义：且，，设＝，，则= （ ）A ．（，0]B ．[，0) C ．D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合A 、B U ⊆，下列所有正确说法的序号是______. （1）()()A B A B f x f x ⊆⇒≤ （2）()()1U A A f x f x =- （3）()()()A BA B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅9．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2018,2018]x ∈-时，d =________；10．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.11．设函数，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，下列所有错误的说法的序号是_________.（1）若P M ⋂=∅，则()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠； （3）若P M ⋂≠∅，则()()A P A M ⋂≠∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.12．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i AB ϕ=且()1i A B ϕ=；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()i A ϕ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③集合的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）集合与函数综合问题1．设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i)(){}T f x x S =∈；(ii)对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A ．*,A N B N ==B ．{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或C ．{}01,A x x B R =<<= D ．,A Z B Q ==【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】对于A =N ∗,B =N ,存在函数f (x )=x −1,x ∈N ∗,满足：(i )B ={f (x )|x ∈A };(ii )对任意12,x x A ∈,当12,x x S ∈时,恒有()()12f x f x <，所以选项A 是“保序同构”；对于A ={x |−1⩽x ⩽3},B ={x ∣∣x =−8或0<x ⩽10},存在函数，满足：(i )B ={f (x )|x ∈A };(ii )对任意12,x x A ∈,当12,x x S ∈时,恒有()()12f x f x <，所以选项B 是“保序同构”；对于A ={x |0<x <1},B =R ,存在函数π()tan(π)2f x x =-,满足：(i )B ={f (x )|x ∈A }；(ii )对任意12,x x A ∈,当12,x x S ∈时,恒有()()12f x f x <，所以选项C 是“保序同构”； 前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D. 故选D.2．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤B ．()()1R A A f x f x =-C ．()()()ABA B f x f x f x =⋅D ．()()()ABA B f x f x f x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,逐项分析,即可求得答案.【详解】()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩对于A,A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x == ②当x A ∉且x B ∉,即Ux B ∈,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈, 即()Ux A B ∈⋂时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x A f x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ ,故(2)正确； 对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 3．已知集合()(){},|M x y y f x ==,若对于任意()11,x y M ∈,存在()22,x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”,给出下列四个集合:①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭;②(){},|sin 1M x y y x ==+;③(){}2,|log M x y y x ==;④(){},|2x M x y y e ==-;其中是“垂直对点集”的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项：121210x x x x +=，无解①不是；根据图像知②④满足；取11x =则不存在2x 使等式成立，③不是，得到答案. 【详解】①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则121210x x x x +=，无解，不是； ②(){},|sin 1M x y y x ==+，根据图像知：对于任意1x ，111,0x y x y y =-≠与函数 sin 1y x =+相交，验证10y =时也满足，故满足条件；③(){}2,|log M x y y x ==，则122122log log 0x xx x +⋅=，取11x =则不存在2x 使等式成立，不是； ④(){},|2xM x y y e==-，根据图像知：对于任意1x ，111,0x y x y y =-≠与函数 2x y e =-相交，验证10y =时也满足，故满足条件；故选：C【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.4．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f （x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a当b2﹣4c=0时，f（x）=0还有一根只要b≠﹣2a，f（x）=0就有2个根；当b=﹣2a，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根； 当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2 故选D5．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 【答案】A 【解析】试题分析：对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-即有2121()()f x f x x x αα--<<-，令k=2121()()f x f x x x --，有-α＜k ＜α，不妨设12(),()f x Mg x M αα∈∈，即有-α1＜k f ＜α1，-α2＜k g ＜α2，因此有-α1-α2＜k f +k g ＜α1+α2，因此有12()()f x g x M αα++∈．故选A ． 考点：本题考查了元素与集合关系的判断点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力6．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}； ②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对于①中是以轴为渐近线的双曲线，渐进性的夹角是，所以在同一支上，任意，不存在，不满足垂直对点集的定义；在另一支上对任意，不存在，所以不满足“垂直对点集”的定义；对于②，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集”的定义，所以正确；对于③中，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不满足“垂直对点集”的定义；对于④中，如下图中直角始终存在，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集”的定义．考点：新定义的概念及其应用．【易错点晴】本题主要考查了“垂直度点集”的定义，属于中档试题，利用对于任意对于任意，存在，使得成立，是解答本题的关键，同时注意存在与任意的区别是本题的一个易错点．7．对于集合M、N，定义：且，，设＝，，则= （）A．（，0] B．[，0) C．D．【答案】C【解析】试题分析：设()22{|3,},{|log ,}A y y x x x R B x y x x R ==-∈==-∈，223993244y x x x ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭，{|94}{|94}A y y x x ∴=≥-=≥-， {|0}B x x =<，集合,M N ，定义{|}M N x x M x N -=∈∉且， ()()M N M N N M ⊕=-⋃-，{|}{|0}A B x x A x B x x ∴-=∈∉=≥且， 9{|}{|}4B A x x B x A x x -=∈∉=<--且，()()[)9,0,4A B A B B A ⎛⎫∴⊕=-⋃-=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．考点：集合间交、并、补的运算，函数的定义域、值域的求法，根据新概念解决问题的能力． 【易错点晴】本题中易错的地方是已知条件中集合A 所能取到的数是函数2y x 3x =-中y 能取到的数，集合B 所能取到的数是函数()2log y x =-中x 能取到的数，实际上是考查了一些常见的基本初函数的定义域、值域问题．另外，注意练习运用新概念解决问题的能力，可以经历读题、转化成所学知识、列出式子、得到答案过程． 8．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合A 、B U ⊆，下列所有正确说法的序号是______. （1）()()A B A B f x f x ⊆⇒≤ （2）()()1U A A f x f x =- （3）()()()ABA B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】利用特征函数的定义知：（1）由A B ⊆，对x 与A 、B 关系分类讨论，可得（1）正确；利用特征函数的定义可判断（2）的正误；取特殊值情况A B ⋂≠∅，利用定义可判断（3）的正误；利用集合运算与函数运算可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】 （1）A B ⊆，分类讨论：①当x A ∈，则x B ∈，此时()()1A B f x f x ==；②当x A ∉，且x B ∉，即U x C B ∈，此时()()0A B f x f x ==； ③当x A ∉，且x B ∈，即()U x C A B ∈时，()0A f x =，()1B f x =，此时()()A B f x f x ≤.综合有()()A B f x f x ≤，故（1）正确；（2）()()1,10,U U A A x Af x f x x A ∈⎧==-⎨∈⎩，故（2）正确； （3）假设A B ⋂≠∅，任取x AB ∈，则x A B ∈，则()1ABf x =，但()()2A B f x f x +=，则()()()ABA B f x f x f x ≠+，故（3）不正确；（4）()()()1,1,1,1,0,0,0,0,A B U U U U U x A Bx A B x A x Bf x x A B x A B x A x B ⋂∈⋂∈⋂∈∈⎧⎧⎧⎧⎪===⋅⎨⎨⎨⎨∈⋃∈⋂∈∈⎪⎩⎩⎩⎩()()A B f x f x =⋅，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）. 【点睛】本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用．9．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2018,2018]x ∈-时，d =________；【答案】2020 【解析】 【分析】先根据{}[]x x x =-解得[]x 取值范围，再得x 取值范围，最后根据定义得结果. 【详解】[]{}[]{()}1([]1)({}1)0()f x x x g x x x x x ⋅≥+-∴-⋅-≥∴≥0[2018,2018][2018,2)2(2018)20{}1[]20.1x x x x d ≤∴∈-∴∈-∴=--=<≤故答案为：2020 【点睛】本题考查新定义以及解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.10．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________. 【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【解析】 【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围. 【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②.要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为：(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.11．设函数，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，下列所有错误的说法的序号是_________.（1）若P M ⋂=∅，则()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠； （3）若P M ⋂≠∅，则()()A P A M ⋂≠∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=. 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】数学中说明命题不正确，只需要举出反例依次判断即可得结果. 【详解】若{}1P =，{}1M =-，则{}{}()1,()1A P A M ==，此时()()A P A M ⋂≠∅，故（1）错；同理（2）正确；若{}{}=P M =非负实数，负实数，则{}{}()()A P A M ==非负实数，正实数，则()()A P A M R ⋂≠，故（4）错误，同理（3）正确， 故答案是（1）（4） 【点睛】该题考查的是有关命题真假判断的问题，涉及的知识点有新定义运算的，注意从题的条件中正确读取相关信息，再者就是不正确的命题只需要举个反例足矣. 12．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i AB ϕ=且()1i A B ϕ=；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()i A ϕ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，故①正确；对于②，若()0i AB ϕ=，则()i A B ∉，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i AB ϕ=，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅（）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，1i AB ϕ=（）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。