全国卷数学高考模拟试题精编二
2022普通高等学校招生全国统一考试(新高考地区)仿真模拟训练(二)数学试题 (含答案)
2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝()A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝()A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是()4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为()A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝()A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝()A．1 B.9 761则实数a的最小值为()A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为()A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()2C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝m i－3j，c＝4i＋m j，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值； (2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A -CA 1B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t 亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t 缙云土面，用x (单位：t ，70≤x ≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y 表示为x 的函数；(2)根据直方图估计利润y 不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x ∈[80，90)，则取x ＝85，且x ＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆短轴的端点B 1，B 2与椭圆的左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点F 2(1，0)的椭圆的一条弦，点P 是椭圆上一点，且OP ⊥MN (O 为坐标原点)．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求|MN |·|OP |2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R )及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C. 3．解析：选 B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k ∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r＝C r 72r a 7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m ＝97.故选B.7．解析：选C.f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.对任意的x ∈[1，＋∞)，f ′(x )≤a ＋e x 恒成立，即a ≥ln x ＋1－e x 对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x ＋1－e x (x ≥1)，则g ′(x )＝1x －e x ＜0，因而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，g (x )≤ln 1＋1－e ＝1－e ，所以实数a 的最小值为1－e.8．解析：选D.不妨设点N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有b a ＞1，进而e 2＝1＋b 2a 2＞2.由y ＝b a x 与y ＝－b a (x －a )，得y N ＝b 2，所以12×a ×b 2＝212(a 2＋b 2)，即9a 2(c 2－a 2)＝2c 4，所以2e 4－9e 2＋9＝0，得e 2＝32(舍)或e 2＝3，所以e ＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x ，则2019年的总支出为1.5x ，2018年日常生活支出为0.35x ，2019年日常生活支出为0.34×1.5x ＝0.51x ，故2019年日常生活支出增加，A 错误；2018年保险支出为0.05x ，2019年保险支出为0.07×1.5x ＝0.105x ，B 正确；2018年其他支出为0.05x ，2019年其他支出为0.09×1.5x ＝0.135x ，(0.135x －0.05x )÷0.05x ＝1.7，故C 错误；由题图可知，D 正确．10．解析：选BC.若直线2x －y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交，则|2×1－2＋m |22＋（－1）2＜1，解5＜m ＜ 5.A 项中，由m 2≤1，得－1≤m ≤1，因为{m |－1≤m ≤1}⊆{m |－5＜m ＜5}，所以m 2≤1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件；B 项中，因为{m |m ≥－3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m ≥－3是－5＜m ＜5的必要不充分条件；C 项中，由m 2＋m －12＜0，得－4＜m ＜3，因为{m |－4＜m ＜3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m 2＋m －12＜0是－5＜m ＜5的必要不充分条件；D 项中，由3m ＞1，得0＜m ＜3，所以3m ＞1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a ＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋ax 2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝m i －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋mλj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝mλ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：25 15.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA ＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cos π3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sinB ＝2sinC cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝33.(2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ， 即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22，所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥，⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14.由图可知二面角A -CA 1B 为锐二面角，故二面角A -CA 1B 的余弦值为14. 20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时， y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000.所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y )×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a ＝3，|OP |＝a ＝2， 此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1k x ， 将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4，所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2. 令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649. ③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649. 22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x .令φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)，所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0，所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（ ）A ．4B．C ．12D．2. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 设为虚数单位，且，则（ ）A．B．C．D．4.在等差数列中，，，那么等于（ ）A ．44B ．40C ．20D．5. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是（）A ．平行四边形B ．梯形C ．五边形D ．以上都不对6.方程所有根之和为（ ）A．B．C．D．7. 下列说法正确的是（ ）．A ．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，4，4，5的众数大于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，29的第70百分位数是23D ．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为188. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h ），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A ．图中a 的值为0.015B ．样本的第25百分位数约为217C ．样本平均数约为198.4D ．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为1082023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)四、解答题9. ______．10. 已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.11. 已知非零向量满足x 2+x +=0,x ∈R ．记△=2-4，下列说法正确的是___.（只填序号）①若△=0，则x 有唯一解；②若△>0，则x 有两解；③若△<0，则x 无解．12.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，，且当时单调递减，则的解集为______．13. 为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与了奥运会项目知识竞赛.为了解学生的竞赛成绩（竞赛成绩都在区间内）的情况，随机抽取n 名学生的成绩，并将这些成绩按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.其中，，三组的频率成等比数列，且成绩在的有16人.(1)求n 的值；(2)在这n 名学生中，将成绩在的学生定义为“冬奥达人”，成绩在的学生定义为“非冬奥达人”.请将下面的列联表补充完整：男生女生合计冬奥达人30非冬奥达人36合计并判断是否有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”？并说明你的理由；(3)用样本估计总体，将频率视为概率，从该校学生中随机抽取2人，记被抽取的2人中“冬奥达人”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望.参考公式：，其中.临界值表：0.0500.0250.0100.0013.841 5.024 6.63510.82814. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．15. （1）已知，试比较与的大小；（2）求证：对任意，均有.16. 已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，若，，的面积为，求的值.。
课标全国卷数学高考模拟试题精编(二)
课标全国卷数学高考模拟试题精编二【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±22．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0 D．若x＜1，则x＜03．若复数z＝2－i，则z＋10z＝()A．2－i B．2＋i C．4＋2i D．6＋3i4．(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()A．5x2－45y2＝1 B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1 D．5x2－54y2＝1(文)已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±22x B．y＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( )A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(Ⅱ)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n}，求{b n}的前n项和S n.18．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其他情况下获B类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为1 2，用随机变量X表示该中学获得B类资格的人数，求X的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区某年全年每天的PM2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率；(3)以这12天的PM2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．19.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O 为AB 1上的动点，当OD ∥平面ABC 时，求AOOB 1的值．20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →＝92时，求此时直线l ′的方程；(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在AB 的延长线上．(1)若EA ＝2ED ，EB ＝3EC ，求ABCD 的值；(2)若EF ∥CD ，求证：线段FA ，FE ，FB 成等比数列． 23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎨⎧x ＝cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP|·|OQ|的最大值．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x －2a|. (1)当a ＝1时，求f(x)≤3的解集；(2) 当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 课标全国卷高考模拟试题精编二1．C ∵B ⊆A ，∴x 2＝4或x 2＝2x ，∴x ＝±2，或x ＝2，x ＝0，检验知x ＝2时，不适合，∴x ＝－2或x ＝0. 2．C 由否命题的定义知应选C.3．D ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋10(2＋i )(2－i )(2＋i )＝6＋3i.4．(理)D 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，所以c ＝1，又因为双曲线的离心率等于5，所以c a ＝5，所以a ＝55，所以b 2＝c 2－a 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.(文)A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A.5．C f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝－f ′(x )＝－(cos x －sin x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∵将f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.故m ＝π2＋2k π，k ∈N ，故m 的最小值为π2. 6．(理)D 令x ＝1，得2n ＝32，所以n ＝5，C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5x 10－3r，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以展开式中x 4的系数为C 25＝10.(文)A 设n 抽到的号码为a n ，则a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由750＜30n －21≤960，得：25.7＜n ＜32.7，所以n 的取值为26、27、28、29、30、31、32，共七个，因此做问卷C 的人数为7.7．B 按框图所示程序运行可得S ＝1，A ＝1；S ＝3，A ＝2；S ＝7，A ＝3；S ＝15，A ＝4；S ＝31，A ＝5；S ＝63，A ＝6.此时输出S ，故M 为6. 8．C如图所示，O 为球的球心，由AB ＝BC ＝2，AC ＝2可知∠ABC ＝π2，即△ABC 所在的圆面的圆心O 1为AC 的中点，故AO 1＝1，S △ABC ＝1，当D 为OO 1的延长线与球面的交点时，D 到平面ABC 的距离最大，四面体ABCD 的体积最大．连接OA ，设球的半径为R ，则DO 1＝R ＋R 2－1，此时V A －BCD ＝13×S △ABC ×DO 1＝13(R ＋R 2－1)＝23，解得R ＝54，故这个球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4.9．(理)C 因为y ′＝1x ＋2－1＝－x －1x ＋2，由y ′＝0得x ＝－1，又f (－1)＝ln 1＋1＝1，所以b ＝－1，c ＝1，所以ad ＝bc ＝－1.(文)C ∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a . ∴⎩⎨⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b k ＝3×12＋a，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.10．D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的距离d ≥2，选D.11．B 在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为3π24π2＝34.12．(理)A 对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＜0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－(1＋4m 2)2mx ＜0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m ＜0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2＞1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1＞1＋4m 28m 2，解得m ＜－12或m ＞12(舍去)，故m ＜－12.(文)B 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根．而x ＞0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根，当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a ＜0或0＜a ＜1.13．解析：由三视图知：原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为2，高为3，所以三棱柱的体积为13×12×2×2×3＝33，所以该几何体的体积为π＋33. 答案：π＋33 14．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23＜a ＜35. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3515．解析：因为3＝2＋log 22＜2＋log 23＜2＋log 24＝4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝124. 答案：12416．(理)解析：∵a n ＝∫n 0(2x ＋1)d x ＝n 2＋n ，∴1a n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝1－1n ＋1.∴b n S n ＝(n －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n －8－n －8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－10≥29－10＝－4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时，取“＝”．故b n S n 的最小值为－4. 答案：－4(文)解析：由2sin 2A2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0＜A ＜π，π6＜A ＋π6＜7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin (B －C)＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C ．设a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3c cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca ，故可得b 2－bc －3c 2＝0，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 答案：1＋13217．解：(Ⅰ)∵f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∴a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列． (Ⅱ)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n[5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.18．(理)解：(1)设第i(i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布直方图知f 7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.所以笔试成绩在260分以上的同学的概率P ≈f 72＋f 8＝0.14，故这2 000名同学中，参加面试的约为2 000×0.14＝280人．(2)不妨设三名同学为甲、乙、丙，且甲的笔试成绩在270分以上，记事件M 、N 、R 分别表示甲、乙、丙获得B 类资格，则P(M)＝1－18－18＝34，P(N)＝P(R)＝1－18＝78，所以P(X ＝0)＝P(M N R )＝1256，P(X ＝1)＝P(M N R ＋M N R ＋M N R)＝17256， P(X ＝2)＝P(MN R ＋M NR ＋M N R)＝91256， P(X ＝3)＝P(MNR)＝147256， 所以随机变量X 的分布列为：EX ＝0×1256＋1×17256＋2×91256＋3×147256＝52.(文)解：(1)由茎叶图可知，空气质量为超标的数据有四个：77,79,84,88， 平均数为x ＝77＋79＋84＋884＝82，方差为s 2＝14×[(77－82)2＋(79－82)2＋(84－82)2＋(88－82)2]＝18.5.(2)由茎叶图可知，空气质量为二级的数据有五个：47,50,53,57,68，任取两个有十种可能结果：{47,50}，{47,53}，{47,57}，{47,68}，{50,53}，{50,57}，{50,68}，{53,57}，{53,68}，{57,68}，两个数据的和小于100的结果只有一种：{47,50}． 记“两个数据的和小于100”为事件A ，则P(A)＝110，故从空气质量为二级的数据中任取两个，这两个数据的和小于100的概率为110. (3)由茎叶图可知，空气质量为一级或二级的数据共八个，所以可以估计空气质量为一级或二级的概率为812＝23，又366×23＝244，所以2012年大约有244天空气质量达到一级或二级．19．(理)解：设AB ＝a ，PA ＝b ，建立空间坐标系，使得A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(Ⅰ)BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b)，所以BE→＝12AD →＋12AP →，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD.(Ⅱ)∵BE ⊥平面PCD ，∴BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0PC →＝(2a,2a ，－b)，∴BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，即b ＝2a.平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a)，BD →＝(－a,2a,0)BC →＝(a,2a,0)， 所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值为66.(文)解：(1)取BC 的中点为M ，连接AM ，B 1M ， 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， △ABC 为正三角形，所以AM ⊥BC ，故AM ⊥平面BCC 1B 1，又BD ⊂平面BCC 1B 1， 所以AM ⊥BD .又正方形BCC 1B 1中，tan ∠BB 1M ＝tan ∠CBD ＝12， 所以BD ⊥B 1M ，又B 1M ∩AM ＝M ， 所以BD ⊥平面AB 1M ，故AB 1⊥BD ，正方形BAA 1B 1中，AB 1⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)取AA 1的中点为N ，连接ND ，OD ，ON .因为N ，D 分别为AA 1，CC 1的中点，所以ND ∥平面ABC ， 又OD ∥平面ABC ，ND ∩OD ＝D ，所以平面NOD ∥平面ABC ， 所以ON ∥平面ABC ，又ON ⊂平面BAA 1B 1，平面BAA 1B 1∩平面ABC ＝AB ， 所以ON ∥AB ，注意到AB ∥A 1B 1，所以ON ∥A 1B 1，又N 为AA 1的中点， 所以O 为AB 1的中点，即AOOB 1＝1.20．解：(Ⅰ)①当直线PQ 的斜率不存在时，由F (1,0)可知PQ 方程为x ＝1 代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又A (－2,0)∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－32，AP →·AQ →＝274不满足 ②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 方程为y ＝k (x －1)(k ≠0) 代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2(－x 1－x 2＋x 1x 2＋1)＝－9k23＋4k 2AP →·AQ →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝27k 23＋4k 2＝92 ∴k ＝±62故直线l ′的方程：y ＝±62(x －1)(Ⅱ)AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)与l 的方程：x ＝4联立得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2同理得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2 ∴y M y N ＝6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4①k 不存在时，y M y N ＝36·32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－321＋2(1＋1)＋4＝－9②k 存在时y M y N ＝－324k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2＋16k 23＋4k 2＋4＝－9M 、N 两点的纵坐标之积为定值－9.21．(理)解：(1)∵f ′(x )＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，f ′(x )＝x cos x .当f ′(x )＞0时，－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2；当f ′(x )＜0时，－π2＜x ＜0或π2＜x ＜π，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，则只需g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立即可． g ′(x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m (mx ＋1)(x ＋1)2(x ≥0，m ＞0)，①当m ≥2时，m －2m ≥0，∴g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，∴g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，故m ≥2时成立．②当0＜m ＜2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－m m 时，g ′(x )＜0，此时g (x )单调递减，∴g (x )＜g (0)＝1，故0＜m ＜2时不成立． 综上，m ≥2.(文)解：(1)f ′(x )＝x －ax 2＝－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，∴当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1a ，又a ＞0，∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，∴f (x )的极小值为f (0)＝0，f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝16a 2.(2)∵a ＝e ，∴g (x )＝12x 2－13e x 3＋e x (x －1)， g ′(x )＝x (e x －e x ＋1)．(ⅰ)记h (x )＝e x －e x ＋1，则h ′(x )＝e x －e ，当x ∈(－∞，1)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数；x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数，∴h (x )≥h (1)＝1＞0，则在(0，＋∞)上，g ′(x )＞0；在(－∞，0)上，g ′(x )＜0，故函数g (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． (ⅱ)x ＞0时，g ′(x )＝x (e x －e x ＋1)≥1＋ln x ⇔e x －e x ＋1≥1＋ln xx ，由(ⅰ)知，h (x )＝e x －e x ＋1≥1，记φ(x )＝1＋ln x －x (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xx， 在区间(0,1)上，φ′(x )＞0，φ(x )是增函数；在区间(1，＋∞)上，φ′(x )＜0，φ(x )是减函数，∴φ(x )≤φ(1)＝0，即1＋ln x －x ≤0，1＋ln xx ≤1，∴e x －e x ＋1≥1≥1＋ln xx ，即g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．22．解：(1)由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE＝∠ABE，又∠DEC＝∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是ABCD＝BEDE＝AECE.①设DE＝a，CE＝b，则由BEDE＝AECE，得3b2＝2a2，即b＝23a代入①，得ABCD＝3ba＝ 6.(2)证明：由EF∥CD，得∠AEF＝∠CDE. ∵∠CDE＝∠ABE，∴∠AEF＝∠EBF.又∠BFE＝∠EF A，∴△BEF∽△EAF，于是F AFE＝FEFB，故F A，FE，FB成等比数列．23．解：(1)圆C1和C2的普通方程分别是(x－2)2＋y2＝4和x2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4cos α，α)，Q(2sin α，α)，所以|OP|＝|4cos α|，|OQ|＝|2sin α|.从而|OP|·|OQ|＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.24．解：(1)当a＝1时，原不等式可化为|2x－1|＋|x－2|≤3，当x＞2时，3x－3≤3，则x≤2，无解；当12≤x≤2时，x＋1≤3，则x≤2，所以12≤x≤2；当x＜12时，3－3x≤3，则x≥0，所以0≤x＜12.综上所述，原不等式的解集为[0,2]．(2)原不等式可化为|x－2a|≤3－|2x－1|，因为x∈[1,2]，所以|x－2a|≤4－2x，即2x－4≤2a－x≤4－2x，故3x－4≤2a≤4－x对x∈[1,2]恒成立．当1≤x≤2时，3x－4的最大值为2,4－x的最小值为2，所以a的值为1.。
全国高考模拟卷二(数学)
全国高考模拟卷二（数学）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合U R =，{}2230|A x x x −=−>，{}|31x B y y ==−，则()U A B =（ ）A .()3,+∞B .[]0,3C .()1,3D .(]0,32. 设复数2312z iz i+=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A . 第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3. 鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。
在鲁洛克斯三角形ABC 内随机取一点， 则此点取自正三角形ABC （阴影区域）的概率是（ ）A .14B . 2πCD4. 数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足20210S <，20220S >，当n S 取到最小值时，n 的值为（ ）A .1010B .1011C .2021D .20225. 函数()f x x =在()1,0处的切线方程是（ ）A .10x y −−=B .10x y +−=C .220x y −−=D .210x y −−=6. 向量()2,sin a x =，()5cos ,1b x =，且//a b ，则2sin cos sin 2cos x xx x+=+（ ）A .54B .45C .45或54D .以上都不对7. 已知直线()():2123110l m x m y m −−+++=经过定点P ，Q ，R 为圆22:4240O x y x y ++−−=上两动点，设QPR ∠的最大值为θ，则tan θ=（ ）A . 34B .724 C . 13D .2478. 已知()()()202122021012202121111x a a x a x a x x x ++=+++++++++，则2101223a a a a +=+++（ ）A .202222023−B .202221−C .202121−D .202122022−9. 函数()()sin ,0f x x x ααπ=+≤≤的图象不可能是（ ）A .B .C .D .10. 过双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左焦点1F 作倾斜角为45︒的直线l 与双曲线的渐近线依次交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，且13AC CB =，则双曲线的离心率为（ ）A B C . 2 D11. AB 是球O 的一条直径，4AB =，C .D 是球面上两点，直线AB 与CD 所成角为60︒，则A BCD −的体积最大值是（ ）A. B. C .12 D.12. 若函数()()()2211x x f x e a xe a x =−+++恰有一个零点，则a 的取值范围是A . (),1−∞B . (),1−∞−C . ()21,11e e e ⎧⎫−+−∞−⎨⎬−⎩⎭ D . (]21,11e e e ⎧⎫−+−∞−⎨⎬−⎩⎭二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）A ．2B ．-2C．D．2.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题： ①当为正三角形时，的值为；②存在点，使得；③若，则等于；④的最小值为，则等于或.其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③C ．①③D ．②③④3.如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）A．B．C．D．4. 已知的通项公式为恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．1B．C．D．5. 椭圆与(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率6. 已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m <－1或1<m <B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <27. 下列关于x 的不等式有实数解的有（ ）.A．B．C．D．8. 已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（ ）A ．为奇函数B ．在上的解析式为C ．的值域为D．2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题(高频考点版)四、解答题9. 若复数z =为纯虚数（），则|z |=_____.10.已知集合，集合，则_______．11. 已知焦点在x 轴上的椭圆离心率为，则实数m 等于 _____．12.四面体的三条棱两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题：①不存在点，使四面体三个面是直角三角形；②存在点，使四面体是正三棱锥；③存在无数个点，使点在四面体的外接球面上；④存在点，使与垂直且相等，且.其中真命题的序号是___________.13. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 的取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.14.已知凸五边形内接于半径为1的圆，且，，，，，求证：.15. 若，解不等式．16.若，求的最大值.。
2023年高考数学模拟试题（二）参考答案
面上,
球的半径为 R ,
则r=R ,
又球的表面积
正确;
两人 至 少 一 人 获 得 满 分 的 概 率 为 1-
以 △ABD 为 等 边 三 角 形。
BE ⊥AD ,且 AE =DE =1。
提示:
设直角圆锥 SO 的底面圆 的
P(
AB)
=P (
A)
P(
B )=
提 示:如 图 2,因
又 E 是 AD 的 中 点,所 以
的公比为q,
an }
8.
A
图3
2
2
2
=1,
PD = 2,即 PE + DE = PD ,所 以
PE ⊥DE 。又因为 PE ∩BE =E ,
PE ,
BE ⊂
平面 PBE ,所 以 DE ⊥ 平 面 PBE 。 又 DE∥
BC,则 BC ⊥ 平 面 PBE 。 又 BC ⊂ 平 面
所以平面 PBE ⊥ 平面 PBC,
2
所以椭圆 C 的方 程 为 +
a -c =4-1=3,
形,
设|NF2|=m ,则|PF2|
=3m ,|NF1 | = 2
a + m,
|PF1|= 2
a
+ 3m , 在
由勾股定理得
R
t△PNF1 中,
图4
2
2
2
(
2
a+m )+ (
4m ) = (
2
a+3m ),整 理 可 得
m =a,在 Rt△F2NF1 中,由 勾 股 定 理 得
2
2
2
2
2
(
3
a)+a = (
2023_年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷
２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００９１－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本题共８小题ꎬ共４０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设ｉ是虚数单位ꎬ则复数２ｉ１－ｉ在复平面内所对应的点位于(㊀㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限２.已知Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜ｘ<０}ꎬＢ＝{－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则(∁ＵＡ)ɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.１{}㊀Ｂ.{－２ꎬ－１}㊀Ｃ.０ꎬ１{}㊀Ｄ.Ø３.已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的准线与圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝１６相切ꎬ则ｐ的值为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４４.阻尼器是一种以提供运动的阻力ꎬ从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置ꎬ是亚洲最大的阻尼器ꎬ被称为 镇楼神器 .由物理学知识可知ꎬ某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动ꎬ其离开平衡位置的位移ｓ(ｃｍ)和时间ｔ(ｓ)的函数关系式为ｓ＝２ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ其中ω>０ꎬ若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为ｓ０(－２<ｓ０<２)的时间分别为ｔ１ꎬｔ２ꎬｔ３ꎬ且ｔ３－ｔ１＝２ꎬ则ω＝(㊀㊀).Ａ.π２㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.２π５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为１与２ꎬ高为３ꎬ则圆台的侧面积为(㊀㊀).Ａ.７３π㊀㊀Ｂ.３３π㊀㊀Ｃ.６π㊀㊀Ｄ.１１π６.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗ꎬ并在５００名志愿者身上进行了人体注射实验ꎬ发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ(单位:ｍｇ/Ｌ)近似服从正态分布Ｎ１５ꎬσ２()ꎬ且Ｘ在区间１０ꎬ２０()内的人数占总人数的１９/２５ꎬ则这些志愿者中免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ不低于２０的人数大约为(㊀㊀).Ａ.３０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.７０㊀㊀Ｄ.１４０７.已知５５<８４ꎬ１３４<８５ꎬ设ａ＝ｌｏｇ５３ꎬｂ＝ｌｏｇ８５ꎬｃ＝ｌｏｇ１３８ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃＣ.ｂ<ｃ<ａＤ.ｃ<ａ<ｂ８.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘ＋１)为奇函数ꎬｆ(ｘ＋２)为偶函数ꎬ当ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ.若ｆ(０)＋ｆ(３)＝６ꎬ则ｆ(９２)＝(㊀㊀).Ａ.－９４㊀㊀Ｂ.－３２㊀㊀Ｃ.７４㊀㊀Ｄ.５２二㊁多选题:本题共４小题ꎬ共２０分ꎬ每小题有多项符合题目要求.９.若数据ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｍ的平均数为ｘꎬ方差为ｓ２ｘꎬ数据ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ的平均数为ｙꎬ方差为ｓ２ｙꎬ下列说法中一定正确的有(㊀㊀).Ａ.这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ｍｘ＋ｎｙｍ＋ｎＢ.若这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ωꎬ则这ｍ＋ｎ个数据的方差为ｓ２＝ｍ[ｓ２ｘ＋(ｘ－ω)２]＋ｎ[ｓ２ｙ＋(ｙ－ω)２]ｍ＋ｎＣ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｙ＝ａｘ＋ｂＤ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｓ２ｙ＝ａ２ｓ２ｘ＋ｂ１０.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝３ꎬＡＤ＝ＡＡ１＝１ꎬ点Ｐ为线段Ａ１Ｃ上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１Ａ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＤ１Ｐʊ平面ＢＤＣ１Ｂ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＡꎬＰꎬＣ１三点共线Ｃ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬＡ１Ｃʅ平面Ｄ１ＡＰＤ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬøＤ１ＰＡ取得最大值１１.已知圆Ｍ:(ｘ－１－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－２－ｓｉｎθ)２＝１ꎬ直线ｌ:ｋｘ－ｙ－ｋ＋２＝０ꎬ下列四个选项ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.对任意实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ有公共点Ｂ.存在实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ相离Ｃ.对任意实数ｋꎬ必存在实数θꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切Ｄ.对任意实数θꎬ必存在实数ｋꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切１２.设１－２ｘ()ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ ＋ａｎｘｎꎬｘɪＲꎬｎɪＮ∗ꎬ则下列结论中正确的是(㊀㊀).Ａ.－ａ１２＋ａ２２２－ａ３２３＋ ＋－１()ｎａｎ２ｎ＝２ｎ－１Ｂ.当ｎȡ３时ꎬ２ａ２＋６ａ３＋ ＋ｎｎ－１()ａｎ＝４ｎｎ－１()Ｃ.若ａ８>ａ７ꎬａ８>ａ９ꎬ则ｎ＝１２Ｄ.当ｘ＝－１２０００ꎬｎ＝２０２２时ꎬ１－２ｘ()ｎ>１０９１５三㊁填空题:本题共４小题ꎬ共２０分.１３.已知双曲线Ｃ的焦点在坐标轴上ꎬ中心为坐标原点ꎬ其渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘꎬ则该双曲线Ｃ的离心率为.１４.әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝π４ꎬＯ是әＡＢＣ外接圆的圆心ꎬ则ＯＣң ＡＢң＋ＣＡң ＣＢң的最大值为.１５.写出一个定义在Ｒ上且值域为(－１ꎬ１)的奇函数ｆ(ｘ)＝.１６.设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ＋ａ(ｘ－１)＋ｂ(ａꎬｂɪＲ)在区间１ꎬ３[]上总存在零点ꎬ则ａ２＋ｂ２的最小值为.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.(本小题１０分)已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝９ꎬａ４－ａ２＝２４.(１)求数列ａｎ{}的通项公式ａｎꎻ(２)设ｂｎ＝ｎ ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项的和Ｓｎ.１８.(本小题１２分)在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若әＡＢＣ的面积为１０３ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ求ＢＤ的最小值.１９.(本小题１２分)如图２ꎬ已知四棱锥Ｐ－ＡＢ￣ＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ为菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬＥꎬＦ分别是ＢＣꎬＰＣ的中点.(１)证明:ＡＥʅＰＤꎻ(２)若Ｈ为ＰＤ上的动点ꎬＥＨ与平面ＰＡＤ所成最大角的正切值为６/２ꎬ求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值.图２２０.(本小题１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬａ＝３ｂꎬ点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬＴ(３ꎬ０)ꎬ证明ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值.２１.(本小题１２分)现有一批疫苗试剂ꎬ拟进入动物试验阶段ꎬ将１０００只动物平均分成１００组ꎬ任选一组进行试验.第一轮注射ꎬ对该组的每只动物都注射一次ꎬ若检验出该组中有９只或１０只动物产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ试验终止ꎻ否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射ꎬ再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立ꎬ两次注射疫苗互不影响ꎬ且产生抗体的概率均为ｐ(０<ｐ<１).(１)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含ｐ的多项式表示)ꎻ(２)记该组动物需要注射次数Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)ꎬ求证:１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.(本小题１２分)已知ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘ＋１２ａｘ２＋１ꎬａɪＲ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｘ－１)ｅｘ－１＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２]上有１个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.参考答案１.Ｂ㊀２.Ｃ㊀３.Ｃ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ｂ㊀７.Ａ㊀８.Ｄ９.ＡＢＣ㊀１０.ＡＣＤ㊀１１.ＡＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.５或５２㊀１４.３㊀１５.ｅｘ－１ｅｘ＋１㊀１６.ｅ４８１７.(１)设数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ由ａ４－ａ２＝２４ꎬ得９ｑ－９ｑ＝２４.即３ｑ２－８ｑ－３＝０.解得ｑ＝３或ｑ＝－１３.又因为ａｎ>０ꎬ则ｑ>０.所以ｑ＝３.所以ａｎ＝９ˑ３ｎ－３＝３ｎ－１.(２)因为ａｎ＝３ｎ－１ꎬ所以ｂｎ＝ｎ ａｎ＝ｎˑ３ｎ－１.所以Ｓｎ＝１ˑ３０＋２ˑ３１＋３ˑ３２＋ ＋ｎˑ３ｎ－１ꎬ３Ｓｎ＝１ˑ３１＋２ˑ３２＋ ＋ｎ－１()３ｎ－１＋ｎˑ３ｎ.所以－２Ｓｎ＝１＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１－ｎ ３ｎ＝(１－２ｎ) ３ｎ－１２.所以Ｓｎ＝(２ｎ－１) ３ｎ＋１４.１８.(１)在әＡＢＣ中ꎬａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣꎬ所以由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.因为ｓｉｎＣʂ０ꎬ所以ｃｏｓＣ＝１２.所以由三角形内角的范围可得角Ｃ＝π３.２()由题意知ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ａｂ ３２＝１０３.所以ａｂ＝４０.在әＢＣＤ中ꎬ由余弦定理ꎬ得｜ＢＤ｜２＝ａ２＋ｂ２４－ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２４－１２ａｂȡ２ａｂ２－１２ａｂ＝１２ａｂ＝２０ꎬ当且仅当ａ＝１２ｂ且ａｂ＝４０ꎬ即ａ＝２５ꎬｂ＝４５时取等号.所以ＢＤ的最小值为２５.１９.１()由四边形ＡＢＣＤ为菱形ꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬ可得әＡＢＣ为正三角形.图３因为Ｅ为ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＥʅＢＣ.又ＢＣʊＡＤꎬ因此ＡＥʅＡＤ.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＥ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＥ.而ＰＡ⊂平面ＰＡＤꎬＡＤ⊂平面ＰＡＤ且ＰＡɘＡＤ＝Ａꎬ所以ＡＥʅ平面ＰＡＤ.又ＰＤ⊂平面ＰＡＤꎬ所以ＡＥʅＰＤ.２()如图３ꎬ设ＡＢ＝２ꎬＨ为ＰＤ上任意一点ꎬ连接ＡＨꎬＥＨꎬ由１()知ＡＥʅ平面ＰＡＤ.所以øＥＨＡ为ＥＨ与平面ＰＡＤ所成的角.在ＲｔәＥＡＨ中ꎬＡＥ＝３ꎬ所以当ＡＨ最短时ꎬøＥＨＡ最大ꎬ即当ＡＨʅＰＤ时ꎬøＥＨＡ最大.因为ｔａｎøＥＨＡ＝６２ꎬ所以ＡＥＡＨ＝３ＡＨ＝６２.因此ＡＨ＝２.又ＡＤ＝２ꎬ所以øＡＤＨ＝４５ʎ.所以ＰＡ＝２.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＰＡ⊂平面ＰＡＣꎬ所以平面ＰＡＣʅ平面ＡＢＣＤ.过点Ｅ作ＥＯʅＡＣ于点Ｏꎬ则ＥＯʅ平面ＰＡＣ.过点Ｏ作ＯＳʅＡＦ于点Ｓꎬ连接ＥＳꎬ则øＥＳＯ为二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的平面角.在ＲｔәＡＯＥ中ꎬＥＯ＝ＡＥ ｓｉｎ３０ʎ＝３２ꎬＡＯ＝ＡＥ ｃｏｓ３０ʎ＝３２ꎬ又点Ｆ是ＰＣ的中点ꎬ在ＲｔәＡＳＯ中ꎬＳＯ＝ＡＯ ｓｉｎ４５ʎ＝３２４ꎬ又ＳＥ＝ＥＯ２＋ＳＯ２＝３４＋９８＝３０４ꎬ在ＲｔәＥＳＯ中ꎬｃｏｓøＥＳＯ＝３２/４３０/４＝１５５ꎬ即所求二面角的余弦值为１５５.２０.１()由点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上ꎬ可得１ａ２＋８９ｂ２＝１.又ａ＝３ｂꎬ解得ａ＝３ꎬｂ＝１.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.２()过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ的方程设为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬ与椭圆方程ｘ２＋９ｙ２＝９联立ꎬ消去ｘ可得(９＋ｍ２)ｙ２＋２ｍｙ－８＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ９＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－８９＋ｍ２.则ｋＴＭ ｋＴＮ＝ｙ１ｘ１－３ｙ２ｘ２－３＝ｙ１ｙ２(ｍｙ１－２)(ｍｙ２－２)＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋４－２ｍ(ｙ１＋ｙ２)＝－２９.则ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值－２９.２１.１()平均每组１０００１００＝１０人ꎬ设第一次注射有Ｙ只动物产生抗体ꎬ则ＹʐＢ(１０ꎬｐ).所以Ｐ(Ｙ＝９)＋Ｐ(Ｙ＝１０)＝ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)＝１０ｐ９－９ｐ１０.所以该组试验只需第一轮注射的概率为１０ｐ９－９ｐ１０.２()由１()得Ｐ(Ｘ＝１０)＝１０ｐ９－９ｐ１０.又Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋꎬｋ＝２ꎬ３ꎬ ꎬ１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０Ｐ(Ｘ＝１０)＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝１０ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)[]＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｃ１０－ｋ１０ (１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＋ð１０ｋ＝０ｋＣ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ－Ｃ９１０(１－ｐ)ｐ９.设ξʐＢ(１０ꎬ１－ｐ)ꎬ则Ｅ(ξ)＝ð１０ｋ＝０ｋＣｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０(１－ｐ).又ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝(１－ｐ＋ｐ)１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０(１－ｐ＋ｐ)１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０＋１０(１－ｐ)(１－ｐ９).因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)>１０.又Ｅ(Ｘ)＝１０＋１０１－ｐ()１－ｐ９()＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０２－ｐ()－１０ｐ９１－ｐ()ꎬ因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)<１０２－ｐ().所以１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.１()函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ求导ꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ａｘ＝ｘｅｘ＋ａ().当ａȡ０时ꎬ当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.当ａ<０时ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝ｌｎ(－ａ).若ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ即ａ＝－１时ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则有ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ若ｌｎ(－ａ)<０ꎬ即－１<ａ<０时ꎬ当ｘ<ｌｎ(－ａ)或ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｌｎ(－ａ)<ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ若ｌｎ(－ａ)>０ꎬ即ａ<－１时ꎬ当ｘ<０或ｘ>ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当０<ｘ<ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.所以ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当－１<ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ当ａ＝－１时ꎬｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ当ａ<－１时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.２()依题意ꎬｇ(ｘ)＝１２ａｘ２＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２]ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ(ａ－ｓｉｎｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２]时ꎬ０<ｓｉｎｘɤ１ꎬ当ａȡ１时ꎬａ－ｓｉｎｘȡ０ꎬｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递增ꎬ有ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当ａɤ０时ꎬａ－ｓｉｎｘɤ０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当０<ａ<１时ꎬ∃ｘ０ɪ(０ꎬπ２)ꎬ使得ｓｉｎｘ０＝ａꎬ而ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２)上单调递增ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ０<ｘ<π２时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ因此ꎬｇ(ｘ)在０ꎬｘ０()上单调递增ꎬ在(ｘ０ꎬπ２)上单调递减.又ｇ(０)＝０ꎬｇπ２æèçöø÷＝ａπ２８－１ꎬ若ｇ(π２)>０ꎬ即８π２<ａ<１时ꎬ无零点ꎻ若ｇ(π２)ɤ０ꎬ即０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)有一个零点.综上可知ꎬ当０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]有１个零点ꎬ所以实数ａ的取值范围０<ａɤ８π２.[责任编辑:李㊀璟]。
2023届全国卷新高考数学模拟试题二(含答案)
2023届全国卷新高考数学模拟试题二(含答案)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|}A x x k =≥，3{|1}1B x x =<+，若A B ⊆，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2．若复数63ai i+-（其中a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a =（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．123．在等差数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则5a 的值是（ ）A ．-5B ．12-C ．12D ． 524．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为52y x =-，则它的离心率为（ ）A ．32B ．23C ． 35D 55．已知ABC ∆的三个顶点坐标为()()()0,1,1,0,0,2,A B C O -为坐标原点，动点M 满足1CM =，则OA OB OM ++的最大值是A. 21B. 71C. 21 716．若不等式||1x t -<成立的必要条件是14x <≤，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,3]B ．(2,3]C ．[2,3)D ．(2,3)7．在区间[1,1]-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥-的概率为（ ）A ．29B ．79C ．16D ．56 8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（ ）A ．32643π-B ．6416π-C ． 16643π-D ．8643π-9．如图，(,)M M M x y ，(,)N N N x y 分别是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象与两条直线1:l y m =，2:(0)l y m A m =-≥≥的两个交点，记||N M S x x =-，则()S m 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．过抛物线y 2=8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B 两点,它们到直线x=-3的距离之和等于10,则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M,N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=，则双曲线的离心率为 A. 22 B. 7 C. 3 212．设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上'()f x x <，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[2,2]-C ．[0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞∪二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量a 与b 的夹角为23π，||2a =，则a 在b 方向上的投影为 ． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段'AD 上运动，则异面直线CP 与'BA 所成的角θ的取值范围是 ．15．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=2，，若四面体ABCD体积的最大值为43，则该球的表面积为.16．已知实数,x y满足条件2420xx yx y m≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，若目标函数2z x y=+的最小值为3，则其最大值为.2023届全国卷新高考数学模拟试题二参考答案一、选择题1-5:CABAD 6-10:ADCCA 11、B 12：A二、填空题13．-14．03πθ<≤15．9π16．7。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)
2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学(二)(数学)+答案解析(附后)
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学（二）(数学)1. 已知全集，集合，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则( )A. 2B.C.D.3.已知数列满足，，则( )A. B. C. 2 D.4. 已知某种传染性病毒使人感染的概率为，在感染该病毒的条件下确诊的概率为，则感染该病毒且确诊的概率是( )A. B. C. D.5. 已知函数，若不等式对恒成立，则m的取值范围是( )A. B. C. D.6. 已知某圆锥的侧面积为底面积的3倍，体积为，则该圆锥的母线长为( )A. B. C. D.7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设与的图象上相邻的三个公共点分别为A，B，C，若为直角三角形，则( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，若在T上存在两点A，B，使四边形FABO为菱形，则双曲线T的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是( )A. 直线l必过点B. 直线l与圆E必相交C. 圆心E到直线l的距离的最大值为1D. 当时.直线l被圆E截得的弦长为10. 下列命题正确的是( )A. ，，B. ，使C. ，，D. ，，使11. 函数，若不等式恒成立，则a的值可以为( )A. B. C. 1 D.12. 如图，在正四面体PABC中，，，分别为所在棱的三等分点，沿平面截去四个小正四面体后所得几何体称为截角四面体.则( )A.截角四面体的所有面都是正多边形 B.C. 平面D. 截角四面体与正四面体的表面积之比为13. 已知向量，，若，则___.14. 在一次乒乓球知识竞赛中，已知甲、乙两赛队在6道笔试题中所得分数的中位数相等每题满分10分，具体得分如下：甲赛队9671098乙赛队10k87108若，则k的值为___.15. 已知抛物线，，动点A，B在C上，则的最大值为___.16. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为___.17. 已知数列中，，，当时，，记求数列的通项公式;设数列的前n项和为，证明：18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的内切圆半径为，，求的周长.19. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间满时长15小时，将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值为代表求a的值;以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数;现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数四舍五入取整数参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，20.如图.在直三棱柱中，，E，F分别为，BC 的中点.若，证明：平面平面若，求二面角的正弦值.21. 已知函数若，求的极大值;若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知椭圆的四个顶点所构成四边形的面积为，点在T上.求椭圆T的方程;直线l经过T的右焦点F交T于A，B两点，轴，交直线于点C，试问直线AC是否恒过定点?若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查并集和补集的混合运算.先化简全集U和集合B，再利用并集和补集的定义，即可得到结果.【解答】解：全集Z，N，，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的模，考查复数的代数表示及其几何意义．根据复数的几何意义可得，再根据复数的基本运算法则化简，结合模长公式即可求解.【解答】解：由题意得，所以，所以3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推关系和周期性，属于中档题.由，利用周期性即可求解．【解答】解：根据题意，得，所以，所以数列是周期为3的周期数列，所以，所以4.【答案】A【解析】【分析】本题考查应用概率解决实际问题，涉及条件概率，属于基础题.设事件，然后利用即可求解.【解答】解：设事件“该传染性病毒使人感染”，“感染该病毒后确诊”，则，，所以5.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题、函数的单调性和函数的对称性.因为，所以的图象关于直线对称且时，单调递增.由，可得，解得，可得，即可求解.【解答】解：因为，所以的图象关于直线对称，又，当时，单调递增.因为，所以，解得，所以，所以，解得6.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积、体积和结构特征，属于基础题.设该圆锥底面半径为r，母线长为l，由条件列方程组，解方程组即可.【解答】解：设该圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得得，7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象与性质，属于中档题.由题意得；，作出两个函数的图象，令，可得，所以，则，可得可得【解答】解：由题意得；，作出两个函数的图象，如图所示.不妨取点A，C在x轴上方，点B在x轴下方，D为AC的中点，所以，由对称性可得又为直角三角形，所以，所以令，得或，，所以或，又，所以，所以，则，所以，所以所以8.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率.连结BF，，根据图形分析可得是等边三角形，再结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【解答】解：设双曲线的右焦点，连结BF，，画出图形如下图所示：因为四边形FABO为菱形，所以，所以，根据对称性可知是等边三角形，所以，所以，根据双曲线定义可知，，即，故得故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及判定.直线l过定点，点在圆E内，直线l与圆相交，圆心E到直线l的距离的最大值为圆心与的距离，当时，利用弦长公式求弦长.【解答】解：直线，过定点，，直线l不经过点，故A错误；定点在圆E内，所以直线l与圆相交，故B正确；圆心E到直线l的距离最大值为圆心与的距离，即，故C正确；当时，直线，直线l被圆E截得的弦长为，故D错误.故选10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断、不等式的性质，属于中档题.根据不等式的性质及特值法逐一判断即可.【解答】解：因为，，所以，所以，所以，故A正确；因为，则恒成立，故B错误;取，则，故C错误;取，，则，故D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了不等式的恒成立问题、分段函数和函数图象的应用.作出函数的大致图象，易得，将已知不等式转化为，由图象的平移可得a的取值范围.【解答】解：作出函数的大致图象如图所示，的图象关于点中心对称，故，由，得，即，即的图象向左平移2个单位后得到的图象一定在的图象上方，如图，，即，所以a的取值范围为故选12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查棱锥的截面问题及线面平行判定及棱锥的表面积计算.根据截角四面体的定义与正四面体的性质判断A，B，再由线面平行的判定定理判定C，由四面体的表面积公式判定【解答】解：截角四面体表面由4个等边三角形和4个正六边形构成，故A正确;由题意得，由正四面体的性质可得，所以，故B正确;易知，，得，又平面，平面，所以平面，故C正确设，则截角四面体的表面积为，正四面体的表面积为，所以截角四面体的表面积与正四面体的表面积之比为，故D错误.故答案为13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，模的坐标运算.根据坐标运算公式求出k的值，再求的模长即可.【解答】解：由题意得，解得，所以14.【答案】9【解析】【分析】本题考查了中位数的计算，属于基础题.先得出甲赛队成绩的中位数，可分和两种情况研究即可.【解答】解：将甲赛队成绩从小到大排列为6，7，8，9，9，10，所以甲赛队成绩的中位数为，由题意知乙赛队成绩的中位数为，若，此时乙赛队成绩的中位数为，不符合题意，若，此时乙赛队成绩的中位数为，解得，符合题意.15.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系，属于中档题.设直线，与联立，利用直线与抛物线相切可得k，代入倍角公式可得答案.【解答】解：由题意知当直线PA，PB分别与C相切时，取最大值，由已知得直线PA的斜率存在，可设直线，与联立得，所以，得，所以为坐标原点，则由对称性可得，所以16.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查构造新函数，利用导数求单调性最值，属于导数的综合题.由题意得，令，由，求得，令；由导数得到在处取得最大值，从而得到，使，又，，从而得到当时，取得极大值.【解答】解：由题意得，令，则，不妨设，所以，所以，解得，所以，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，又，所以，使，又，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，所以当时，取得极大值17.【答案】解：由题意得，所以，即当时，当时，也符合.综上，；证明：由得，当时，当时，，故当时，综上，【解析】本题考查数列的递推公式，考查裂项相消法.由题意得到，利用累加法进行求解即可；由得，利用裂项相消法求出，再进行证明即可.18.【答案】解：由题：A，B，C是的内角，所以，，，且因为，即，由正弦定理得：，所以，即，所以故由题：由余弦定理得：，即，①又由等面积公式有：其中r是的内切圆半径，即，化简为：②则由①②得：，，所以的周长故的周长为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及三角函数基本公式在解三角形中的应用.根据正弦定理变形原式可得，再根据同角三角函数基本关系即可求解；由等面积公式及余弦定理可得，，的周长即可求得.19.【答案】解：，解得由题意知样本的平均数为，所以又，所以则，所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，则，所以则这3人中学习时间在内的教职工平为人数约为【解析】本题考查频率分布直方图及正态分布，以及离散型随机变量的数学期望计算与分层抽样，属于中档题.根据小矩形的面积之和为1进行求解即可；根据正态分布的对称性进行求解即可；利用分层抽样确定抽取人员，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，求出对应概率得出数学期望即可.20.【答案】解：证明：由直三棱柱得面ABC，面ABC，，，，BC，平面，平面又平面，由，得，，且这两个角都是锐角，，所以，又， AB，平面ABE ，平面平面，平面平面取AC的中点O，连接OB，因为，所以因为，所以以O为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，，设平面AEF的一个法向量为，由得令，得设平面的一个法向量为，由得令，得设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为【解析】本题主要考查面面垂直的判定和二面角，属于中档题.先根据线线垂直判定线面垂直，再根据线面垂直判定面面垂直.根据题意以O为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，写出两个平面的法向量坐标计算二面角，即可得出结论.21.【答案】解：当时，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为由题意得当时，，对恒成立，在区间上单调递增，又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意.当时.令得若即时对恒成立.在区间上单调递减.又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意，若即时，在区间上单调递增.在区间上单调递减，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，即，所以其中因为函数的图象开口向下，所以，使即在区间上有两个零点.综上，实数a的取值范围为【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数研究函数的零点问题.由得出，求出，解，判断出的单调性，进而求出的极大值；求出，对a进行分类讨论，判断出的单调性，进而得出函数在区间上有两个零点时a的取值范围.22.【答案】解：由题意得解得，，所以T的方程为由得，设直线，，，，联立得，所以，，又直线，即，即，则直线AC恒过点【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆位置关系的应用及恒过定点问题.由椭圆的性质，可求得，再得椭圆的标准方程；设直线，，联立，消去x，得，结合韦达定理以及直线AC的方程，可得结论.。
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课标全国卷数学高考模拟试题精编二【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.题号一二三选做题总分131415161718192021得分第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝( )A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±22．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是( )A．若x＞1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0 D．若x＜1，则x＜03．若复数z＝2－i，则z＋10z＝( )A．2－i B．2＋i C．4＋2i D．6＋3i4．(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A．5x2－45y2＝1 B.x25－y24＝1 C.y25－x24＝1 D．5x2－54y2＝1(文)已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±22x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±12x5．设函数f(x)＝sin x＋cos x，把f(x)的图象按向量a＝(m,0)(m＞0)平移后的图象恰好为函数y＝－f′(x)的图象，则m的最小值为( )A.π4B.π3C.π2D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( )A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( )A ．1B ．0C ．－1D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 11．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78B.34C.12D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12(文)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________. 16．(理)已知a n ＝∫n 0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(Ⅱ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .18．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有 2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为12，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB 30952012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率； (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．19.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2)设点O 为AB 1上的动点，当OD ∥平面ABC 时，求AOOB 1的值．20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →＝92时，求此时直线l ′的方程；(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8. (1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2－13ax3(a＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若a＝e，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x＞0时，不等式g′(x)≥1＋ln x恒成立．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在AB 的延长线上． (1)若EA ＝2ED ，EB ＝3EC ，求ABCD的值； (2)若EF ∥CD ，求证：线段FA ，FE ，FB 成等比数列．23．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎨⎧ x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎨⎧ x ＝cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP|·|OQ|的最大值．24．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x －2a|.(1)当a ＝1时，求f(x)≤3的解集；(2) 当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a 的取值范围．。